對“猜測—驗(yàn)證式”數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐和反思

孫燕鵬

蘇霍姆林斯基曾指出：“在人的靈魂深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。”要想讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，就應(yīng)要讓學(xué)生真正成為探究者。在教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生通過他們自己的努力和嘗試去探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“新大陸”。如何讓學(xué)生主動(dòng)的參與到探究中來呢？“猜測—驗(yàn)證”是一種學(xué)生感興趣的方式。

以“平行四邊形的面積”的教學(xué)為例，我開展了一系列的探索。上課伊始，我先拿出有對應(yīng)相等關(guān)系（即長方形的長、寬與平行四邊形的底、高分別相等）的一個(gè)長方形和一個(gè)平行四邊形紙片，讓學(xué)生猜一猜“這兩個(gè)圖形誰的面積大一些？”這時(shí)，學(xué)生之間產(chǎn)生了分歧。他們有的猜測平行四邊形的面積大，有的猜測長方形的面積大，還有的猜兩個(gè)圖形的面積一樣大。面對分歧，我提醒學(xué)生“借助手里的這樣兩個(gè)圖形，想辦法證明自己的觀點(diǎn)。”在我的啟發(fā)下，學(xué)生開始思考、操作、交流。幾分鐘后，學(xué)生開始匯報(bào)自己的證明結(jié)果（邊說邊操作）。學(xué)生的結(jié)論都是“兩個(gè)圖形面積一樣大”，但是學(xué)生的證明方法卻有三種。第一種：“兩個(gè)圖形重疊在一起，把平行四邊形一側(cè)的三角形剪下來補(bǔ)到另一側(cè)變成長方形，與原長方形比較。”第二種：“沿著平行四邊形的高把它兩側(cè)的三角形剪下來，拼在一起成長方形，再和剩下的那塊長方形拼在一起組成長方形，與原長方形比較。”第三種：“把平行四邊形上下對折，兩側(cè)各露出一個(gè)三角形，分別沿著兩個(gè)三角形的高把三角形折過來，這樣就形成了兩個(gè)完全重疊的長方形。再把原長方形上下對折，放在一起比較。”我讓學(xué)生評(píng)價(jià)三種方法，學(xué)生普遍認(rèn)為第一種簡單，便于操作。于是，我順?biāo)浦郏瑢W(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到研究這種方法上去，進(jìn)而揭示了割補(bǔ)法。

接下來，我拿起轉(zhuǎn)化后的長方形和原長方形兩個(gè)紙片，指出“這兩個(gè)圖形完全一樣，我們來看其中一個(gè)圖形（手里拿轉(zhuǎn)化后的長方形）。”這樣使學(xué)生由當(dāng)前研究兩個(gè)圖形巧妙地轉(zhuǎn)移到研究平行四邊形。接著，我告訴學(xué)生：“這個(gè)長方形的長是20厘米，寬是12厘米，問根據(jù)這兩個(gè)條件能求出什么？”這一巧妙的問題不但讓學(xué)生復(fù)習(xí)了長方形面積公式，而且使學(xué)生意識(shí)到用割補(bǔ)法能求平行四邊形的面積。然后，我話鋒一轉(zhuǎn)：“割補(bǔ)法是不是可以求任意一個(gè)平行四邊形的面積呢？”學(xué)生馬上說出：“平行四邊形的菜地不能用割補(bǔ)法”。我緊追不舍：“你們還有更好的方法嗎？”學(xué)生猜出：“應(yīng)該用面積公式”。我進(jìn)一步讓他們猜公式。他們出現(xiàn)兩種觀點(diǎn)“兩個(gè)鄰邊相乘”和“底×高”。學(xué)生進(jìn)行了驗(yàn)證、辯論。有的學(xué)生從數(shù)據(jù)上進(jìn)行了驗(yàn)證，測得平行四邊形的兩個(gè)鄰邊分別為20和15厘米，相乘的積是300，而平行四邊形的面積是240，所以認(rèn)為兩個(gè)鄰邊相乘不對;有的學(xué)生測得它的底是20厘米，高是12厘米，相乘恰好是平行四邊形的面積240平方厘米，認(rèn)為底×高對;也有的學(xué)生認(rèn)為平行四邊形的底與割補(bǔ)后長方形的長相等，高與寬相等，面積也相等，長方形面積等于長乘以寬，所以平行四邊形面積等于底乘以高。經(jīng)過學(xué)生的猜測與驗(yàn)證，終于發(fā)現(xiàn)了平行四邊形面積公式，發(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法。

