從比例系數到相似比、三角函數

摘要：在變量數學的很多關系式中，存在一些相對的常量，集中反映事物的主要特征，可以被稱為“特征數字”。有了這些特征數字，人們就可以把事物構造成系列，從最簡單、最熟知的事物出發來認識其他事物了。比例系數是一種重要的特征數字，反映了兩個變量之間比值不變的特征。學習“正比例函數”時，要多角度地理解比例系數（比值不變），并學會用其來認識相關事物，如單調性和導數、相似比、三角函數等。從比例系數到相似比、三角函數，可以把數學學科核心素養融為一個有機的整體。

關鍵詞：教育數學 比例系數 相似比 三角函數

值得一提的是，相似比、三角函數作為線段之間的除法運算，對于解決線段乘法的問題也非常有用。而面積實際上是兩條垂直（正交）的線段之積，故相似比、三角函數也可以看作面積的比值。教育數學中，利用面積比代替線段比來定義三角函數，目的在于利用垂直關系“消點”，而不是揭示不同度量方式之間的關系。

三、“以數馭形”的教學意義

“萬物皆數”是古希臘數學家的哲學認識、信念。如何將這種認識、信念轉化成數學的、實踐的，從上面的分析中大致可見一斑。抓住數量特征，用數字說話，不僅得到了實證科學的認可，而且得到了工程技術領域的廣泛應用。比如，解析幾何的基本思想就是以數思形，動態幾何軟件制作動畫的精髓就是以數驅形：表面上是圖形在變化，實際上是數字在變化。

在教學中，要讓學生抓住數字所描述的意義，讓數字說話。比如，待定系數法的教學意義就是讓學生認識到數字的內在含義，而不是機械地學會待定系數法的步驟。又如，確定線性回歸方程的要領在于確定系數，是采用最小二乘法來做的，這與確定性數學里所使用的經驗型“兩點確定一條直線”的方法有著根本的不同。

從圖形到數，是從直觀想象走向數學抽象，要逐步學會邏輯推理和數學運算;從數據到數，是從經驗走到理性，要逐步積累基于數據表達現實問題，根據數據探索事物本質關聯和規律的活動經驗，形成通過數據認識事物的思維品質，學會數學建模。從比例系數到相似比、三角函數，可以把數學學科核心素養融為一個有機的整體。

參考文獻：

[1] 徐章韜.從全等、相似到面積、三角——教育數學研究之七[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（1）.

[2] 張景中，曹培生.從數學教育到教育數學（典藏版）[M].北京：中國少年兒童出版社，2011.

[3] 李興貴，賴虎強.教育數學概論[M].北京：科學出版社，2018.