在“數學實驗”中引導學生“數學地思考”

林超

摘要：“數學實驗”作為數學聯系實際的橋梁，是對數學教學體系的有益補充。在實驗之余，如何以數學的眼光審視實驗的需要、實施的路徑，則為提升數學素養提供了寶貴的契機。

關鍵詞：數學實驗;實驗需要;實驗路徑

一、案例引言

數學實驗是一種為了獲得某種數學結論，檢驗某種數學猜想，解決某類數學問題，而引導學生在創設的特定物質條件下，經過操作、探究、發現、思考、分析、歸納等思維活動，最后領悟概念和解決問題的教學手段，這種教學手段能將抽象的理論具體化，從而帶動全體學生的思考活動，提高對疑問的興趣。因此將“數學實驗”提煉到課程的層次，則是對數學教學體系的有益補充，而在以“數學實驗”為載體的《釘子板上的多邊形》一課教學中，我就深刻認識到，需著眼于讓學生明確探究的問題，親歷探索的過程，在主動思考、探索操作中合理猜想，學會“數學地思考”，并積累數學活動的經驗，提升數學素養。

二、案例描述

來自“給予”和“生成”的思考： 如何讓實驗成為需要？

【前期的試上】（片段1）

1.課前，我請同學們發揮想象，在釘子板上或是在點子圖上創作多邊形，黑板上就是同學們的部分作品。

而我在和同學們一起參觀時，發現大家的想象力都非常豐富，因為同學們設計出的多邊形很有心思，我這也選取了其中兩個作品，現在就請作者來介紹一下自己的設計想法。（字母P、圣誕樹）（為什么設計這個多邊形，多邊形的面積又是怎樣算的？）

2.介紹非常清楚，同時大家有沒有注意，這兩位同學在介紹時，特別關注了三個數量，分別是？（多邊形的面積、多邊形邊上的釘子數、里面的釘子數）（貼條）

3.那么，同學們有沒有想過在計算面積時它們之間可能會有什么規律嗎？

不僅是在座的同學們，數學家們也希望找到這三個數量之間的關系，研究它們之間千變萬化的規律，其實，奧地利有位數學家叫做喬治皮克，他就是專門研究這個問題的，并且獲得了非常大的成就。

今天，我們每個同學都可以做小小數學家，嘗試做些數學小實驗，試著找出其中的規律，大家愿不愿意試一試？

以上的片段1是我教學的引入環節，設計意圖是希望在我適當的“扶持”下，學生們通過對兩幅作品的觀察比較，發現要使“多邊形的面積”“邊上的釘子數”“里面的釘子數”這三個數量呈現規律，必須經歷實驗的環節，方能得出結論，最終能體會到實驗的必要性。按說這樣的設計并沒有問題，但我在與學生互動時，就已經聽到有不少孩子小聲嘀咕道：“這節課好難啊！實驗？怎么去做實驗？”“黑板上怎么突然多了三個數量，我都暈了?！薄斑@些數量怎么可能會有規律？面積和釘子數壓根兒沒關系??！”“那為什么要研究邊上的釘子和里面的釘子？”“可是書上說的就是釘子板上的多邊形，那肯定和釘子有關！”此言一出，爭議聲似乎也沒有了。課后，這樣的聲音雖在耳邊消失，卻在我的心間縈繞，為什么會讓孩子們有“難”的感覺呢？那正是因為孩子們有感于：“明明不相關的三個數量怎么可能會有規律呢？”正是有了這個潛意識，后續的實驗環節就是以嚴謹縝密的成人思維壟斷了學生的自我成長。我想，這不僅僅是個別學生曾有過的疑問，若再投射到一個個孩子學習數學的經歷上，再具體到一節節的數學課上，好像這樣的懸而未決的問題之所以仍能存在，或與我們沒有找到不同領域、不同知識的相似之處、激活學生的經驗、讓學生大膽地提出猜想有關。

我想，在課堂中，教師給予學生的研究路徑多是能找到答案的路徑，只不過在實際的課堂生成中，情況往往是無法預設的：既不知道問題在哪里，也不知道能不能解決，更不知道該用什么方法來解決。為了幫助學生捅破這層窗戶紙，我們就要相信學生是與生俱來的探究者，引導他們自主生成研究的路徑。我不禁想到了特級教師劉德武說過的一句話：“只有在對比的情況下，學生才能深刻經歷、感受?！蹦俏覀儜诎褱手R的生成點、學生的困惑點的基礎上，學生的實踐操作應伴隨著問題的發生而逐步展開，數學思維自然地植入其中，讓實驗成為知識與思維融合的媒介。故而，我做了以下的點滴改變。

