基于數學實驗的STEM教育

梅浩 袁智強 鄭柯

摘要：基于當前國內數學課程中的數學實驗內容開設STEM課程，探索STEM教育的本土化。基于數學實驗，整合手持技術、物理熱力學和函數模型的應用等教學內容，設計“探究金屬的冷卻模型”課題;基于“6E”教學模式，采用PBL教學法，在某重點中學的一節高一數學課上，引導學生探究在常溫環境下，鐵塊在加熱后的冷卻過程中溫度隨時間變化的規律。得到教學啟示：注重信息技術融合，提升數學教學效率;開展數學實驗教學，促進核心素養發展;實現學科交叉融合，滲透STEM教育理念。

關鍵詞：STEM教育 數學實驗 “6E”教學模式 金屬冷卻模型

自2015年以來，以跨學科為核心特征的STEM教育在國內相關政策的導向下迅速發展，學校、企業和民間組織等開始合作開展STEM教育的教學實踐和教研活動。但是，了解STEM教育在中小學落地的現狀之后不難發現，很多課程的開展是在商業活動的推動下進行的，只是對美國等西方國家STEM課程案例的簡單復制。這種“拿來主義”在實際教學中難以達到預期效果。

目前，中小學實施STEM教育一般以信息技術教師為主要執教者，以科學課、綜合實踐課的形式開展。現有的這些課程在實現學科交叉融合方面還不夠深入，很容易存在整合視野窄化的問題。此外，數學、物理等理工科的教學有明確的目標任務和課時安排，很少有教師借助現有的資源，從真實情境中結合其他學科知識來開展STEM教育。

其實，在目前國內文理不分科的大背景下，跨學科整合更是剛需。我們認為，可以基于當前國內數學課程中的數學實驗內容開設STEM課程，探索STEM教育的本土化，開展適合中國學生的STEM教育。這既能緩解課程時間安排上的矛盾，又能挖掘現有教育資源中的STEM教育機會，深層次地融合學校各學科現有的教學內容、教學目標。

因此，我們基于數學實驗，整合了手持技術、物理熱力學和函數模型的應用等教學內容，設計了“探究金屬的冷卻模型”課題;在某重點中學的一節高一數學課上，引導學生探究在常溫環境下，鐵塊在加熱后的冷卻過程中溫度隨時間變化的規律。

一、理論基礎

本課題的教學基于“6E”教學模式，采用PBL教學法，引導學生從真實情境中發現問題，經歷數學建模的過程，體會數學的應用價值，學會運用數學的思維解決現實世界的問題。

（一）“6E”教學模式

“6E”教學模式是對“5E”教學模式的修改和拓展。1989年，美國生物學課程研究團隊提出了基于建構主義理論和概念轉變理論的“5E”教學模式。該教學模式包括5個教學環節，即引入（Engage）、探究（Explore）、解釋（Explain）、精致（Elaborate）和評價（Evaluate）。它比傳統的教學模式更有利于學生學業水平的提高，也更能提高學生的學習興趣。

在本課題的教學過程中，教師要引導學生采用手持技術收集數據，開展數學實驗（Experiment）。因此，我們把“5E”教學模式變成了“6E”教學模式：情境引入（Engage）、科學探究（Explore）、原理解釋（Explain）、數學實驗（Experiment）、模型精致（Elaborate）和總結評價（Evaluate）。

（二）PBL教學法

PBL教學法是指基于問題的教學方法（ProblemBased Learning）。它要求教師創設一種以問題為驅動的學習環境，通過提問的方式，不斷激發學生思考和探索;強調把學習設置于復雜的、有意義的情境問題中，并讓學生成為主體，以小組合作的形式理解情境、分析問題，學習解決問題所需要的知識和技能，進而解決問題。PBL教學法更注重學生自主學習能力、實踐創新能力和發現問題能力的培養，期望學生在教師的引導下，通過自主探究和小組合作，提高解決實際問題的能力，實現知識的深層建構。

在本課題的教學過程中，教師應著力營造一種以問題為導向的學習環境，提出相關問題，引導學生思考和探索環境溫度和初始溫度對鐵塊冷卻的影響，并在實驗環節修改得到更合理的函數模型;把函數模型應用的相關知識設置于生活化的、有意義的情境問題中，并讓學生成為探索和構建金屬（鐵塊）冷卻模型的主體，以小組合作的形式理解情境、分析問題，學習解決問題所需要的知識和技能，進而解決問題，經歷抽象問題和去情境化的過程。

二、教學設計與實施

（一）情境引入——創設情境，明確問題

教師開門見山，以圖文并茂的形式介紹生活中常見的物質在不同物理狀態（氣態、液態、固態）下的冷卻現象，然后引入本節課的問題“金屬在冷卻過程中溫度隨時間的變化有什么規律”，并指出不同的函數模型可以描述不同的規律，以問題驅動的方式引導學生進一步明確任務。教學片段如下：

師剛才，我們觀察了生活中的冷卻現象。這節課，我們探究鐵塊在冷卻過程中溫度隨時間變化的規律。請大家結合生活經驗和物理常識思考一下：有哪些因素會影響鐵塊的冷卻時間呢？請給出依據。

