借助多元操作，外化概念本質

吳亞瓊

摘要：“面積”是“面”和“積”的合稱，即面具有累積（可加）性。教師要幫助學生建構對面積概念本質的認識，可以讓學生在豐富的操作活動中，體驗面積與物體面的關聯，外化面積概念的本質。具體而言，可以通過摸一摸，讓學生直觀感知物體表面的面積;通過畫一畫，讓學生初步抽象平面圖形的面積;通過從看到數的一系列活動，讓學生深入理解面積的累積（可加）性。

關鍵詞：小學數學操作活動概念本質《認識面積》

《認識面積》是蘇教版小學數學三年級下冊《長方形和正方形的面積》單元的起始課，是在學生已經初步認識了周長的基礎上進行教學的。由一維的周長到二維的面積，對于學生來說，是一次認知的突破。對于“面積”概念，教材給出的是一個描述性定義——物體表面的大小和封閉的平面圖形的大小就是它們的面積。那么，“面積”這一小學數學核心概念之一的本質是什么呢？“面積”是“面”和“積”的合稱，即面具有累積（可加）性。不難發現，面積是為了描述面的累積的多少而產生的。

那么，教學中如何幫助學生建構對面積本質的認識？結合小學生的認知特點及其已有的生活經驗，筆者認為，可以讓學生在豐富的操作活動中，體驗面積與物體面的關聯，外化面積的本質。基于此，筆者進行了一次有意義的教學探索。

一、教學實踐

（一）摸一摸，直觀感知物體表面的面積

1.感受平面。

師（出示下頁圖1、圖2）這兩張照片的面有什么不同？

圖1圖2

生大小不同。

生面積不同。

師你心目中的大小、面積指的是什么？誰來試著指一下其中的一張照片？

（指名學生比畫。）

師他是怎么比畫面的？

生把面全都摸了一遍。

師哪個小朋友愿意來摸另一張照片？

（指名學生摸照片。）

師其實，照片的大小就是照片的面積。你會摸課桌面的面積嗎？

（學生摸課桌面。）

師課桌面的大小就是課桌面的面積。我們身邊還有其他的面嗎？它們的面積你也能摸一摸嗎？自己找一找、摸一摸。

生數學書的封面。

師和數學書的封面面積相同的面，你能摸出來嗎？

生數學書的底面。

師比數學書封面面積小的面，你能摸出來嗎？

生數學書的側面。

生鉛筆盒的上面。

生量角器的上面。

面有大有小，是學生已有的生活經驗;知道“面積”這一數學名詞，是部分學生已有的認知可能。將這種生活經驗和這種認知可能建立關聯，需要教師引導學生去經歷，去建構。教學中，讓學生通過“找面”“摸面”“比較”這一系列操作活動，加強對物體的面的直觀認識，知道物體的“表面”包括上面、側面、底面等;感受到“面有大小”，為了描述物體面的大小，就衍生出面積這一數學概念，從而對面積的認識也由“會指”上升到“會說”。

2.感受曲面。

師剛才同學們都摸了很多面。其實生活中還有這樣的面，（出示圓柱教具）這是——

生曲面。

師你會摸它的面積嗎？

生會。

師如果想平平地摸，你有辦法嗎？

生（比畫）像這樣豎著剪開。

師真棒！這運用了我們數學上化曲為直的思想。

學生對面的認識可能還僅限于平的面。為了豐富學生對面的認識，在教學中，讓學生摸一摸曲面，從而認識到不管是曲面還是平面，要摸它的面積，就要完整地摸出面的全部。同時，引導學生思考如何“平平地摸”曲面，讓學生認識到不同的面之間的聯系，體會化曲為直的數學思想。

（二）畫一畫，初步抽象平面圖形的面積

師雖然這些面都不同，但是這些面都是在物體的表面上。其實，我們也可以把這些面描繪下來，閉上眼睛想象一下：如果把數學書的封面描繪下來，是什么圖形？

生長方形。

師魔方的一個面描繪下來是——

生正方形。

師沿著三角板的直角描繪下來是——

生一個直角。

師你還想到了什么？

生水杯的底描繪下來是一個圓形。

師（課件依次出示圖形，如圖3）你看，我們能在物體表面上找到這么多平面圖形，那我們都能摸出它們的面積嗎？

圖3

生不能。

師哪一個不能？

生直角。

師也就是說有面積的圖形應該——

生是圍起來的。

師對！圍起來的圖形在數學上叫作封閉圖形。也就是說，封閉的圖形才有面積。現在你能想辦法把這個直角變成有面積的封閉圖形嗎？在你的練習紙上試一試。

（學生操作，部分作品如圖4。）

圖4

師看來平面圖形只要是封閉的，不管它是規則的，還是不規則的，都有面積。

通過想象由物體的表面描繪下來的圖形，讓學生自然地由“面”想到“形”，培養學生的想象力與空間觀念。其中，通過直角的“誤入”，引發學生認識上的沖突，幫助學生直觀感知封閉的平面圖形才有面積。

