基于“問題解決”的小學數學深度學習

朱紅偉

摘要：深度學習是可以通過問題解決得以實現的。在梳理小學數學教學中“問題解決”內涵的基礎上，提出基于“問題解決”的小學數學深度學習方式——發現問題：創設真實情境，生成非良構問題;提出問題：明確目標指引，以評價提高問題質量;分析問題：建立操作序列，深度理解和組織信息;解決問題：深化內在聯系，從方法到思想進階。

關鍵詞：問題解決深度學習小學數學

深度學習是指學習者在理解學習的基礎上，批判性地學習新的思想和事實，將它們納入原有的認知結構中，并且能夠聯系不同的內容，將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習。深度學習是一種理念，更是一種方式。從學習目標的角度來看，布盧姆將認知過程目標分為知道、理解、應用、分析、綜合、評價六個層次，其中，“知道”和“理解”這兩個層次主要要求學生記住所學知識并能用自己的語言進行轉述，屬于淺層學習范疇;而“應用”“分析”“綜合”和“評價”這四個層次則要求學生具有將所學知識應用于新的情境，對知識進行分解和重組，解決現實問題，以及依據一定的標準對事物進行價值判斷的能力，這就屬于深度學習的范疇。

“深度學習強調對知識的深層加工、深度理解及長期保持，善于自主建構且能夠遷移應用并在真實情境中解決復雜問題”說明深度學習是可以通過問題解決得以實現的。對小學數學教學來說，“問題解決”是聯系數學知識與現實世界的橋梁，是一種體現深度學習理念的學習方式。

一、小學數學教學中“問題解決”的內涵

小學數學教學中的“問題解決”包括從數學的角度發現、提出、分析和解決問題四個方面，它有著豐富的內涵。

第一，“問題解決”是應用數學的過程。美國數學指導委員會（NCSM）在《21世紀的數學基礎》中指出：“問題解決是把前面學到的知識運用到新的和不熟悉的情境中的過程。”

第二，“問題解決”是應用數學的能力。英國的考克羅夫特（W.H.Cockcroft）等人稱：“那種把數學用于各種情況的能力，我們叫作問題解決。”

第三，“問題解決”是數學學習的目的。美國學者西爾弗（E.A.Silver）指出：“20世紀80年代以來，世界上幾乎所有的國家，都把提高學生的問題解決能力作為數學教學的主要目的之一。”《義務教育數學課程標準（2011 年版）》中的課程總目標便包括了“問題解決”的方面：“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識。”

第四，“問題解決”是一種基于主動探究的認知方式。作為獲取知識的問題解決，就是將概念、定理的生成轉化為問題解決的過程，使得所學的知識不僅僅停留于“知道”的層面，而是在“理解”“分析”“綜合”“應用”的循環過程中批判性地接受并進行深入的思考。在加涅最初提出的學習等級分類中，這種認知方式的優勢在于能夠有效地促進知識的理解和意義的建構。

第五，“從數學的角度”很重要。數學教學應該創設各種情境，讓學生觀察、思考，使他們在面對各種現象時都有機會“從數學的角度發現和提出問題”——不是數學習題那種專門為復習和訓練而設計的問題，也不是僅僅依靠記憶題型和套用程式就能解決的問題，而是展開數學教學的和應用數學解決的“問題”，它往往與生活、生產實際相聯系，能夠增強應用意識，提高實踐能力。

第六，解決別人提出的問題固然重要，但是，自己發現和提出新的問題更加重要。這是因為創新始于問題的發現與提出：在分析問題和解決問題時，其中的“已知”和“未知”都是清楚的，需要的是利用已有的概念、性質、定理、公式、模型，采用恰當的思路和方法得到問題的答案;但是，對于發現和提出問題而言，其中的“已知”和“未知”都是不明晰的，所以難度更大。發現問題，需要運用多方面、多角度的數學思維，從表面上看起來沒有關系的現象中找到數量或空間方面的某些聯系或矛盾，并把這些聯系或矛盾提煉出來。而提出問題，需要在已經發現的問題的基礎上，把找到的聯系或矛盾用數學語言集中地以“問題”的形態表述出來。

二、基于“問題解決”的小學數學深度學習方式

從“問題解決”的四個方面加以考量，創設真實而復雜的問題情境，有利于產生非良構的數學問題。其沒有固定的解決方式，通常需要綜合運用各類學科知識，從而使數學學習進入深度學習范疇;引導學生提出有價值的問題，進而形成一定的分析問題和解決問題的能力，使學生批判性地建構新知識，將所學的知識遷移運用到新情境中，有利于促進學生的深度學習。

（一）發現問題：創設真實情境，生成非良構問題

深度學習是一種主動的、帶有批判性思維性質的建構主義學習過程，其目的不是單純地、被動地記憶和理解所學知識，而是能夠將新知識與已有知識有效地聯系起來，并且能夠應用所學知識在真實復雜的情境中解決現實存在的問題。那么，以真實復雜的問題情境取代傳統教學中相對封閉的問題情境，便是實現展開深度學習的第一步。

