如何在高等數學中進行哲學思考

摘 要：哲學是對具體科學的概括、總結，并指導各門學科;數學如同哲學在整個科學體系中的作用類同——研究整個世界，得出普遍規律，數學是總結自然界普遍存在的空間形式和數量關系，從而指導自然科學的發展及自身的進步，我們要在高等數學里蘊含的有限與無限、量變與質變、微分與積分、離散與連續、直線與曲線、特殊與一般等內容不斷進行哲學思考，必將使我們受益無窮。

關鍵詞：高等數學;哲學思考

一、有限與無限

高等數學中通過有限認識無限;反過來，也通過無限來確定有限。高等數學運用極限理論實現了有限與無限的相互轉化。無限是有限的發展，無限個數目的和不是一般的代數和，把它定義為”部分和”的極限，我們只有借助極限，方能夠認識無限。無限可分概念僅存在于人類的思維之中，在現實世界卻不可能存在，人們只能通過運用日常生活的有限來認識世界，任何超越有限而抽象地談無限是沒有任何意義的，正如愛因斯坦曾說過：”抽掉任何物理內容的空間概念是不存在的。無限和有限并非絕對對立的，而是相互連結，并能相互轉化的。”高等數學中幾乎所有的無限的量都可以通過有限的量得到;通過有限個矩形面積的和，去認識整個曲邊梯形面積等有限蘊含無限的哲學思想都隨處可見。反之，一些有限的量也可以通過無限的量得到，有限與無限這對矛盾，在高等數學中貫穿始終，我們要善于進行哲學思考。

二、量變到質變

在進行高數的相關運算中，實際上實現了事物從一個數量層次到另一個數量層次的質變，這種質變是經歷了一個無限的變化過程才發生的;很多不可求的量，比如面積、體積、變力做的功、變速直線運動的位移、物體在變化壓強作用下所受的壓力，都可以轉化為一些微元的無限累積和，這都體現了哲學中的量變引起質變的思想;在現實生活中，由于人的能力的局限，我們對事物的研究不可能窮其所有，亦不可能面面俱到，我們所看到、聽到的僅僅是事物的一部分，我們可以通過對一個事物局部的個別的認識的積累上升為對整體的具有一般規律性的認識，由此相應地我們就可以“由點到線”、“由線到面”、“由面到體”……，從量變引起質變;哲學與數學相互促進相互照應，在高數的學習中我們要善于進行哲學思考。

三、微分與積分

在高等數學中，我們知道微分是對象按某種方式分解為微觀組成單位，直至無窮小;積分是微觀單位、以至于無窮小的單位按照某種方式組合成一個宏觀對象。當牛頓、萊布尼茨證明了微積分的基本定理時，同時也指出了微分與積分互為逆運算，是一對矛盾概念，既對立又統一。很多在大區間不可求的量，把大區間分割成無窮多個“小”區間，先求這個量的微元，然后求微元的累積和，即積分，便得到在在區間上的這個量的值，這就是高等數學中的“微元法”思想，它充分體現了微分與積分思想在同一問題中的綜合應用，兩者之間相互對立又最終統一，高數中這種哲學思考隨處可見。

四、高等數學中的辯證思想

高等數學中微積分的創立標志著數學由”常量數學”時代進入到”變量數學”時代，這次轉變具有重大的哲學意義。變量數學中的一些基本概念如變量、函數、極限、微分、積分、微分法和積分法等從本質上看是辯證法思想在數學中的運用。正如恩格斯所指出的：”數學中的轉折點是笛卡兒的變數。”有了變數，運動思想進入了數學，有了變數，辯證法思想進入了數學，有了變數，微分和積分的思想也就順理而成了。辯證法思想在微積分中體現了曲線形和直線形、無限和有限、近似和準確、量變和質變等范疇的對立統一。它使得過程與狀態，階段與瞬間;局部與整體，微觀與宏觀之聯系更加明確;使我們既可以居高臨下，從整體角度考慮問題，又可以析理入微，從微分角度考慮問題。再如，近似和精確是既對立又統一，二者在一定條件下可以相互轉化，這就是微積分中通過求極限而獲得精確值的重要方法。魏晉南北朝時期，我國數學家劉徽提出割圓術作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎。其方法是”割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓臺體而無所失矣。”他用圓內接正多邊形去逐步逼近圓的面積，當圓內接正多邊形的邊數無限增多，便得到了精確的值，這就是通過極限法，從近似中認識了精確。這也是通過極限法使直線形和曲線形等同起來的例證。圓內內接正多邊形的邊數增加只是量的變化，但是不斷的增加直至無限的過程，使多邊形就轉化成圓，從而產生了質的變化，微積分的產生就克服了直線與曲線和圓的不可通約性，從而使高數成為辯證法的輔助工具和表現形式。恩格斯說“變數的數學——其中最重要的部分是微積分——本質上不外是辯證法在數學方面的運用”，這深刻揭示了高等數學的內在本質。我們在高等數學只要善于進行哲學思考，就能把握問題的實質，加深對高數的理解，并能不斷提高我們正確分析問題、解決問題的能力。

總之，高等數學中蘊含著豐富的哲學思想，我們在學習高等數學時絕不能滿足于會做幾道題，也不能滿足于高等數學在生產中的點滴實際運用，我們更要了解它的本質，學會從哲學上思考，只有這樣，我們才能真正地領悟人類心靈的智力奮斗結晶——高等數學，它所蘊含的偉大哲學思想以及它作為解決實際問題而提供的獨特方法論的重要意義，必將使我們終身受益。

參考文獻

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[2]《數學文化欣賞》.鄒庭榮.武漢大學出版社，2007年

[3]《數學思維教育學》.張乃達.江蘇教育出版社，1991年

[4]《歐洲哲學通史》.冒從虎.南開大學出版社

作者簡介：

黃銀海，男，重慶三峽職業學院，副教授，數學教學