直線參數方程的解析應用

黃芷儀

摘要：直線參數方程屬于高考選考章節，但它在解析幾何中也有非常廣泛的應用。直線參數方程中的參數 ，在圖上的幾何意義為線段長度，因此解析幾何中涉及長度和面積的問題往往都可以通過直線參數方程解決，本文對這一方面加以探討。

關鍵詞：參數方程；四點共圓；面積；弦長

一、知識簡述

在平面直角坐標系中任取一點 ，過 點作任意一條傾斜角為 的直線，則該直線上的任意一點 均滿足方程 （ 為參數，且 ）

該方程即為直線 的參數方程標準式

二、參數方程在解析幾何中的應用

例題1：已知拋物線 ，焦點 ，過點 作直線與曲線 交于兩點 ，與直線 交于點 ，試求 的最小值

解法Ⅰ：（聯立法）

解：設直線 方程為

根據均值不等式可知

解法Ⅱ：（參數方程聯立）

解：設 的參數方程為

根據柯西不等式

分析：課件直線參數方程處理多線段共線是非常方便的。

例題2：已知拋物線 焦點 過點 作拋物線兩條弦 ，且 ，如圖，求陰影部分面積的最小值。

解法Ⅰ：（焦半徑）

解：由拋物線定義可知與 到準線 距離相等則 （ 為 與 軸所成銳角）

解法Ⅱ：（參數方程）解：設 直線的參數方程為

當 時，即 時， 有最小值8

分析：本題涉及雙線四點，使用一條直線的參數方程加以同理運算，大大降低復雜程度。

例題3：已知拋物線 ，過 軸上兩定點 ， 分別引直線 與 （ 與 不平行）與拋物線有四個交點 ，當 四點共圓時，求證： ， 的交點 在定直線上

證明：設 ， 、 的傾斜角分別為

則 的參數方程為

四點共圓，由相交弦定理知即

聯立 方程，解得 ，故 在直線 上

分析：本題涉及到四點共圓的處理，需要多次求解線段長度，參數方程中 的幾何意義正是線段長度，非常便捷。

例題4：已知橢圓 ，坐標系內任意一條直線 交橢圓于 兩點，求 的最大值

解：設直線 過點

則 的參數方程為

分析：本題應用參數方程處理三角形 的面積，方法非常獨到，值得借鑒。