單元視角下“圓的方程”專題的問題串設(shè)計(jì)

摘要：基于“直線與圓”單元的整體分析，將“圓的方程”專題整合為2個課時，第一課時研究圓的代數(shù)表示——標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，第二課時研究直線與圓的位置關(guān)系。基于“圓的方程”專題的教學(xué)要素分析，設(shè)計(jì)該專題的問題串（例題組），指出：邏輯明確、思維連貫、逐層深入是設(shè)計(jì)問題串（例題組）的基本要求，也是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考和研究，善于提出和分析問題的重要出發(fā)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：中觀設(shè)計(jì) 單元視角 問題串設(shè)計(jì) 圓的方程

在《高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計(jì)：現(xiàn)狀、問題與對策》一文中，筆者提出：“確定單元內(nèi)容后，應(yīng)該在中觀層面上引導(dǎo)學(xué)生掌握研究一個新的數(shù)學(xué)對象的‘基本套路’。”具體而言，就是在單元整體的“大觀點(diǎn)”（big idea）下，設(shè)計(jì)出體現(xiàn)數(shù)學(xué)整體性、邏輯連貫性的系列化數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學(xué)問題，探尋解決問題的數(shù)學(xué)方法。本文以“直線與圓”單元中“圓的方程”專題為例，討論如何整合教材內(nèi)容，設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}串（例題組），突出單元視角下問題引導(dǎo)和解題教學(xué)的內(nèi)在邏輯。

一、“直線與圓”單元的整體分析

我國數(shù)學(xué)教育先驅(qū)傅種孫先生在談及幾何教學(xué)時，指出：“幾何之務(wù)，不在知其然，而在知其所以然;不在知其所以然，而在何由以知其所以然。”在這一思想的指引下，章建躍博士梳理出中學(xué)幾何教學(xué)中研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑：界定數(shù)學(xué)對象（給定義）—對象的表示和分類—基本性質(zhì)（對象內(nèi)部各要素之間的關(guān)系）—特例—聯(lián)系和應(yīng)用（與其他對象之間的關(guān)系）。“直線與圓”單元的研究路徑大致符合這一路徑，同時也具有獨(dú)特的個性。

首先，直線與圓作為兩種最特殊的曲線，在初中平面幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)做過介紹，在高中解析幾何研究中不需要再給出定義;作為兩類最簡單的曲線，也沒有特例值得研究。正是由于直線與圓的特殊幾何性質(zhì)，在涉及兩者的解析幾何問題的研究中，常常會借助于平面幾何的性質(zhì)。比如，判斷直線與圓的位置關(guān)系，利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系，比利用方程組（聯(lián)立直線與圓的方程）的解，顯得更為方便。這些都是“直線與圓”單元研究路徑的特性。

其次，直線的研究大致遵循“對象的表示—對象內(nèi)部各要素之間的關(guān)系—與其他對象之間的關(guān)系”的基本路徑。直線的方程就是直線這個幾何對象的代數(shù)表示，由定點(diǎn)和方向確定直線，可以得到點(diǎn)方向式、點(diǎn)法向式、點(diǎn)斜式、斜截式方程;由兩個定點(diǎn)確定直線，可以得到兩點(diǎn)式、截距式方程;為了研究兩條直線的位置關(guān)系，需要建立統(tǒng)一的表示，得到直線的一般方程。直線的內(nèi)部要素是點(diǎn)，直線上點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系主要體現(xiàn)在“三點(diǎn)共線”“線段定比分點(diǎn)”等具體問題中。直線與直線的位置關(guān)系分定性（包括平行、相交、重合等）和定量兩個層面進(jìn)行研究;對于兩條平行直線，可以研究兩者之間的距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究點(diǎn)到直線的距離;對于兩條相交直線，可以研究兩者的夾角。需要特別說明的是，對稱性是幾何研究的核心性質(zhì)，而垂直正是對稱性的具體反映，因此，兩條直線垂直應(yīng)該作為一種特殊的位置關(guān)系單獨(dú)研究。

最后，圓的研究主要分為兩大方面。一方面是通過方程來表示圓，包括具有明顯幾何特征的標(biāo)準(zhǔn)方程和具有二次代數(shù)結(jié)構(gòu)的一般方程;另一方面是通過直線與圓的位置關(guān)系來凸顯圓的性質(zhì)，這相當(dāng)于將研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑中的兩個步驟（性質(zhì)、聯(lián)系）合二為一了。

二、“圓的方程”專題的教學(xué)要素分析

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

滬教版高中數(shù)學(xué)教材中，“圓的方程”專題由3個課時組成（各課時的主題粗略可以歸納為標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程和雜例），例題設(shè)計(jì)碎片化，缺乏嚴(yán)密、系統(tǒng)的內(nèi)在邏輯。在具體教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者根據(jù)上述分析，將該專題整合為2個課時，使得每個課時的主題突出，便于問題串（例題組）的設(shè)計(jì)。

第一課時研究圓的代數(shù)表示——標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。在此之前的內(nèi)容是“直線的方程”，之后的內(nèi)容是“圓錐曲線的方程”，所以，本節(jié)課有著承上啟下、展示研究思路、滲透研究方法的作用。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程刻畫了圓的幾何特征：位置（圓心）和大小（半徑）。圓的一般方程刻畫了不同位置、不同大小的圓的共同代數(shù)特征：均為一類二元二次方程。無論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是圓的一般方程，都由三個參數(shù)確定，因此，用待定系數(shù)法求圓的方程，是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)。