【正式的課上】（片段2）

1.現在請每個同學在釘子板上圍一個面積是4平方厘米的多邊形，盡量圍得和別人不一樣。

2.你是怎樣確定這些多邊形的面積是4平方厘米的？除了數格子、用公式計算，還有其他的方法嗎？可以大膽地猜想一下。

3.雖然都是4平方厘米，可這些多邊形有沒有不同之處？要不，你再變一變，能圍出一個比4平方厘米大的多邊形嗎？

4.通過變一變、圍一圍，你現在又有什么感覺嗎？你覺得釘子板上的多邊形的面積可能與什么有關？

5.我也學著大家的樣子變一變，面積變大，邊長變長，邊上的釘子數呢？里面的釘子數呢？

6.多邊形里面的釘子數、邊上的釘子數和多邊形的面積，這三個數量之間到底又有怎樣的關系呢？你覺得可以從哪里開始研究呢？

如片段2，研究路徑必須由學生說了算，想來，著眼于學生的潛意識，讓學生學會確定研究的路徑或許比發現的規律更加重要。在片段1中，研究路徑的設計痕跡明顯，由教師一步步“給予”孩子的，而片段2中則花了數倍于前者的時間引導學生“生成”實驗研究的路徑，孩子們雖然經歷了前期的海闊天空般的創想，但圍出了各種奇思妙想的圖形，這是基于經驗、感悟的創造，最終基于思辨，明確了研究的路徑，為下一步數學實驗的開展制造了認知條件。

當然，此時的孩子們內心中也產生了一個大大的疑問：“這三個數量之間到底又有怎樣的關系呢？”進而聯系第3問和第4問的提出，在制造認知矛盾的過程中造成認知的不平衡，再次激發學生刨根問底般的探究欲，為后面運用“數學實驗”研究多邊形內部有1個釘子及更多釘子數的情況做好鋪墊。這樣看來，數學實驗的本質不正是讓學生在動手操作中打開被掩蓋的思維軌跡嗎？通過多種學習方式的參與，增強對實驗目標的融入程度，感受到實驗的必要性。

來自“牽引”和“生長”的思考：如何明確實驗的路徑？

【前期的試上】（片段3）

1.那今天這節課我們就一起從最簡單的開始研究，當多邊形內部只有1個釘子時，看看會有什么發現。出示：研究單一。

2.小組內完成表格并交流匯報。

提問：可以怎樣計算面積？（可以數方格計算，還可以用公式計算）

3.觀察這些數據，你有什么發現？

預設：（1）多邊形邊上的釘子數越多，面積越大;（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數的一半;（3）多邊形的面積乘2等于多邊形邊上的釘子數（追問：反過來就是說……）

