數學問題：從“價值”到“處理”

錢德春 呂同林

摘要：數學教學中，數學問題的價值在于讓學生感到“有困惑”（產生認知沖突）、“有意義”（直擊數學本質）。數學問題的來源包括生活現實、數學現實、其他學科現實。數學問題既可以產生于教師的預設，也可以產生于學生的生成。數學問題的表征形式是多樣的，如文字表征、數式表征、圖表表征、模型表征、實驗表征等，對同一類型也可以從不同方向進行表征。數學問題的呈現形式可以分為“自下而上”式和“自上而下”式。基本的數學問題處理方式有學生自主探究、相互協作學習、教師引導點撥。

關鍵詞：數學問題價值預設生成處理

問題是數學的心臟，是數學知識的引發點，是數學思維的驅動器，也是數學教學的邏輯起點。引導學生發現、提出問題和分析、解決問題，在“問題解決”中建構數學知識、發展數學思維、提升數學素養，是數學教學的根本任務。數學教師在教學中必須面對的問題是：數學問題有什么價值？從哪里來？如何產生？有哪些形式？怎樣表征？怎樣呈現？如何處理？本文對此談一談筆者的思考。

一、數學問題的價值

許多數學課堂比較重視情境引入。這無可厚非。然而情境的作用何在？不少教師不假思索，脫口而出：激發學生的學習興趣唄。理念決定行為。不少教師逢課必“情境”：或講一個有趣的故事，或呈現、播放一些吸引學生眼球的圖片、視頻，或讓學生做一個游戲，或讓學生進行操作……有的課堂在情境引入環節需要用去四五分鐘時間，看上去很花哨、喧鬧，可學生在“興奮”之后卻不知道要干什么。裴光亞先生說：教育價值是教學設計的靈魂。事實上，情境作用還在于讓學生感到“有困惑”（產生認知沖突）、“有意義”（直擊數學本質），從而提出數學問題，引發數學思考和探索，促進深度建構和理解。

（一）“有困惑”——產生認知沖突

學生感到“有困惑”，產生認知沖突，才有學習與研究的動力。比如，教學“一元二次方程的認識”時，不少教師通過實際問題列出方程x2=2、x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25、5（1+x）2=9.8，然后引導學生歸納共同特征、給出定義。但是，沒有從學生的角度思考：方程列出后最關心什么？有認知沖突嗎？為什么要學這個內容？其實，這些問題才是學習的價值，也是教學的出發點。而事實上，學生最關心結果是多少。方程x2=2直接可以得到x=2（負值舍去），方程5（1+x）2=9.8可以用開平方法，而方程x（19-2x）=24、x2+（x-1）2=25目前難以直接求解。如果給學生足夠的自主探究時間，他們會將這些方程重新整理，考慮能否轉化為學過的方程。此時，學生的認知沖突自然產生，教師順勢提出問題：這是什么方程呢？這時，給這樣的方程下定義的時機就成熟了。

（二）“有意義”——直擊數學本質

有些問題直擊數學本質，更有數學意義，更加值得提出。比如，教學“三角形中位線定理”時，許多教師設計這樣的問題情境：要測量一個水池不能直接到達的兩點A、B之間的距離，在地面上取另一點C，連接AC、BC，取AC、BC的中點D、E（如圖1），量出DE的長，就知道AB的長，你知道這是為什么嗎？讓學生畫一畫、量一量、猜一猜、想一想。那么，問題來了：怎么想到設計這樣的圖形的？為什么要這樣？一定要這樣嗎？基于此，一位教師這樣設計：利用幾何畫板畫出△ABC，設D為邊AC上一動點，作DE∥AB，交邊BC于點E（如圖2），將點D在邊AC上從點C向點A移動，在移動的過程中，你發現DE的長度如何變化？（預設：從0到AB的長。）在DE從0變到AB長的過程中，你發現有什么特殊的長度嗎？（預設：一定有一個長度等于12AB。）這是“一般中的特殊”，體現了數學的本質，有研究的價值。

二、數學問題的來源

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學素材和問題情境的選擇“應該盡量與學生的生活現實、數學現實、其他學科現實相聯系”。

（一）數學問題來源于生活現實

現實世界是數學的源頭活水。一方面，數學是對現實世界的抽象和概括，另一方面，數學原理和模型又可以從現實中找到原型。初中學生的思維正處于從直觀感性向抽象理性轉變的階段，他們對現實世界充滿了好奇，對身邊的數學現象探索興趣濃厚。如果教學中能夠借助生活現實引入數學模型，學生對數學知識與方法的認識、感悟會更加深刻、持久。

