基于ARIMA模型的中國人口預測

趙子銘

摘要：以我國1949—2017年人口總數為研究對象，利用時間序列方法及不同檢驗、最優化方法建立ARIMA模型，并用于預測2019年我國人口總數.通過AIC系數比較、白噪聲檢驗，可以認為ARIMA（1，2，1）模型能夠較好擬合我國成立至今的人口趨勢.結果顯示：我國人口數在1949年起不斷攀升，并仍將在未來保持穩定的增速擴張;預測我國2019年及2020年的人口總數分別為140453.6048、141162.1572萬人.

關鍵詞：人口預測;ARIMA模型;純隨機序列檢驗

中圖分類號：O212? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0010-03

1 引言

人口總量指一國在某一時間點上的人口總數.利用數據探究一國人口總數的變化趨勢、預測人口總量的變化對于民生政策、經濟政策具有重要意義.本文選擇使用中國自成立至2017年的年人口總數作為研究對象，旨在建立特定模型對我國人口增長趨勢進行模型解釋，并對我國未來人口數量進行合理的預測.由于人口數是存量的時間序列指標，因此嘗試使用ARIMA模型對人口序列進行擬合.

ARIMA模型全稱為求和自回歸移動平均模型，是擬合、預測時間序列數據的重要模型之一.由于差分能夠較好地提取確定性趨勢，因此ARIMA模型經常被用于擬合非平穩時間序列.ARIMA（p，d，q）模型共有3個參數，其中p代表模型的AR（自回歸）階數，q代表模型的MA（移動平均）階數，而d代表序列的差分階數.其數學表達式如下：

其中1-iLi代表ARIMA模型中自回歸項系數，1+？茲iLi代表ARIMA模型中移動平均項系數，（1-L）d代表差分階數，其中L代表延遲算子.根據上述理論，使用中國1949—2017年人口總數序列進行ARIMA（p，d，q）模型的構建.

2 基于ARIMA模型的中國人口序列預測

由于人口數量是典型的存量指標，所以一般是二階單整的，即在經過二次差分之后，該序列會由非平穩序列轉換為平穩序列.因此引入ARIMA模型，初定差分的階數為二階.[1]

構建ARIMA模型是一個比較繁瑣的過程，建模步驟可以分為以下幾步：

通過ADF檢驗判斷該序列的單整階數d;

確定序列的準確差分階數d后，通過Q統計量檢驗判斷差分序列是否是純隨機序列.

（1）如果該序列通過Q統計量檢驗，則意味著該序列是純隨機序列，每一期的值是完全獨立不相關的，則不存在繼續建模和預測的意義;

（2）如果該序列不是純隨機序列，則我們可以繼續ARIMA模型的構建;

若差分后序列不是純隨機序列，則判斷差分后的序列自相關系數是否拖尾或在q階截尾.

（1）如果該序列在q階截尾，則可以確定其ARIMA模型中MA（也即移動平均項）的階數為q;

（2）若其拖尾，則階數為0;

觀察其偏自相關系數是否拖尾或存在p階截尾.

（1）如果該序列在p階截尾，則可以確定ARIMA模型中AR（也即自回歸項）的階數為p;

（2）若其拖尾，則階數為0;

通過上述分析得出ARIMA模型的三個系數：p，d，q，并以此為依據建立ARIMA（p，d，q）模型;

對模型進行AIC系數比較、純隨機序列檢驗及顯著性檢驗，判斷模型對原序列的擬合是否良好;

利用模型對我國人口進行預測.[2]

2.1 確定單整階數

本文使用Eviews軟件對人口時間序列進行ADF檢驗及后續建模、檢驗.這里使用ADF檢驗判斷人口序列的單整階數.ADF檢驗的3個模型如下：

ΔXt=δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（None）

ΔXt=α+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（Intercept）

ΔXt=α+βt+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（Trend and Intercept）

其中∑βiΔXt-i代表高階項，α代表常數項隨機性趨勢，時間項t代表確定性趨勢.在實際檢驗中，只要時間序列在上述3種模型中的任意一種中檢驗被認為不存在單位根，則可證明序列是平穩過程.由于時間序列平穩的性質各不相同，故ADF檢驗和DF檢驗的原假設均為：H0：時間序列存在單位根.

先前討論指出，人口序列為典型的存量序列，故應為2階單證序列.實驗證明：在0階、1階差分下，人口序列均不能通過ADF檢驗，即至少含有1個單位根.因此對其進行2階差分，并再次進行ADF檢驗.結果如下表所示：

從ADF檢驗的伴隨概率可以看出，在二階差分情況下，人口序列可以被認為是平穩序列，即ARIMA模型中的差分項d=2.

