“熱水噴泉”的理論和實驗研究

李越　戴長婷　蘭曉巖　任恒峰　王清亮

摘要：以流體力學及液體熱學性質為理論基礎，從噴水過程中流體的連續性定理以及功能原理出發，巧妙地避開了使用伯努利方程時的限制條件，進一步推導出了熱水噴泉噴射高度的理論公式，并據此關系式從理論上分析了影響最大噴射高度的因素.實驗上研究了莫爾吸量管吸入部分熱水后產生噴泉的最大噴射高度與吸入熱水溫度、吸量管規格以及吸入熱水高度之間的作用關系，得出：莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度的升高而增大，隨吸量管管身直徑的增大而增大，隨吸入熱水量的增加先減小后增大.

關鍵詞：熱水噴泉;莫爾吸量管;連續性定理;功能原理;最大噴射高度

中圖分類號：O4-33? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0015-04

目前，國內外對熱水噴泉現象定量研究的報道較少，對熱水噴泉現象的研究大多集中在對實驗現象的研究，而對其所適用的物理規律、物理公式的討論甚少，以致熱水噴泉現象的理論依據較為缺乏[1-3].有一些物理學家曾利用伯努利方程來討論該現象，但由于伯努利方程只適用于定常流動問題的處理，而熱水噴泉現象并非屬于理想的定常流動，因此這樣處理問題存在一定的不妥之處[4-8].最新的研究表明，從熱水噴泉噴水過程中的熱水量守恒以及動能定理出發，可以建立一個既適用于定常流動又適用于非定常流動的更為普遍的理論模型，并且實驗驗證得出，測量結果和理論模型的數值計算結果符合得較好[9，10].在此基礎上，我們將對理論進行進一步地分析，提出適用于“熱水噴泉”現象的新理論模型，即利用流體的連續性定理以及功能原理等理論分析此現象，在進行具體實驗之后，將實驗與理論進行對比，從而深入探討熱水噴泉的物理機制.

1 “熱水噴泉”現象

“熱水噴泉”現象是指在莫爾吸量管中吸入部分熱水，將其上端堵住并倒置，使吸量管小孔朝上，此時可以觀察到從小孔中噴出的水像噴泉一樣.產生“熱水噴泉”現象的理論基礎是：莫爾吸量管內部空氣受熱膨脹，導致內部大氣壓高于外界，從而使管內的熱水噴出來.在受熱時，物體會發生膨脹;受冷時，物體發生一定程度的收縮，這種現象被稱為熱脹冷縮.而產生這一現象的原因為：組成物質的大量粒子，它們的運動情況隨所處環境的溫度而發生變化，當環境溫度升高時，粒子的震動程度變得較為劇烈，使得物體發生膨脹;但當環境溫度降低時，粒子的震動程度就會下降，從而使得物體發生一定程度的收縮.

“熱水噴泉”現象屬于非定常流動現象[8-10]，若對熱水噴泉現象使用伯努利方程進行討論，則是過于粗糙和理想化的處理，因為伯努利方程只適合定常流動問題的研究.為了較為精確地解釋該現象，我們將噴水過程中流體的連續性定理以及功能原理相結合，建立起一個既適用于定常流動又適用于非定常流動的普適理論模型.

2 “熱水噴泉”的理論機制

建立如圖1所示的熱水噴泉裝置的示意圖，莫爾吸量管全長為L，小孔口徑的一半為r，面積為S1;管身口徑的一半為R，面積為S2;起初加入熱水的高度為L0，熱水的溫度為T，熱水的密度為？籽.封閉在莫爾吸量管中的氣體在被熱水充分預熱后的平衡溫度為T1，壓強為P1.外界大氣壓為P0，外界環境的溫度為T0.