比如，教學“零指數冪存在性”時，選取細胞分裂的實例，探討細胞分裂3次、2次、1次后數量表示規律，然后追問：沒有分裂時，細胞個數如何表示？學生自然會回答是“1”。接著，讓學生在數軸上尋找20表示的點的位置。通過實際情境和實踐操作，學生充分感受到了“零指數冪”的現實意義。

再如，教學“有理數乘法運算法則”時，利用“水庫水位升降”的生活現實，讓學生自主列式，并分析因數與積之間的符號、絕對值關系。通過現實意義感悟符號法則，促進了有理數乘法法則的有效建構。

當然，素材的選擇要注意適切性。例如，利用“跳水運動員入水時身體與水面的關系”作為“直線垂直”的例子，由于該情境近似于“線面垂直”問題，所以用于“直線垂直”教學并不妥當。

（二）數學問題來源于數學現實

從數學內部現象出發，引導學生展開思考和探索，進而發現新規律、產生新知識，本質上是一種創新、創造和發明。數學發展史上的三次危機都來自數學內部矛盾，正是對這些矛盾的探索與解決，推動了數學的發展。弗賴登塔爾倡導“縱向數學化”，就是讓數學知識層層推進，思維逐級攀升;讓數學知識自然生長和內化，思考靈動而深刻。抓住數學內部矛盾和聯系展開數學教學，不失為一種行之有效的教學策略。

比如，教學“零指數冪與負整數指數冪”時，可以提出問題：前面研究同底數冪的除法性質am÷an=am-n時限定了m>n，但是現實中m可以小于或等于n。當m≤n時，運用此法會出現什么情況？（預設：指數出現了0和負整數。）如果用乘方的定義解釋，a3表示3個a相乘，那么，a0是不是表示0個a相乘？a-1是不是表示-1個a相乘？當m≤n時，同底數冪的除法運算可否進行？怎樣計算？一連串從數學知識內部產生的問題，激發了學生的探究欲望。

（三）數學問題來源于其他學科現實

許多數學問題的產生以及數學觀點的提出源于其他學科面臨的挑戰。比如，微積分概念的提出與理論的突破，一個重要原因是解決運動中即時速度的問題;而物體的重心、物體相互作用的引力等的研究，都提出了新的數學問題。

因此，通過其他學科現實提出數學問題是數學教學的一種策略。比如，根據運動、壓強等物理現象提出函數問題。學生經歷由物理現象抽象數學問題的過程，可以觸摸數學學習的意義，堅定數學探究的信念。

三、數學問題的產生

數學問題既可以產生于教師的預設，也可以產生于學生的生成。

（一）數學問題產生于教師的預設

教師預設的問題直接關系到教學目標的達成，影響到學生學習的效果。比如，教學“可化為一元一次方程的分式方程”時，學生的學習目標是“理解分式方程以及增根的意義，會將分式方程轉化為整式方程，知道解分式方程時產生增根的原因”，認知基礎是“一元一次方程”。教師可以預設這樣的解方程問題：（1）2x-54+x3=12;（2）3x2-1+1=x-1x+1;（3）xx-1+1=1x-1。這三個方程都含有分母，都可以通過直接去分母解決。但是，這三個方程又各有意圖：方程（1）是一元一次方程，學生利用已有知識可以直接解決;方程（2）和（3）都是分母含有字母的方程，學生同樣去分母，解方程（2）得x=-12后不會發現“異常”，解方程（3）得x=1后會發現分母為0，即方程無意義了。學生的問題由此產生：怎么會出現這種情況呢？進而探討原因，說明這樣的方程與已學的方程不同，必須給出定義并進行研究。學生問題的產生正是源于教師精心的預設。

（二）數學問題產生于學生的生成

課堂上生成的問題最鮮活、最靈動、最具有針對性，教學的亮點就在于鮮活、靈動、精彩的生成。課堂上生成的問題主要源于學生理解的不到位甚至錯誤、思考的跳躍等。不同的學生，生活背景、認知的習慣以及看待問題的角度等方面具有個性特質，但是，無論共性問題還是個性問題，都具有一定的研究價值，具有批判性思維的特征，有必要引導學生探討，從而去偽存真、優化創新，獲得更深刻的認識、更透徹的理解。比如，教學“反比例函數的性質”，在研究性質“當k>0時，雙曲線的兩支分別在第一、三象限，在每一個象限內，y都隨x的增大而減小”時，學生根據學習“一次函數”時的經驗“當k>0時，y隨x的增大而增大”，提出質疑：這里為何要強調“在每一個象限內”？這正是新知識內化和生成的關鍵點。