依據結構性的不同，喬納森將問題分為良構的和非良構的。良構問題一般有規范、明確的已知條件，至少一套完整的解決方法或規則，且存在有限的正確答案。相反，非良構問題通常與具體情境聯系緊密，只有模糊的已知條件，沒有明確的解決方法或規則，且答案多呈開放性。在現實生活中，我們常常面臨很多非良構問題。這就要求我們將學習深度化，利用所學知識，結合具體情境，探索一種全新、合適的解決問題的路徑。

比如，教學“經過時間”時，教師可以鏈接生活實際，給出如圖1所示的從蘇州到北京的列車時刻信息，提供真實的學習素材。其中有豐富的數學信息、突出的學習主題，教師可以根據需要遮擋、顯現某些信息，引導學生發現問題、提出問題。

圖1

（二）提出問題：明確目標指引，以評價提高問題質量

“提出問題”是指基于特定情境（問題情境）形成（或再形成）和表達（或再表達）問題（或任務）的活動。如此，傳統數學課堂中，教師出示幾個條件，讓學生由此提出一些數學問題，并不是深度學習意義上的“提出問題”。再者，課始，教師出示課題，讓學生由此提出一些想要了解的問題，也不是課程目標意義上的“提出問題”。

蔡金法教授等通過中美學生的對比發現，中國學生相比美國學生在解決問題方面表現出很大的優勢，但在提出問題方面的表現卻沒有優勢，甚至是劣勢。對此，教師是否給予了學生更多的提出問題的機會，是否有比較恰當的引導提問的方法，是否能通過評價提高學生提出問題的質量，是幾個值得關注的教學要素。教師唯有增強教學活動中的“問題意識”，方能引導學生“在數學領域和之外，在不同的廣泛情境下提出有趣的數學問題”。

1.適當留白，引導學生提出問題。

提問時適當留白，可以讓學生在提出問題時有所參照。例如，“百分數”實際問題：

動物攝影師尚·巴提歷經一年的考察，拍攝了許多成年企鵝和企鵝寶寶的照片。他對不同企鵝族群的數量增長特別感興趣。

他發現，正常情況下，一對企鵝夫婦每年產兩只蛋。通常只有從較大的蛋中孵出的企鵝寶寶能夠存活。對于跳巖企鵝來說，第一個蛋的重量約為78 g，第二個蛋的重量約為110 g。

問題1：第一個蛋的重量是第二個蛋的百分之多少？

問題2：第二個蛋約比第一個蛋重百分之多少？

問題3：你還能提出什么問題？

學生根據前兩個問題能進一步提出：第二個蛋的重量是第一個蛋的百分之多少？第一個蛋約比第二個蛋輕百分之多少？雖然看似相差無幾，但是計算方法與結果都完全不同，有助于學生進一步理解和認識百分數的意義及計算。

2.抓住機會，引導學生質疑問難。

在學習過程中，由思維碰撞產生的問題指向性明確，具有批判性和獨立性，能夠引領學生的思維走向深處。例如，長方體和正方體的表面積計算問題：

如下頁圖2，將一個棱長為3厘米的正方體切分成27個棱長為1厘米的小正方體，表面積比原來增加了多少？

圖2

學生最容易想到的方法是，求出原來正方體的表面積和27個小正方體的表面積，再求差。此時，可以展示不同的解答思路，如3×3×6×2，讓學生進行提問。學生會提出以下問題：（1）為什么要用大正方體一個面的面積乘6？對此，引導學生理解“切了6次”。（2）最后的“×2”算的什么？對此，引導學生認識到：切1次增加了2個面的面積。

（三）分析問題：建立操作序列，深度理解和組織信息

“問題解決”不是一蹴而就的，它是一個復雜、動態的過程，需要由一系列的心理操作來完成。這些心理操作具有序列性和系統性，由不同的操作序列形成的解決問題的方法和途徑都各不相同。這樣的操作序列體現在分析問題的過程中。

從解決問題的步驟來看，收集和理解信息是第一步，需要學生有較強的信息解讀能力和從“實際問題”中抽出“數學問題”的能力。準確地獲取信息，正確理解信息與信息、信息與問題之間的關系，有利于學生表征問題，順利實現問題的轉化。

1.信息分散：指導學生全面分析。

對于如圖3所示的圖文結合的實際問題，要引導學生有序地讀題，既看文字中的條件，也看圖片中的條件，并將文字中的條件和圖片中的條件相對應，理清解答思路。

圖3

2.信息量大：指導學生運用方法。

對于如圖4所示的信息量非常大的實際問題，在解答第（1）小問時，可以引導學生先只關注東、西部的耕地情況，根據問題收集、整理相關的信息，必要時進行圈畫、連線或列表等輔助操作。