二、對“猜測—驗(yàn)證式”課堂的實(shí)踐反思

上面的教學(xué)，以“猜測—驗(yàn)證”為主線，學(xué)生學(xué)得輕松，學(xué)得愉快，學(xué)得主動(dòng)，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)課堂的魅力。這主要得益于猜測、驗(yàn)證的恰當(dāng)運(yùn)用。

（一）猜測促進(jìn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)

猜測是根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推斷猜度。在回答要求猜測的問題時(shí)，每一位學(xué)生都沒有自認(rèn)為準(zhǔn)確的答案，他們就可以根據(jù)自己的判斷無所顧忌的進(jìn)行猜測。這樣，就可以營造一種寬松的氛圍，使課堂氣氛變得活躍，有利于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)。在上面的教學(xué)中，共用到三次猜測，第一次在教學(xué)伊始（限于篇幅，未寫出具體過程），我讓學(xué)生猜一猜我的年齡，通過師生間的對話與交流，起到了溝通師生情感、滲透猜測的思想與方法一舉兩得的作用。第二次是讓學(xué)生猜測有對應(yīng)關(guān)系的平行四邊形與長方形的面積的大小。第三次是讓學(xué)生猜測平行四邊形的面積公式。

關(guān)于猜測，波利亞有一段精彩的論述：“我想談一個(gè)小小的建議，可否讓學(xué)生在做題之前，讓他們猜想該題的結(jié)果，或者部分結(jié)果。一位學(xué)生一旦表示出某些猜想，他就把自己與該題連在了一起。他會(huì)急切地想知道他的猜想正確與否，于是他便會(huì)主動(dòng)地關(guān)心這道題，關(guān)心課堂上的進(jìn)展，他就不會(huì)打盹睡覺和搞小動(dòng)作了。”在上面的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生猜測“平行四邊形與長方形紙片的面積大小”和“平行四邊形面積公式”之后，便與這兩個(gè)問題緊緊地聯(lián)系在一起了。所以，當(dāng)進(jìn)入“驗(yàn)證”這個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)時(shí)，學(xué)生就顯得積極主動(dòng)。正是在這樣積極主動(dòng)地探究中，“割補(bǔ)法”和“平行四邊形面積公式”也被學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”了。

（二）驗(yàn)證搭建了交流互動(dòng)的平臺(tái)

當(dāng)學(xué)生有了思考結(jié)果之后，應(yīng)當(dāng)為學(xué)生搭建交流互動(dòng)的平臺(tái)，讓學(xué)生展示自己的思維過程。因?yàn)閷W(xué)生只有在展示中才能“去偽存真”，獲得認(rèn)可、修訂和再建構(gòu)。在這個(gè)過程中，需要教師的組織、引導(dǎo)。在上面的案例中，“平行四邊形面積公式”的猜測出現(xiàn)了兩種情況：“兩個(gè)鄰邊相乘”和“底×高”。如果教師加以判斷說明，那么前面的猜測就沒有意義了。我沒有直接說誰對誰錯(cuò)，而是組織學(xué)生進(jìn)行了辯論，請正、反方學(xué)生分別說明自己的理由。有的學(xué)生從數(shù)據(jù)上進(jìn)行了反駁，也有的學(xué)生從理論上進(jìn)行了證明。這樣，“平行四邊形面積公式”的 “發(fā)現(xiàn)”就水到渠成了。這個(gè)過程讓學(xué)生不僅體驗(yàn)到了探究方式的多樣化，感受到了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系，還可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。這樣的課堂才既有深度又有活力，這也是“交流互動(dòng)”的魅力所在。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）