第二課時研究直線與圓的位置關(guān)系。這是解析幾何中第一次系統(tǒng)研究直線與二次曲線的位置關(guān)系，在此之前的內(nèi)容是“直線與直線的位置關(guān)系”，所以，本節(jié)課是定量研究兩個幾何對象的位置關(guān)系的相關(guān)理論和方法的延續(xù)與深化。直線與圓是幾何研究的兩個重要對象。在解析幾何中，聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)方程組解的情況，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系，同時可以定量刻畫直線與圓公共點(diǎn)的位置。平面幾何中判斷直線與圓相交、相切等情況的各種方法，在解析幾何中也都有對應(yīng)的代數(shù)表述，并且在圓的研究中具有重要的價值。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是，用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，包括垂徑定理等幾何結(jié)論的代數(shù)表述。

（二）學(xué)生學(xué)情分析

第一課時立足于圓的代數(shù)表示。學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了“曲線和方程”（滬教版高中數(shù)學(xué)教材的編排），初步認(rèn)識了曲線（幾何對象）上的點(diǎn)與方程（代數(shù)表示）的解之間的關(guān)系，會用方程表示動點(diǎn)的軌跡，知道通過聯(lián)立方程的方法研究兩條曲線的交點(diǎn)的問題，因此，可以引導(dǎo)學(xué)生自主完成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)過三元一次方程組的行列式解法，這為利用待定系數(shù)法求圓的方程做了知識準(zhǔn)備。在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的定義及其簡單的幾何性質(zhì)，掌握了單變量二次式的配方，但是尚不熟悉多變量二次式的配方，因此，通過配方法研究二元二次方程表示圓的充要條件，是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

第二課時立足于直線與圓的位置關(guān)系。學(xué)生尚不熟悉運(yùn)動變化的直線與圓的位置關(guān)系的定量刻畫，所以，以圓的動弦的中點(diǎn)軌跡為例，用定量方法研究幾何圖形變化中的不變性，是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

（三）教學(xué)目標(biāo)分析

第一課時：會推導(dǎo)并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，進(jìn)一步熟悉求曲線方程的方法;會用待定系數(shù)法求圓的方程，在對圓的方程兩種形式的選擇過程中，體會形與數(shù)的轉(zhuǎn)化;通過阿波羅尼斯圓的介紹，理解坐標(biāo)法處理幾何問題的基本思路。

第二課時：會用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系來判斷直線與圓的三種位置關(guān)系;會用向量坐標(biāo)、斜率等代數(shù)工具將切線的幾何特征、垂徑定理等結(jié)論代數(shù)化，體會形與數(shù)的轉(zhuǎn)化;通過圓的動弦的中點(diǎn)軌跡問題的研究，感受幾何圖形變化中的不變性。

三、“圓的方程”專題的問題串（例題組）設(shè)計(jì)

（一）第一課時：圓的代數(shù)表示

師今天我們研究圓。研究一個數(shù)學(xué)對象，首先要做界定、給定義，請同學(xué)們復(fù)述圓的定義。

[預(yù)設(shè)學(xué)生回答：平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長（大于零）的點(diǎn)的軌跡，定點(diǎn)為圓的圓心，定長為圓的半徑。]

師界定研究對象后，需要用數(shù)學(xué)語言來表示對象。在解析幾何研究中，我們用方程來表示曲線，再利用方程來研究曲線的性質(zhì)。

（三）問題串（例題組）設(shè)計(jì)說明

在單元整體分析的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題串（例題組），需要以明確的邏輯主線貫穿始終。設(shè)計(jì)每節(jié)課的問題串，應(yīng)按照形式相似、背景相同的原則，通過問題變式，逐漸深入問題的本質(zhì)。例題組的設(shè)計(jì)也是如此，不能“拉到籃子里就是菜”，應(yīng)深入認(rèn)識每道例題的功能和價值，明確選題指向。在“圓的方程”專題的問題串（例題組）設(shè)計(jì)中，兩個課時的邏輯主線都是極為鮮明的：

第一課時通過方程來表示圓。首先，由定義得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（問題1），并由圓心坐標(biāo)、半徑大小鞏固對標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識（問題2）;其次，由標(biāo)準(zhǔn)方程展開得到一般方程，問題3重點(diǎn)在于分析圓的一般方程的結(jié)構(gòu);接著，通過例1比較圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，加深對兩種形式的本質(zhì)認(rèn)識;最后，通過例2凸顯利用方程表示圓的重要價值。

第二課時通過直線與圓的位置關(guān)系來凸顯圓的性質(zhì)。由直線與圓的方程判斷位置關(guān)系，跟初中所學(xué)相比在思維層次上并沒有明顯提升，故而本節(jié)課例題設(shè)計(jì)的邏輯主線是：直線、圓、兩者位置關(guān)系三個信息，已知其中兩個，研究第三個。在具體設(shè)計(jì)時，“已知圓的方程，求切線的方程、動弦中點(diǎn)的軌跡”是探討的主要問題：直線確定時求出其方程，直線不確定時研究其變化中的不變性。例3、例4研究過定點(diǎn)的切線方程，例5研究過定點(diǎn)的動弦中點(diǎn)的軌跡，例6研究定向（斜率固定）的切線方程、定向的動弦中點(diǎn)的軌跡。進(jìn)一步地，在研究問題的選擇上，“已知對象”可以是圓，也可以是直線;“兩者位置關(guān)系”可以是相切、相交;“未知對象”可以定一個條件（比如過定點(diǎn)）。由此，可以提出一系列的其他問題。

總之，引導(dǎo)學(xué)生把握邏輯主線，學(xué)會思考和研究，善于提出和分析問題，是“圓的方程”專題中問題串（例題組）設(shè)計(jì)的重要出發(fā)點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 任念兵.高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計(jì)：現(xiàn)狀、問題與對策[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2018（9）.

[2] 章建躍.學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式解讀內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)——以“相交線”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019（1）.