4. 下表是我國東、西部地區各類土地資源面積分別占全國同類土地資源總面積的百分數。

（1） 我國的耕地大部分在東部地區還是西部地區？林地呢？

（2） 寫出東部地區和西部地區耕地面積的比。

（3） 從表中還能獲得哪些信息？你還能提出哪些問題？

圖4

3.信息抽象：指導學生借助直觀。

對于如圖5所示的比較抽象的行程問題，學生將所有信息在頭腦中進行想象和組織有一定的困難，教師應該引導學生有意識地通過畫示意圖、模擬操作等將信息直觀化，從而弄清條件信息中的數量關系。

圖5

（四）解決問題：深化內在聯系，從方法到思想進階

“問題解決”是在一定的認知成分基礎上展開的。從紛繁復雜的實際問題中篩選出有用的信息并抽象成數學問題，這是第一個轉化;分析數量關系，用數學方法求解并在實際中檢驗，這是第二個轉化。掌握解決問題的方法、形成一定的解題策略、感悟數學思想方法，是提升解決問題能力的重要方面。

1.方法：從“舉三反一”到“舉一反三”。

“舉三反一”就是追求解決問題的“結構化”。借助“結構化”，學生能將模型應用于新的問題情境中，達到舉一反三的目的。例如：

原型王老師買了5套《童話故事》，每套75元，又買了3套《科幻故事》，每套95元。一共要付多少元錢？

數量變換李老師買了3個足球，每個68元，還買了7個籃球，每個46元。一共要付多少元錢？

情境變換張大伯種梨樹和蘋果樹各4行，梨樹每行30棵，蘋果樹每行26棵。一共種了多少棵樹？

兩積之和的數量關系a×n+b×m=c是小學數學中應用范圍相當廣泛的一個數學模型。當兩個積中各有一個因數相等時，設n=m=x，ax+bx=c就是它的一個典型變式。因此，“兩積之和”是必須“有限覆蓋”并且給予重點關注的數量關系。

2.思想：從“舍本逐末”到“逐本舍末”。

教學“探索規律”和“解決問題的策略”這兩部分內容時，常有教師囿于各式各樣的習題，認為每道題都是一種不同的方法，每道題都需要講解，于是情境頻繁更換，規律無法形成，策略得不到提升。

實際上，數學思想蘊含在數學內容形成、發展和應用的過程中，起著關鍵和核心作用，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，是對數學事實與理論的本質認識。數學思想具有“潛在性”和“持久性”。教師應該引導學生通過對知識本源的探尋和追溯來感悟和體驗數學思想，從感性的教學素材中抓取理性的數學本質，通過抽象、分類、歸納、演繹、模型等，使數學知識和方法升華為數學思想，最終達到“以一抵百”的教學效度。

例如，教學“搭配問題”時，首先創設一個衣服配褲子的生活情境。對此，學生是有經驗的并且是“可感”的。隨后，讓學生想辦法表述出自己的搭配方法。這時，由于學生的思維水平不同，就會出現多種表達：有的用文字敘述，有的用“黃”“紅”等簡單的漢字表示衣服、褲子后連線表示，有的直接用符號來表示。事實上，表示問題的連線圖已經擺脫了生活背景，抽象為兩類事物搭配的一種模型了。在教師有目的的分層展示過程中，學生經歷抽象的簡約階段和符號階段。這時，教師再通過增加1條褲子或1件衣服，來使一個自變量不變，另一個自變量變化，引起因變量變化，促使學生離開實物操作，借助相對抽象的連線圖，發現數量之間的關系，學生很快就能將這種關系與乘法模型建立聯系。以此為基礎，將多個實例進行同類對比，就能去除該類問題的非本質屬性，推而廣之，歸納出更為一般化的“乘法原理”，達到抽象的普適階段。

參考文獻：

[1] 郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11）.

[2] ﹝蘇聯﹞蘇霍姆林斯基.把整個心靈獻給孩子[M].唐其慈，畢淑芝，趙瑋，譯.天津：天津人民出版社，1981.

[3] 郭華.帶領學生進入歷史：“兩次倒轉”教學機制的理論意義[J].北京大學教育評論，2016（2）.

[4] 吳永軍.關于深度學習的再認識[J].課程·教材·教法，2019（2）.

[5] 郭華.深度學習之“深”[J].新課程評論，2018（6）.

[6] 何玲，黎加厚.促進學生深度學習[J].現代教學，2005（5）.

[7] 卜彩麗，馮曉曉，張寶輝.深度學習的概念、策略、效果及其啟示——美國深度學習項目（SDL）的解讀與分析[J].遠程教育雜志，2016（5）.

[8] 曹培英.小學數學問題解決的教學研究（一）[J].小學數學教育，2013（6）.

[9] 張立國，謝佳睿，王國華.基于問題解決的深度學習模型[J].中國遠程教育，2017（8）.

[10] 孫曉天.關于數學基本思想的若干認識與思考[J].江蘇教育（小學教學），2012（12）.