（三）從看到數，深入理解面積的累積（可加）性

師剛才我們提到了那么多的平面圖形，你會比較它們的面積大小嗎？（出示圖5）比如這兩個圖形。

圖5

生一看就知道左邊的圖形面積大。

師對于這種相差比較大的圖形，可以通過眼睛直接觀察比較。（出示圖6）那這兩個圖形呢？

圖6

生（同步演示）可以把這兩個圖形的邊對齊，發現右邊的這個圖形更大一點。

師對于面積相差不大的圖形，我們可以用重疊的方法比較它們的面積大小。（出示圖7）這兩個長方形的面積，還能一下子確定誰大誰小嗎？

圖7

師老師給每個小組都提供了兩組這樣的圖形，小組同學可以集思廣益，看看能想出什么好辦法。老師也給每個組準備了一個“智慧信封”，里面有剪刀和方格紙，看看能不能給你們啟發。

（學生操作、匯報。）

生我們先把圖形①對折，并從中間剪開，然后沿著長邊拼起來，發現拼起來的圖形和圖形②的面積一樣大。

師剪拼之后，圖形①的面積變了嗎？

生沒變。

生我們把兩個圖形都放在方格紙上，發現圖形①占6格，圖形②也占6格，所以圖形①和圖形②一樣大。

師他們是把小方格看作計量單位，通過數方格的數量來比較大小的。

生我們是在圖形上畫邊長1厘米的小正方形，畫完之后通過數小正方形的數量來比較大小的。

師他們小組是把兩個圖形用同樣大小的一種單位去測量。同學們想了這么多比較這兩個圖形面積大小的辦法，這些方法有沒有什么相同之處呢？

生都是把圖形轉化成相同的計量單位進行比較。

學生通過剪拼活動，感受到面積的一個重要特點就是等積變形，或者說面積具有累積（可加）性。通過比較三種方法的相同之處，讓學生體會到面積也可以像周長一樣用合適的單位進行度量，為后面引出通過數小正方形個數來比較面積大小的方法奠定基礎。

二、教學反思

對于認識面積概念，筆者設計了三個教學環節：第一個環節，圍繞“怎樣摸物體的面”展開，讓學生形成“摸面要摸完整”的認識;第二個環節，圍繞“還能摸怎樣的面”展開，讓學生既摸平面，也摸曲面，從而完善學生對面的認識;第三個環節，圍繞“什么樣的平面圖形有面積”展開，旨在讓學生明白封閉的平面圖形才有面積。相較于周長，面積的概念對于學生來說更為抽象，所以在這幾個教學環節中，筆者主要通過讓學生動手操作，如“摸一摸”“畫一畫”“指一指”等，感知面積的含義。

對于比較平面圖形面積的大小，筆者首先呈現面積相差較大的一組圖形，讓學生發現通過直觀的觀察就能得出結果;然后呈現面積相差不大的一組平面圖形，讓學生了解重疊的辦法;最后呈現不能通過觀察法和重疊法比較面積的一組平面圖形，引發學生探究更多的操作。學生經歷了一系列的操作活動，在感受比較面積方法多樣性的同時，發現方法本質上的相同，即平面圖形的面積可以用相同的單位進行計量，當同一計量單位的數量不同時，意味著累積的多少不同，進而面積也是不同的。當然，感受面的累積（可加）性需要一個過程，學生可能在學完整個單元后才能對此有一個相對清晰的認知。

參考文獻：

[1]?華應龍.真空妙有，“面”上有花——以“認識面積”一課為例[J].小學教學（數學版），2017（4）.

[2]?劉善娜.聚焦學習起點，凸顯“面”的二維本質——“認識面積”一課教學實踐與思考[J].教學月刊·小學版（數學），2016（6）.

[3]?屈鴻雁，簡翠萍.借助直觀?經歷操作——“什么是面積”教學實踐與思考[J].小學數學教育，2017（23）.