2.2 純隨機序列檢驗

利用Q統計量檢驗對人口二階差分序列進行純隨機序列的檢驗.Q統計量檢驗也即序列自相關檢驗，自相關檢驗的原理是通過檢驗時間序列及其k階滯后序列的相關程度，判斷時間序列的歷史數據是否存在某種相關聯系.隨機時間序列的自相關函數為：[4]

其中：γk=cov（Xt，Xt+k），γ0=cov（Xt，Xt）.分子代表滯后k期的時間序列協方差，分母代表時間序列的方差.如果ρk=0對任意k>0都成立，那么可以認為時間序列不存在自相關性.（此為原假設）.通過構造QLB統計量對時間序列自相關性進行檢驗，具體統計量的建立如下：

rk為樣本自相關函數.統計量近似服從自由度為m的χ2分布（其中m為滯后期數）.若Q值大于顯著性水平的臨界值，則拒絕所有rk同時為零的假設，即時間序列具有自相關性.

對二階差分后的人口序列進行上述檢驗，結果如下圖所示：

由于任意滯后階數下，人口二階差分序列Q統計量檢驗的伴隨概率均顯著為0，因此拒絕其是純隨機序列的假設，可以認為該序列不是純隨機序列，后續ARIMA模型建模具有了理論支撐及現實意義.

2.3 判斷序列p、q階數

通過觀察二階差分序列的自相關系數、偏相關系數的截尾性選擇合適的ARMA模型p、q階數.利用Python生成二階差分后的人口序列進行自相關系數、偏自相關系數的可視化圖，如下所示：[5]

從圖中可以看出，該序列的自相關系數和偏自相關系數均在1階滯后后迅速降至0附近，因此可以認為該模型的p、q值均為1，也即：該序列的AR項滯后系數為1，MA項滯后系數也為1.

2.4 構建人口序列ARIMA（1，2，1）模型

通過上述4節分析，可以確定人口序列模型的自回歸項、差分項、移動平均項的項數分別為：1，2，1.據此，通過Eviews建立人口序列的ARIMA（1，2，1）模型.

注意到人口序列的ARIMA（1，2，1）模型等價于二階差分后的人口序列的ARMA（1，1）模型，所以可以直接對二階差分后的人口序列進行ARMA模型的構建.構建出的模型結果如下：

結果顯示，使用極大似然估計擬合ARMA模型的參數結果中：

C、AR（1）、MA（1）的t值均小于0.05，通過了顯著性檢驗;殘差序列在經過短暫的震蕩后進入二倍標準差范圍中，顯示出良好的擬合效果;

模型的AIC函數為14.9475;

模型的最終形式為：

X=-4.4849+0.5084X+ε-0.61960ε

2.5 基于ARIMA（1，2，1）模型的人口預測

根據上節構建的模型對我國2018年—2020年人口總數進行預測，預測結果如下：

圖中三角標志表示人口數的原始值，×號代表模型計算得出的預測值.結果認為：模型預測值與原始值相近，模型擬合效果良好;模型對于2018年、2019年及2020年的人口總數預測為：（單位：萬人）139735.5451、140453.6048、141162.1572萬人.

3 結論

本文通過建立ARIMA（1，2，1）模型對我國1949 —2017年人口總數進行了擬合、預測.ARIMA（1，2，1）模型通過了系數、模型顯著性檢驗，且殘差項均處于2倍標準差內，對我國人口總數序列的擬合程度較好.預測認為我國2019年及2020年的人口總數分別為140453.6048、141162.1572萬人.

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參考文獻：

〔1〕陳艷玫，劉子鋒，李賢德，黃奕祥.2015—2050年中國人口老齡化趨勢與老年人口預測[J].中國社會醫學雜志，2018，35（05）：480-483.

〔2〕趙華，薛紅艷.基于ARIMA模型的河北省人口預測[J].時代金融，2013（24）：125-126.

〔3〕唐宇，余嬌嬌.重慶市人口預測與發展趨勢分析[J].現代商貿工業，2019，40（23）：4-8.

〔4〕陳艷玫，劉子鋒，李賢德，黃奕祥.2015—2050年中國人口老齡化趨勢與老年人口預測[J].中國社會醫學雜志，2018，35（05）：480-483.

〔5〕韓紹庭，周雨欣.多元線性回歸與ARIMA在中國人口預測中的比較研究[J].中國管理信息化，2014，17（22）：100-103.