當然，數學問題的兩種產生方式不可能截然分割：有時學生的生成源于教師巧妙的預設，有時教師的預設源于學生以往的生成。值得一提的是，學生生成的問題有些是暫時無法說清楚的，讓學生有所感悟就行了，不必糾纏于此（這就是裴光亞先生所說的“從不嚴格到嚴格，奔著嚴格而去”）;學習過程中的生成和內化才是課堂教學的關鍵。

四、數學問題的形式

關于數學問題的形式，這里從問題的表征形式和呈現形式兩個方面闡述。

（一）數學問題的表征形式

問題表征是“問題”在人腦中的重新“編碼”，它既是對問題理解的過程，也是對問題理解的結果。準確、合理、全面地對問題進行表征，是尋找問題解決策略的前提。數學問題的表征形式是多樣的，如文字表征、數式表征、圖表表征、模型表征、實驗表征等，對同一類型也可以從不同方向進行表征。

比如，求點P（-1，-2）到直線y=-43x+4的距離。這個問題中的“距離”是關鍵詞，由對“距離”的不同表征可以得到相應的解題思路。由“距離”想到“垂直”，進而想到“直角三角形”，再想到“勾股定理”“三角函數”“直角三角形相似”;由“距離”想到“高”，進而想到“三角形的面積”……這些都可以是解決策略的源頭。

再如，已知A、B、C、O為平面內四點，且AO=BO=CO，∠BOC=110°，求∠BAC的度數。如果只從表面上看問題，由線段相等求角的度數，那么，過程比較復雜，還容易漏解。換一種表征方式，將“AO=BO=CO”轉換為“點A、B、C在以O為圓心、AO長為半徑的圓上”，則可知A、B、C三點都在⊙O上，點A可能在優弧BC上（如圖3），也可能在劣弧BC上（如圖4），問題迎刃而解。

數學問題的有效表征是學習的難點之一。教學中，要有意識地引導學生嘗試問題的多種表征，為解決問題尋找策略與思路。比如，將當前問題用相關的定義、基本事實、定理、公式表征，同一對象（或問題）用不同語言表征;將當前問題用等價的其他問題表征，將當前問題用相近或相鄰的問題表征……

（二）數學問題的呈現形式

數學問題可以有多種呈現形式。從呈現的順序與結構來看，可以分為“自下而上”式和“自上而下”式。所謂“自下而上”式，就是從基本問題出發，基于學生已有的認知，通過設計“問題鏈”、搭建“腳手架”等方式，不斷啟發學生逐步生成知識、積累方法、升級思維，最終解決“更高級”“終結性”的問題。所謂“自上而下”式，就是直接拋出思維含量較大的問題，引導學生通過分析、分解問題，最終將問題“后退”至認知所能抵達之處。

比如，教學“零指數冪與負整數指數冪”時，可以分兩步進行。教學“零指數冪”時，可以采用“自下而上”式：設計感知a0=1的必要性、合理性以及多元表征等教學環節，逐步鋪墊，慢慢引導，進而得出“a0=1（其中a≠0）”的“規定”。教學“負整數指數冪”時，由于學生已有學習“零指數冪”的經驗，可以采用“自上而下”式：直接拋出問題，讓學生自主尋找解決問題的路徑，進而理解“a-n=1an（其中a≠0）”的“規定”。這樣既能檢驗學生對同類問題解決策略的掌握，又能激發學生探究新知的欲望。

“自下而上”式和“自上而下”式不僅可以作為數學問題的呈現形式，也是數學定理、公式和解題教學的策略。比如，在數學解題教學中，從基本問題出發，充分鋪墊，逐步拓展、提升，直至所要講解的綜合問題，就是“自下而上”式;直接呈現一個“大”問題，然后逐步“后退”到基本問題，直至學生頓悟之處，就是“自上而下”式。至于采用哪種呈現形式，要根據學生的認知能力、思維方式和個性特征來確定，還要根據學習內容與學習階段來確定。

五、數學問題的處理

教學中，如何處理數學問題可謂見仁見智，沒有一種放之四海而皆準的范式，既取決于教師對數學、教材、學生和教學的理解，也需要根據問題的形式、難度，結合學生的認知基礎、思維能力區別對待。但是，無論如何處理，都應該有一些基本原則和基本路徑可以遵循。基本的數學問題處理方式有學生自主探究、相互協作學習、教師引導點撥。