生（眾）空氣流動的速度：速度越快，鐵塊冷卻越快;鐵塊的表面積：表面積越大，與空氣接觸的地方越多，冷卻也就越快。

師同學們回答得很好，但是還有兩個主要因素沒有考慮。有哪位同學知道嗎？

（學生遲疑。）

師我給大家一些提示：同樣的兩杯100℃的水放在教室里和放在冰箱里，哪一杯水先降到40℃？

生（齊）冰箱里的那杯水。

師同學們再做一個判斷：等量的兩杯水，一杯80℃，另一杯60℃，放在教室里，哪一杯水先降到40℃？

生（齊）60℃的水。

師通過上面兩個比較，你們能用自己的語言概括出這兩個因素是什么嗎？

生（眾）所處環境的溫度、物體初始的溫度。

師同學們的概括很正確。物體所處環境溫度及初始溫度也會影響冷卻時間。同時考慮這么多因素是很復雜的，而我們開展研究往往先考慮主要因素，暫時不考慮次要因素。假設我們將鐵塊放在一個恒溫環境中進行自然冷卻，那么，我們需要考慮的主要因素有哪些呢？

生環境溫度和初始溫度。

師所以，我們最終要探究的問題是：加熱后的鐵塊放置在穩定的常溫環境下冷卻時，溫度隨時間的變化有什么規律？

（二）科學探究——小組合作，設計實驗

由于學生已經掌握了基本的數學實驗知識，獲得了基本的數學實驗經驗，教師指導學生根據已有知識和經驗分析出需要收集的數據：時間t和溫度θ。經過小組討論，學生設計出了一套收集數據的實驗方案（如表1）。

（三）原理解釋——展示設計，預測結果

經過梳理比較，學生優化得到最佳的實驗方案。教師要求學生采用實物展示和思維導圖等多種方式，說明為什么選擇以及怎樣實施，并預測會有怎樣的效果。上述分析和預測的過程以“提出問題—分析問題—解決問題—評估結果”的PBL模式展開。教學片段如下：

（學生展示實驗方案后。）

師我們根據優化后的最佳實驗方案來采集數據。請同學們預測一下：溫度θ隨時間t變化的曲線可能是什么樣的？請先思考一下，然后試著在草稿紙上畫出來。

生（出示圖2）我們小組覺得可能是負相關，是一條遞減的直線，大概是均勻變化的。

生（出示圖3）我們覺得可能是這樣的一條曲線，變化不是均勻的。

師同學們覺得這兩種曲線合理嗎？或者說，你能再改進嗎？

（學生遲疑。）

師我們一起來分析一下。鐵塊從一個初始溫度θ1開始冷卻，這個時候對應的時間是多少？

生（齊）0。

師那么這條曲線經過定點（0，θ1）。（停頓）結合生活中觀察到的現象，一杯開水的溫度會不會一直下降？

生不會。

師如果不會，那么最終溫度應該接近什么溫度？

生（眾）室內溫度……環境溫度……

師也就是說，我們的曲線最終會接近一條直線，這條直線表示的就是環境溫度。所以，加熱后鐵塊的溫度不是隨時間均勻變化的。（停頓）這兩位同學提出的曲線都不能合理地描述溫度隨時間變化的規律。（出示圖4）結合剛才分析的兩個條件，即經過定點（0，θ1），最終溫度趨近于環境溫度θ0，我們可以預測鐵塊的溫度隨時間變化的圖形應該是這樣的。（停頓）現在請同學們觀察我們預測的曲線，結合前面學過的函數圖像知識來思考：我們預測的曲線比較像哪個函數圖像呢？

（學生遲疑。）

師我們來看，這條曲線是一直單調遞減的，而且是變化不均勻的，那么，哪些函數符合這種變化規律呢？

生對數函數。

生指數函數。

師什么樣的對數函數或指數函數？

生底數在0—1之間的。

師同學們猜測的對數函數或指數函數，從單調性來看，都具有合理性;但是，從起始點和最終值來看，指數函數更合理一些。當然，實踐是檢驗真理的唯一標準。接下來，我們通過做實驗收集數據，來檢驗具體是什么函數模型，即驗證我們的猜想是否正確。

（四）數學實驗——收集數據，驗證模型

教師根據實驗方案連接實驗設備（如圖5），演示實驗操作：通過溫度傳感器、數據采集器和圖形計算器收集、處理100個樣本點的數據（如圖6）。然后，通過無線管理器配套軟件將數據發送到學生的圖形計算器上，指導學生作出散點圖，利用擬合功能分別進行對數型函數和指數型函數的曲線擬合（分別如圖7、圖8），得到擬合曲線的函數表達式，并結合圖形評估擬合的效果，得到最合理的函數模型。

學生初步觀察擬合曲線與散點圖，發現對數型函數擬合曲線與散點圖有較大的偏差，指數型函數y=ae-kx擬合曲線擬合效果較好。但是，放大、拖動指數型函數擬合曲線后，發現它趨近于溫度為0的水平軸，與物理常識相悖，因為鐵塊溫度最后應當趨近于環境溫度。因此，教師再次引入PBL模式展開教學：