由于實驗時只在莫爾吸量管中吸入了部分熱水，所以管中會密閉有一部分的氣體，在吸量管未倒置之前并不會出現噴泉現象;但將吸量管旋轉 即倒置后，便會產生噴泉現象.之所以如此，其原因是在未倒置時，熱水和管內氣體的接觸面積只有管的一個切平面大小，熱量不能很好地傳遞給管內空氣;而在旋轉180°的過程中，由于重力的作用，管內熱水會沿著靠下的管壁迅速流下，這時管中氣體與熱水的接觸面積增加;在旋轉至180°時，熱水甚至會沿著靠下的管壁流到管的底部，這樣會使整個管中氣體與熱水的接觸面積大大增加，整個管內氣體便會迅速膨脹，給在上面還未流下的水一股強大的向上推力，從而形成了噴泉現象.

整個噴泉過程中，氣體可當作理想氣體來處理，滿足物態方程

在剛裝入熱水時與莫爾吸量管旋轉180°且氣體和熱水達到熱平衡時，兩種狀態下被密閉氣體的物態方程滿足關系式

在裝入熱水到發生噴泉現象前的這段過程中，密閉氣體的體積保持不變，即為等容過程.

現假設T1與熱水——環境溫差（T-T0）的關系為

式中，c是一個與初始時加入的熱水量、熱水——環境溫差（T-T0）以及吸量管規格有關的一個量[8].將式（3）代入式（2），并移項可得

選擇開始發生噴泉現象的時刻為初始時刻，記為t0=0;此后在任意時刻t，各部分熱水柱的長度分別為l（t）、L1（t），如圖1所示.

設P（t）、V（t）分別為發生噴泉現象時的任意時刻管中氣體的壓強和體積，由于噴射過程較為短暫，則可將此階段管中氣體經歷的過程近似地視為絕熱過程，根據絕熱過程的物態方程可以得到，

進而有

利用流體的連續性定理表明，當流體連續不斷而穩定地流過一個粗細不等的管子時，由于管中任何一部分的流體都不能中斷或擠壓起來，因此在同一時間內，流進任意切面的流體質量和從另一切面流出的流體質量應該相等，從而可得

S1（L0+l（t））′=S2（L0-L1（t））′

即

S1l′（t）=-S2L1′（t）? ?（7）

根據噴水過程中的功能原理，可知在t～t+dt時間段內，管中熱水柱重力勢能與動能的增量等于管中氣柱對熱水柱的推力以及外界大氣壓對熱水柱的阻力所做的總功

且在噴水過程中有

L1（t）=L0-nl（t）? （9）

式中參量n為莫爾吸量管的小孔橫截面積與管身橫截面積之比，即n=，現將式（6）（7）和（9）代入式（8）中，并在兩邊同時除以dt，可得

由噴射過程中流體的連續性定理、功能原理、密閉氣體經過等容和絕熱過程等理論公式推出“熱水噴泉”現象滿足（10）式，此式描述了熱水噴泉噴射高度與噴射時間之間所滿足的微分關系.

3 “熱水噴泉”的實驗研究

3.1 參數c的測量

為了能用（10）式的理論結果與實驗結果進行比較，需知道參量c，而參量c是在理論建模過程中引入的一個與初始時加入的熱水量、熱水——環境溫差（T-T0）以及吸量管規格有關的量，這個量很難從理論上得出，但可以由多次實驗測出c值：取兩根規格不一的莫爾吸量管，用其中一根莫爾吸量管在多組不同的熱水——環境溫差和吸水高度情況下，保證吸入熱水至將吸量管倒置的這一過程時間足夠長，以致管中的氣體能被充分預熱并與熱水達到熱平衡，在氣體與熱水達到熱平衡后立即使用測量吸量管中氣體溫度的電子溫度計測出此時氣體的平衡溫度T1，將其代入式（3），從而計算出此種規格莫爾吸量管的c值，同理由可得另一種規格莫爾吸量管的c值，分別見表1和表2.

