切換時滯神經網絡的非脆弱狀態估計

崔穎

摘要：研究了一類切換時滯神經網絡的非脆弱狀態估計問題，其中估計器的增益矩陣具有不確定性.首先，通過構造模態依賴的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時間技巧建立了非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

關鍵詞：切換神經網絡;混合時滯;狀態估計;線性矩陣不等式

中圖分類號：O175.14? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0004-04

1 引言

近年來，遞歸神經網絡已被廣泛用于信號處理、優化、模型識別、聯想記憶等方面[1-2].由于在生物網絡中信號傳播時間的有限性，或電子網絡中放大器切換速度的有限性等原因，各種神經網絡常會出現時滯現象.目前，時滯神經網絡模型的動力學行為得到了廣泛的研究，尤其是穩定性分析.例如，文獻[3]運用Lyapunov泛函方法分析了混合時滯神經網絡的穩定性.文獻[4]針對具有時變離散時滯的神經網絡，通過構造增廣的Lyapunov泛函，并結合參數依賴的矩陣不等式，建立了時滯依賴的穩定性條件.

另一方面，神經元的狀態難以通過網絡輸出獲得，所以，為了獲取神經元的狀態，我們可以利用獲得的測量數據估計神經元的狀態.由此而形成的神經網絡的狀態估計問題已經引起了人們的廣泛關注.文獻[5]研究了具有模式依賴混合時滯的Markov切換神經網絡的狀態估計問題.文獻[6]針對時變時滯的離散切換神經網絡設計了非脆弱的濾波器，使得濾波器在參數不確定的情況下仍能保證狀態估計結果的精確性.

此外，神經網絡的結構常會呈現切換現象.近來，平均駐留時間方法已被用于分析切換神經網絡的穩定性.例如，文獻[7]應用比較原理和平均駐留時間方法建立了切換基因調控網絡的指數穩定性判據.文獻[8]研究了具有無窮分布時滯的切換神經網絡在任意切換信號下的魯棒指數穩定性.然而，具有時變混合時滯的切換神經網絡的狀態估計問題還有待進一步研究.

綜上所述，本文將考慮一類切換時滯神經網絡的非脆弱狀態估計問題.所研究的狀態估計問題中，估計器的參數具有不確定性.首先，我們將運用平均駐留時間方法得到非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

2 模型的刻畫

我們考慮時滯切換神經網絡如下：

x（k+1）=Ak）x（k）+Bk）f（x（k））+Ck）g（x（k-1（k）））

+Dk）h（x（k-i）），? （1a）

y（k）=Ek）x（k），? （1b）

x（l）=（l），k0-r≤l<k0，? （1c）

其中x（k）∈Rn，y（k）∈Rq分別表示狀態向量和輸出向量，1（k）和2（k）分別表示時變的離散時滯和分布時滯.記r=max{1，M，2，M}，其中1，m≤1（k）≤1，M，2，m≤2（k）≤2，M.矩陣Ak）x（k）=diag{a1，k），a2，k），…，an，k），}（|ai，k）|<1）表示神經元的自反饋矩陣，矩陣Bk），Ck）和Dk）是連接加權矩陣.

f（x（k））=[f1（x1（k）），f2（x2（k）），…，fn（xn（k））]T，

g（x（k））=[g1（x1（k）），g2（x2（k）），…，gn（xn（k））]T，

和h（x（k））=[h1（x1（k）），h2（x2（k）），…，hn（xn（k））]T，表示神經元的激勵函數.

在系統（1）中，？滓.Z≥0→∏={1，2，…，m0}表示切換信號，其中m0為正整數.記切換序列為

{（k0），k0），（k1），k1），…，（kt），kt），…，}.

假設1[3] 系統（1）中激勵函數f，g，h滿足

i-=≤i+，i-=≤i+

i-=≤i+，

其中i-，i+，i-，i+，i-，i+是常數，i∈{1，2，…，n}.

對于切換神經網絡（1），我們考慮如下的非脆弱狀態估計器

（k+1）=Ak）（k）+Bk）f（（k））+Ck）g（（k-1（k）））

+Dk）h（（k-i））+（Kk）+Kk）（k））（y（k）-Ek）（k）），? （2）

其中Kk）為估計器的增益矩陣，增益矩陣的變化Kk）（k）滿足

Kk）（k）=Mk）F（k）Nk），? （3）

其中FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

定義誤差向量e（t）=（k）-x（k），再由（1）式與（2）式得到狀態估計誤差系統

e（k+1）=（Ak）-Kk）Ek）-Kk）（k）Ek））e（k）+Bk）（e（k））

+Ck）（e（k-1（k）））+Dk）（e（k-i）），? （4）

其中

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=f（（k））-f（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=g（（k））-g（x（t））

（e（k））=[1（e1（k）） 2（e2（k）） … n（en（k））]T：=h（（k））-h（x（t））

定義1 若存在常數∈（0，1）和K>0，當增益矩陣的變化滿足條件（3）時，狀態估計誤差系統（4）的解都滿足

||e（k）||≤K||？漬（l）||（？坌k∈Z），

我們稱系統（4）是魯棒指數穩定的.