（1）提出問題。教師提問：指數型函數擬合曲線雖然能較好地擬合散點圖，但是與物理常識不符，那么，擬合的指數型函數哪些地方需要修改？如何修改？

（2）分析問題。學生以小組為單位展開討論，分析問題所在，提出解決方法。教師根據討論情況對學生小組進行適當的指導，引導學生重點觀察指數型函數擬合曲線最后趨近的溫度。

（3）解決問題。學生在小組討論的基礎上，向全班匯報不合理的地方和修改的方法，并解釋原因。

（4）評估結果。教師對學生匯報的方案進行評價和指導，對合理的內容加以總結和確認，對不合理的地方加以明確和糾正。同時，小組之間、成員之間也可以提出意見和建議。

經過這一過程，學生將指數型函數y=ae-kx修改為y=ae-kx+b，根據經過定點（0，θ1）和趨近于θ0，得到修改后的指數型函數為y=（θ1-θ0）e-kx+θ0（x為時間，y為溫度，k為參數），得到新的擬合曲線如圖9。

（五）模型精致——豐富知識，遷移運用

教師對建立的指數型函數模型加以豐富、拓展，介紹該模型的一般情況——牛頓冷卻定理及其在互聯網、煉鋼和航天發動機等領域中的應用。然后，要求學生將學到的知識和技能運用到新的學習情境和領域中，鞏固對知識的理解，實現知識的豐富和遷移。

例如：（1）同形狀、同體積的銅塊和鋁塊，對應我們建立的金屬冷卻模型中的參數k值分別為0.0049和0.0037，從120℃冷卻到45℃，哪一個時間更短？從數學的角度來看，銅和鋁哪一個散熱效率更高？（2）電腦上使用純銅的CPU散熱器還是使用鋁制的CPU散熱器好？（3）設計實驗探究材料的不同形狀構造對金屬冷卻模型中參數k的影響，從數學的角度解釋參數k對函數圖像的影響。

（六）總結評價——總結反思，評價激勵

學習是在實踐中不斷修改、螺旋前進的。教師引導學生回憶所學知識和課堂表現，進行總結和評價，可以幫助學生鞏固、強化，促進學生反思、提升。

在本課題的教學臨近結束時，教師引導學生對整體探究金屬冷卻模型的過程進行總結，得到利用函數模型解決實際問題的基本方法：提出問題—明確問題—提出方案—收集數據—建立模型—評估模型—修改模型—解決問題。然后，對整個實驗過程中的各個環節提出修改意見，并對各個環節中表現較好的小組所做的具體工作給予積極的評價。

三、總結與反思

（一）注重信息技術融合，提升數學教學效率

教學過程要滿足學生的認知需求，提高教學效率。認知負荷理論認為，人類在信息加工的過程中能夠加工的信息總量是有限的。教學內容的難點往往會超出部分學生的認知負荷總量。對于這些知識的學習，專家型教師可以憑借豐富的學科教學知識將其解構為通俗易懂、由淺入深的學習過程，然而新手教師很難實現這一點。作為STEM教育的重要內容，技術（產品和過程）源于工程設計，可以通過改造自然滿足人類的需求。研究表明，恰當地將信息技術與教學內容整合，能夠降低學生學習過程中的認知負荷，提高教學效率。

本課題的教學過程中，教師借助圖形計算器直觀展示真實情境中數據的采集和處理過程，即時驗證學生的猜想，既降低了認知難度，又激發了學習興趣，從而提高了教學效率。

（二）開展數學實驗教學，促進核心素養發展

數學教育要教會學生“用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”。核心素養是后天習得的，是與特定的情境有關的;核心素養的培養最終是在教學活動中實現的。傳統的教學模式缺乏真實的情境問題，各學科知識處于割裂的狀態，不利于培養學生解決實際問題的能力。基于數學實驗開展STEM教育，搭建起眾多學科之間的橋梁，用整體的眼光來認識世界，綜合解決問題，有利于促進學生的核心素養發展。

本課題的教學過程中，教師讓學生經歷利用手持技術從現實情境中進行數據采集和處理的過程，利用擬合功能自主構建數學模型，降低了數學建模的復雜性，在實證的過程中培養了學生的數學建模和數據分析等核心素養。

（三）實現學科交叉融合，滲透STEM教育理念

國內中小學開展STEM教育應考慮基礎教育的需求，結合當前相關學科的教育資源，在教學中滲透STEM教育理念，而不是一味地拘泥于教學形式。支持數學和（或）科學的學習是整合性STEM教育的核心要素之一。在數學實驗中實現學科交叉融合，滲透STEM教育理念，是開展STEM教育的一條有效路徑，可以對已有教學資源“再開發”，緩解部分中小學有開展STEM教育需求但不具備充足教學課時的矛盾。學生在真實的情境問題中激發想法和猜測，通過設計、操作數學實驗來驗證模型，體會數學的趣味性和價值，體現了STEM教育的特征。

本課題根據STEM教育理念，拓展教材上探究金屬冷卻模型的教學內容，為中小學開發STEM課程案例提供了借鑒。

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