3.2 最大噴射高度與熱水溫度的關系

采用控制變量的方法，保持吸水高度、莫爾吸量管的規格不變，改變吸入熱水的溫度.取初始時規格1莫爾吸量管中吸入的熱水高度為10.9cm，測得外界環境溫度為24.5℃，根據實驗數據可得圖2.

由圖2可以看出，噴泉的最大噴射高度隨著熱水溫度的升高而快速的增大，由此易得吸入熱水的溫度是決定噴泉最大噴射高度的一個重要因素.產生這一現象的原因在于：一方面，當填裝的熱水溫度升高時，被密閉氣體的溫度也會隨之升高到較高溫度，而溫度越高氣體分子的運動速度也就越快，即氣體的壓強越大或者說氣體對熱水柱的推力越大，那么被加熱氣體對外做功的能力也就越強，噴射的水柱高度就越高.另一方面，通過傳熱學相關知識可知，隨著熱水溫度的升高，莫爾吸量管內氣體與熱水的傳熱速度加快，傳熱效率提高，在相同時間內，被加熱到可以噴射出吸量管的熱水量增多，噴泉到達吸量管管嘴處的初速度變大，因此，根據能量守恒定律，在忽略空氣阻力的情況下，噴泉所能達到的最大噴射高度也就隨之增大.

3.3 最大噴射高度與莫爾吸量管規格的關系

控制變量時，保持吸水高度、吸入熱水的溫度不變，改變莫爾吸量管的規格.取初始時規格1和規格2兩莫爾吸量管中吸入的熱水高度均為8.6cm，測得外界環境溫度為24.5℃，實驗數據如圖3所示，圖中藍色線為規格1莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度變化的實驗曲線;紅色線為規格2莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨熱水溫度變化的實驗曲線.

由圖3可知，莫爾吸量管直徑越大，產生噴泉的最大噴射高度就越高.在莫爾吸量管直徑保持不變的情況下，吸入熱水的溫度越高，產生噴泉的最大噴射高度也就越高;在吸入熱水溫度相同的情況下，莫爾吸量管的直徑越大，產生噴泉的最大噴射高度就會隨之變高.

3.4 最大噴射高度與吸入熱水高度的關系

保持莫爾吸量管規格、吸入熱水的溫度不變，改變吸入熱水的高度.取初始時規格2莫爾吸量管中吸入的熱水溫度恒為71℃，測得外界環境溫度為24.5℃，實驗數據及變化曲線如圖4所示.

從圖4可知，莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水高度的增加先減小后增大.而產生這一現象的原因：一方面，當吸入熱水量較少時，熱水與密封氣體的平衡溫度較低，以致氣體對外做功的能力較小;但同時熱水量較少時，其自身的重力也較小，從而對吸量管中氣體的阻力就較小.另一方面，當吸入熱水量較多時，可以保證熱水與氣體快速地達到熱平衡，氣體在預熱結束后的溫度就會較高，對外做功的能力就較大;但熱水量多便會導致其自身重力大，使得吸量管中氣體受到的阻力增大.

4 結束語

本文先考慮到“熱水噴泉”現象屬于非定常流動，繼而利用流體的連續性定理和功能原理建立一個既適用于定常流動又適用于非定常流動的理論模型.這樣的建模巧妙地避免了前人使用伯努利方程來解決此問題的不合理之處，因為只有定常流動的問題才能使用伯努利方程進行分析，而針對“熱水噴泉”這種非定常流動的問題，應該避免使用伯努利方程.通過多組實驗探究莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度與諸因素之間的關系，總結得出：莫爾吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水溫度的升高而快速地增大，這說明吸入熱水的溫度是決定噴射高度的關鍵性因素;在吸量管小孔直徑不變的情況下，最大噴射高度隨吸量管管身直徑的增大而增大;在一定的吸入熱水量范圍內，吸量管產生噴泉的最大噴射高度隨吸入熱水量的增加先減小后增大.

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