（一）學生自主探究

對于學生利用已有的數學知識、解題經驗、遷移能力可以獨立完成的問題，可以讓他們自主探究。比如，教學“矩形、菱形、正方形”時，學生已經研究了平行四邊形，掌握了平行四邊形的研究內容（平行四邊形的對稱性以及邊、角和對角線）、研究路徑（平行四邊形的判定——從數量關系到位置關系;平行四邊形的性質——從位置關系到數量關系），教師可以放手讓學生類比平行四邊形的研究，自主展開矩形、菱形、正方形的研究。另外，新知學完后的鞏固性任務也可以讓學生自主探究。

（二）相互協作學習

協作學習是一種學生通過小組或團隊的形式學習的策略。學生可以將探索、發現的信息與小組或團隊內的成員分享、交流。用好協作學習策略，有利于增強學生的思辨能力、表達能力和溝通能力。

問題出現后，可以在學生獨立思考，有了結論時，組織學生討論、交流。比如，教學“乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2”時，提出這樣一個問題：改變（a+b）2中a、b前的符號會有哪些情況？它們分別如何計算？這是一個開放性問題，改變符號后得到的式子會有不同，每個式子計算的方式會有不同，由此可以比較哪種方式更簡潔。學生獨立思考這些問題并有了自己的想法后，教師可以組織學生小組協作、討論交流，了解自己與他人思路的異同，達到取長補短的目的;同時，還能碰撞出思維的火花，讓學生思維的廣度和深度得到進一步發展。

對于一些不能獨立進行的實驗操作和綜合實踐活動，也應該采用協作學習的方式。比如，教學完“平行投影和中心投影”后，開展綜合實踐活動：測量學校廣場旗桿的高度。這是一個實地測量的實驗操作活動，它要求學生利用所學知識設計、選擇、優化方案，需要小組成員通力協作，進行測量與計算，并撰寫實驗報告。

當然，協作交流并不意味著放棄獨立思考。恰恰相反，協作交流中學生的獨立思考尤為重要。如果問題提出后直接讓學生討論、交流，就很難產生思維的碰撞與提升，還會使課堂成為“學優生”的“一言堂”，這樣的協作學習是虛假的、低效的。

（三）教師引導點撥

教師是“學習的組織者、引導者與合作者”，要明確自身的角色，不能越位也不能缺位，“該出手時就出手”。當然，教師引導不能代替學生思考，而應指出思考方向，搭建思維“腳手架”。

教師應該在學生遇到困難時給予引導，在學生跑偏方向時給予糾正，在學生認識膚淺時給予點撥。比如，教學“反比例函數”時，盡管學生學習了“一次函數”，知道從定義、圖像、性質和應用四個方面進行研究，但是由于反比例函數與一次函數的圖像與性質有較大的區別，在作出y=6x的圖像之前，教師可以做一些引導：xy=6>0，故x、y同號，相應的點只能在第一、三象限;xy=6≠0，則x≠0、y≠0，則圖像上的點不能在坐標軸上;|x|無限增大時，|y|無限接近于0，則圖像上的點無限接近坐標軸……這樣的引導讓學生的探究有方向、有路徑。

當新知生成或問題解決后，學生頭腦中的知識可能處于“碎片化”狀態，理解也可能停留在淺層次。這時，學生需要教師的點撥。比如，學生學習了“探索全等三角形的條件”后，教師引導學生梳理建構，然后提問：一般三角形全等的判定方法有“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，為什么沒有“SSA”？對此，教師通過實例引導學生深入探究：如圖5，已知線段a、b及角α，畫△ABC，使∠B=α，BC=a，AC=b。在畫出∠B=α，BC=a后，以C為圓心、b為半徑畫弧，該弧與∠B的一邊BM的公共點就是點A，而公共點的個數由b的大小確定：如圖6，作CH⊥BM于點H，當CH<b<a時，有兩個公共點A1、A2，符合條件的三角形有△A1BC和△A2BC兩個。這兩個三角形滿足“SSA”，但不全等。通過教師引導下的探究，學生對問題的理解更加透徹，認識得到了升華。

再如，解決一道題目后，教師要帶領學生思考：問題解決用到了哪些知識？有哪些思路、策略？滲透了哪些思想方法？問題從哪里來？還可以往哪里去（即有何變式）？……通過教師的點撥，學生的思維會更加深刻。

參考文獻：

[1] 錢德春.基于問題驅動與價值引領的課堂教學——滬科版“10.5可以化成一元一次方程的分式方程”觀課有感[J].中學數學（初中），2017（3）.