定義2 如果狀態估計誤差系統（4）是魯棒指數穩定的，那么稱系統（2）是切換神經網絡（1）的非脆弱狀態估計器.

定義3 在區間[k0，k）上，切換信號？滓的切換次數記為Nk，k0）.如果存在常數N0≥0和T0>0，使得Nk，k0）.≤+N0成立，我們稱T0為平均駐留時間，N0為抖振界.為簡單起見，本文假設N0=0.

本文的目的是設計切換神經網絡（1）的非脆弱狀態估計器（2）.我們將通過構造模式依賴的Lyapunov泛函，并應用線性矩陣不等性方法得到非脆弱估計器（2）存在的充分條件，進而求解狀態估計器的增益矩陣.

3 主要結果和證明

在這部分，我們將首先基于切換系統的魯棒穩定性分析方法得到非脆弱估計器（2）存在的充分條件.為此，我們給出下面一些引理.

引理1[9] 設，和F是具有恰當維數的實矩陣，且F滿足FTF≤I，則對？坌？著>0，有

F+（F）T≤？著-1T+？著T

為了方便后面的表示，我們記

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

1=diag{1-1+，2-2+，…，n-n+}

2=diag{，，…，}

我們先考慮下面具有不確定參數的非線性系統

e（k+1）=（A-（K+K）E）e（k）+Bf（e（k））

+Cg（e（k-1（k）））+Dh（e（k-i）），

其中K（k）滿足K（k）=MF（k）N和FT（k）F（k）≤I，？坌k∈N+.

引理2 在假設1之下，若存在正定矩陣Q，R，S，對角矩陣∑，r，，和正常數？著使得對任給的∈（0，1），下面的線性矩陣不等式（5）成立，

=

<0， （5）

其中

Ak=A-KE，

11=-Q-∑1-r1-1，

33=（1+1，M-1，m）R-r，

55=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]S-，

則系統（4）是魯棒全局指數穩定的.

證明 為表示方便，我們引入以下記號

Xk=[eT（k） eT（k-1） … eT（k-r）]T，

（k）=[eT（k） T（x（k）） T（x（k）） T（e（k-1（k）））

T（e（k））T（e（k-i））]T，

=[AK B 0 C 0 D}，

（k）=[-K（k）E 0 0 0 0 0}，

（k）=[AK-K（k）E B 0 C 0 D}，

我們構造如下的Lyapunov泛函：

V（Xk，k）=Vj（xk，k），? （6）

其中

V1（xk，k）=eT（k）Qe（k），

V1（xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V3（Xk，k）=k-1-iT（e（i））R（e（i）），

V4（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i）），

V5（Xk，k）=k-1-iT（e（i））S（e（i））.

沿著系統（3），可計算V（Xk，k）的差分，

V1（k+1）-V1（k）=T（k）T（k）Q（k）（k）-eT（k）Qe（k）? （7）

V2（k+1）-V2（k）≤T（e（k））R（e（k））-T（e（k-1（k）））

×R（e（k-1（k）））+k-iT（e（i））R（e（i））

-k-iT（e（i））R（e（i）），?? （8）

V3（k+1）-V3（k）=（1，M-1，m）T（e（k））R（e（k））

-dT（e（k-d））R（e（k-d）），? （9）

V4（k+1）-V4（k）≤2，MT（e（k））S（e（k））

-T（e（k-d））S（e（k-d）），? （10）

V5（k+1）-V5（k）≤（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）（T（e（k））

×S（e（k））-dT（e（k-d））S（e（k-d））.? （11）

由假設1并應用文獻[5]中引理3得

T（e（k））∑（e（k））+eT（k）∑1e（k）-2eT（k）∑2（e（k））≤0， （12）

T（e（k））r（e（k））+eT（k）r1e（k）-2eT（k）r2（e（k））≤0， （13）

T（e（k））（e（k））+eT（k）1e（k）-2eT（k）2（e（k））≤0. （14）

同時，根據離散型Jensen不等式得

-T（e（k-d））S（e（k-d））

≤-T（e（k-d））×ST（e（k-d））. （15）

于是，由（7）-（15）式得到

V（Xk+1，k+1）-V（Xk，k）≤T（k）（1+T（k）Q（k））（k）， （16）

其中

1=

事實上，根據Schur complement引理知，

（k）=

<0. （17）

1+T（k）Q（k）<0成立當且僅當（17）式成立.