4.剛才幾位同學都把意思表達出來了，只是還不夠簡潔。

在數學上，一般用a表示多邊形內的釘子數，S表示面積，n表示多邊形邊上的釘子數，那么這個發現可以怎樣說？（板書）

5.那S=n2這個發現是不是適用于釘子板上所有的多邊形呢？（多邊形內部只能有1個釘子）

如果，a=2、3、4、5……的話，面積和邊上的釘子數會有怎樣的關系呢？誰能大膽地猜測一下？（板書）

【正式的課上】（片段4）

1.學生1：為了找到多邊形里面的釘子數、邊上的釘子數和多邊形的面積這三個數量之間的關系，我們小組準備通過實驗的方法來研究。

學生2：可以在釘子板上先確定里面的釘子數，再改變邊上的釘子數，這樣可以看看面積有沒有變化，說不定就能看出它們之間的關系。

2.教師：那你們準備先確定多邊形里面有幾枚釘子呢？先動手試一試吧！出示：

3.教師：小組內做實驗時，你覺得要注意什么？觀察每組匯報的數據，你發現了什么？

4.現在能下結論——多邊形里面只有1枚釘子時，面積就一定是邊上釘子數的一半嗎？為什么？有沒有類似的例子，看看你們組的例子是不是符合這個發現。這樣的例子舉得完嗎？

5.我們再來看看多邊形里面有2枚釘子時的例子吧。（逐一展示多邊形內有多枚釘子的情況）

以上兩個片段的設計思路都是希望通過實驗操作，由具體到抽象，引導學生學會實驗分工、實驗設計，在完善實驗方案的過程中感受到規律，畢竟過程的感知比發現規律更為重要。在授課過程中，我發現前者雖然程序性強，與知識版塊結合緊密，活動容易開展，討論容易進行，也更容易得出結論，但是，總感覺實驗的展開是被我牽著走的，數學味淡，學生的參與感不強烈，思維沒有那種自然而生的味道。而后者也有程序的設計，但是，在學生自主的討論中產生與提出疑問，再由自己分析解決這些產生的問題，注重了學生活動過程中思維“生長”的力量，比如“研究單一”的設計完全推翻了片段3中的設計，三個實驗步驟的提出，著眼點在于使學生自己“生長”出發現的過程，逐漸明白為什么這樣做，需要注意些什么，還可以怎樣做，呈現了數學實驗之序。

三、案例反思

《釘子板上的多邊形》是一節數學活動課，教材所提供的素材也非常便于實驗的開展。按照以往的經驗，這節課無論怎樣安排教學環節，學生個體的操作和師生的互動都會頻繁交替出現，整個課堂會顯得非常忙碌。而這次，我用數學實驗的思路去思考了本節課，思維頓時豁然開朗，原來數學課還可以這樣上。整節課，我沒有組織繁多的交流反饋，也沒有口若懸河地引導講解，在一片“此處無聲勝有聲”的氛圍中，學生全身心地投入數學實驗中，較圓滿地完成了研究任務。

回想《數學課程標準》，其中也明確指出：“教師應注重數學知識與學生活動經驗的聯系、與學生學科知識的聯系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷……”我想，這里的“實驗”是有別于我們曾經自以為是的“實驗”。那種看作數學實驗的形式，更多是一種操作演示：或是教師的操作演示，或是組內個別學生的操作演示，更多的學生只是看客。課標所提倡的“實驗”是當面對一個數學問題時，全員全程參與到探索研究的活動中來，即可獨立實驗，也可組內實驗，“推著”所有學生參與，避免看客的存在。在學習時，美國學者H·拉斯維爾《傳播在社會中的結構與功能》一文給了我很大的啟發，文中首次提出“五W模式”，即“拉斯維爾程式”。這五個W分別是英語中五個疑問代詞的第一個字母，即：Who（誰）、Says What（說了什么）、In Which Channal（通過什么渠道）、To Whom （向誰說）、With What Effect（有什么效果）。這一過程模式，正是教材想向學生表達的，若是運用到數學教學實踐中來，可以培養學生閱讀問題及自我反思的能力。因為學生對新知都具備或多或少的認識，所以才會在學習過程中不斷在腦中問一問Why。而敢于提出問題，本身就是一種高效的學習方式，初期，學生對為什么要實驗產生了疑惑，后又對實驗的路徑產生了不認同，這還是與數學實驗的方式有關。數學實驗是“自下而上”的，應首先向學生明確實驗的目的與任務，再讓學生帶著目的和任務進行探究，學生在任務的驅動下進行實驗，可以保證不偏離實驗的方向，而我后續的教學設計也是聚焦于這五個W與數學實驗的結合開展的。

兩組教學片段的呈現都是面對動態多變的課堂而自然生成的，學生在實驗的過程中也暴露出模糊、片面之處，可這恰恰可能是學生的學習起點，能將學生置身于一個“實驗操作”的環境中，學生或可通過動手實驗提出問題、再解決問題，從而構建出屬于自己的知識體系，真正實現認知的再創造。

（責編 ?侯 芳）

參考文獻：

[1]唐曉琴.“釘子板上的多邊形”教學嘗試與思考[J].小學教學參考，2017（29）.

[2]彭文珍.“微課堂”大收獲 ——“釘子板上的多邊形”課后“再續課”引發的思考[J].教學月刊（小學版）數學，2017（6）.

[3]張穎.讓學生在“探索”中“發現”——《釘子板上的多邊形》磨課案例[J].小學教學設計（數學），2018（1）.