由于（k）+0+（k），其中

0= ，

（k）=.

記=[0 0 0 0 0 0 Q]T，

=[N 0 0 0 0 0 0].

由條件（3）式得到

（k）≤？著ETTE+？著-1MMTT.

于是，（k）≤0+？著ETTE+？著-1MMTT.故由Schur complement引理知，當<0時，1+T（k）Q（k）<0成立.因此，V（Xk+1，k+1）≤V（Xk，k），進而得到

V（Xk，k）≤V（X，k0），？坌k∈Z≥k0，? （18）

故由定義1知，系統（4）是魯棒全局指數穩定.證畢.

基于引理2，我們將應用平均駐留時間方法得到狀態誤差系統（4）的魯棒穩定性.

定理1 在假設1之下，若存在常數？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si，（i∈∏），和對角矩陣∑，r，，使得對任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （19）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （20）

i=

<0， （21）

其中

A=Ai-KiEi

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則狀態誤差系統（4）是魯棒指數穩定的.

證明 構造如下的模式依賴Lyapunov泛函：

Vk）（k）：=Vk）（Xk，k）=Vj（Xk，k），

其中

V1，k）（Xk，k）=eT（k）Qk）e（k），

V2，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V3，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Rk）（e（i）），

V4，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i）），

V5，k）（Xk，k）=k-1-iT（e（i））Sk）（e（i））.

當k∈[kt，kt+1）時，由條件（21）并應用引理2中（18）式，及條件（20）式得，

Vk）（Xk，k）≤？滋V≤（？滋）V（k0）.

再由（19）式得0<？滋<1，故根據定義1得，狀態誤差系統（1）是魯棒指數穩定的.證畢.

定理1建立了非脆弱狀態估計器（2）存在的充分條件. 接下來，我們將應用線性矩陣不等式技巧得到估計器的增益矩陣.

定理2 在假設1之下，若存在常數？著i>0，正定矩陣Qi，Ri，Si（i∈∏），矩陣Pi和對角矩陣∑，r，，使得對任給的？滋≥1，∈（0，1），下面的線性矩陣不等式成立

T0≥T0*=-，? （22）

Qi≤？滋Qj，Ri≤？滋Rj，Si≤？滋Sj，? （23）

i=

其中

11，i=-Qi-∑1-r1-1，

33，i=（1+1，M-1，m）R1-r，

55，i=[2，m+（2，M-2，m）（2，M+2，m-1）]Si-，

則系統（1）是切換時滯神經網絡（1）的非脆弱狀態估計器，其中Ki=Qi-1Pi，i∈∏.

證明 令Pi=QiKi，由（24）式可得（21）式成立，故由定理1知此定理成立.證畢.

4 數值舉例

考慮具有兩種模式的切換神經網絡（1），系統參數如下：

A1=，B1=，C1=，

D1=，E1=[1 0]，E2=[0 1]，

A2=，B2=，C2=，

D2=，

Mi=diag{0.1，0.1}，Ni=[0.1 0.1]T，i=1，2.

6≤1（k）≤8，1≤2（k）≤2，？滋=1.2.

取激勵函數為

f（u）=g（u）=h（u）=

由上面的參數，我們可得

1=1=1=0，2=2=2=.

應用Matlab軟件，我們得到線性矩陣不等式（22）-（24）的一組可行解

Q1=，R1=，

S1=，？著1=0.5569，？著2=0.5593，

Q2=，R2=，

S2=，∑=diag{0.6886，1.1149}，

r=diag{1.9342，2.4710}，=diag{1.6072，2.0936}，

P1=[0.0279 -0.0890]T，P2=[0.0814 0.1471]T，

K1=[0.0125 -0.0874]T，K2=[0.0863 0.1608]T.

于是，由定理2可知，具有上述參數的系統（2）是切換神經網絡（1）的非脆弱狀態估計器.

5 結論

本文研究了一類時滯切換神經網絡的非脆弱狀態估計問題，其中估計器的增益矩陣具有不確定性.我們通過構造模式依賴的Lyapunov泛函，并利用Jensen不等式和平均駐留時間技巧建立了非脆弱估計器存在的充分條件.接著，應用線性矩陣不等式的一組可行解表示了估計器的增益矩陣.

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