基于旋量法的6R機械臂運動學建模及分析

呂磊　李憲華　費思先　石雪松　劉壯壯

摘要：針對六自由度模塊化機械臂，基于旋量理論建立機械臂運動學模型，并且將機械臂三維模型導入ADAMS軟件中進行運動學仿真，驗證了運動學方程的正確性.基于該運動學模型，應用蒙特卡洛法對機械臂的工作空間進行了求解，繪制了機械臂工作空間的點云圖，為進一步的運動學特性分析和動力學研究奠定了基礎.

關鍵詞：串聯機械臂;旋量理論;運動學;工作空間

中圖分類號：TP241.2;TP242.2? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2019）09-0053-03

目前針對串聯機器人正向運動學模型的建立主要有D-H參數法和旋量法[1].D-H參數法是19世紀60年代，Denavit和Hartenberg上提出的一種對串聯機器人數學建模方法，并且推導出了它的運動方程，由于便于理解，D-H參數法方法應用較為廣泛[2-4].但是D-H參數法建模需要在每個關節上建立一個坐標系，每個關節必須繞z軸旋轉，同時連桿的移動要沿坐標系x方向，并且當機械臂的構型發生變化時就需要重新對機械臂進行建模，因此采用D-H參數法為機械臂確定D-H參數和連桿坐標系將會十分繁瑣[5-7].而旋量法建模不需要對每一個關節都建立坐標系，只需要建立一個基坐標系和一個機械臂末端工具坐標系即可，建模的過程較為簡單[8].劉冠隆等[9]基于旋量理論法，應用指數積公式對七自由度和六自由度機械臂建立了正向運動學方程，并且利用ADAMS進行了運動仿真，驗證了正向運動學方程的正確性;王國勛等[10]針對六自由度工業機器人，基于旋量理論對機械臂進行運動學建模，并且基于此模型對機械臂的逆運動學進行了求解及驗證.錢東海等[11]基于旋量法建立起的機器人運動學模型，并且采用Paden-Kahan子問題方法進行了逆運動學的求解.李文威等[12]基于旋量理論對SRU構型仿人機械臂進行了正運動學與可操作性分析.殷志鋒等[13]基于旋量理論對絕對冗余度機器人的運動學正解和逆解問題進行了分析，并且提出了基于指數積公式的絕對冗余度機器人的運動學解.

本文基于旋量理論針對六自由度模塊化機械臂進行了運動學方程的求解，并將三維模型導入至ADAMS軟件進行運動學仿真，通過仿真數據與理論數據對比，驗證了運動學方程的正確性.最后基于蒙特卡洛法，應用MATLAB軟件該機械臂的工作空間進行了點云圖的繪制，求解了機械臂的工作空間范圍.

1 旋量法機械臂運動學模型的建立

根據旋量理論，串聯機械臂的關節運動可視為各個桿件的旋量運動，假設基坐標系為S，初始狀態下，桿件繞關節軸線的旋轉矢量為，任取軸線上的一點q=（qx qy qz）T，所以可求得運動旋量和運動旋量坐標：

旋量理論中，剛體的旋轉運動可由運動旋量的指數積的形式表示為：

將坐標系B固定在剛體上，坐標系B相對于基坐標系S的位姿可以用gab表示，初始狀態下的位姿為gab（0），當剛體轉動后的位姿為：

2 旋量法求解6R模塊化機械臂正運動學方程

本文研究的模塊化機械臂是由德國Amtec公司的Power Cube模塊構建而成，機器人手臂為兩條六個自由度機械臂，末端為手爪模塊.機械臂模型如圖1所示，機械臂有六個轉動關節，每個關節的關節范圍如表1所示.根據該模塊化機械臂的構型特點，選取機械臂的某一形位，建立基坐標系o和固定在機械臂末端執行器的坐標系ee，具體表示如圖2所示，其中L2=328mm，L4=276mm，L6=336.2mm.

建立機械臂運動學方程的步驟如下：

（1）根據初始狀態下機械臂構型和尺寸可以確定各關節軸線的單位方向向量為：

其中：gee（）表示給定關節變量時，坐標系ee相對于基坐標系o的位姿;gee（0）表示初始狀態下，坐標系ee相對于基坐標系o的位姿.

3 機械臂運動學仿真

首先根據機械臂實體在SolidWorks中建立機械臂的三維模型，然后將機械臂的三維模型轉換parasolid格式文件并導入ADAMS軟件中.在ADAMS環境下，根據機械臂的實際運動情況，添加各個部件之間的運動約束.其中基座與大地之間添加固定副，由于該機械臂有6個轉動關節，因此在各個轉動關節處添加轉動副.在設置相應運動約束后，為各個轉動副添加相應驅動，如圖3所示.其中，各關節的驅動函數如表2所示.

當設置好各個參數之后，對機械臂模型進行運動仿真，仿真時長設置為5.0，步長為0.1.通過ADAMS后處理模塊，可以得到機械臂的6個關節角和末端執行器位移隨時間的變化曲線如圖4所示.

根據運動學方程，利用MATLAB編制程序，設置各個關節運動函數與表2中相同，在[0，5]s區間每隔0.1s取點，將所取點對應的角度值代入運動學方程中，可以求得機械臂末端位移的理論值.之后將ADAMS仿真中機械臂末端位移數據導入至MATLAB中，繪制ADAMS仿真曲線和理論值散點如圖5所示.

圖5中，曲線代表ADAMS仿真曲線，*點代表運動學方程計算點理論值，從ADAMS仿真曲線和運動學仿真所計算的理論數據對比可以看出，末端標記點位移仿真曲線和理論值相差較小，驗證了運動學方程的正確性.

4 工作空間分析

機械臂的工作空間指的是在機械臂的操作空間中機械臂的末端執行器所能到達的所有點的集合.在實際工作中，由于需要機械臂回避障礙物以及機械臂的靈活性分析等，所以工作空間被看作是在機械臂結構設計過程中一個重要指標，因此對機械臂的工作空間求解具有很強的現實意義.本文基于蒙特卡洛法并利用機械臂的運動學方程，求得機械臂末端位置坐標，然后利用MATLAB可視化功能將這些點以描點方式顯示出來，即獲得機械臂的工作空間點云圖.

根據表1給出的各個關節范圍，在該范圍內對每個關節變量取N=15000個隨機值，組成N個關節向量.將每個關節向量帶入運動學方程中，可以得到機械臂末端執行器在操作空間中的N各點的位置坐標，將這些點繪制成點云圖如圖6所示.

由圖4可以看出，機械臂工作空間為呈橢球形狀，工作空間范圍為：x∈[-950，950]mm，y∈[-950，950]mm，z∈[620，620]mm.可以發現，由于受機械臂構型影響，機械臂在z軸方向上末端可達范圍相對于y，z范圍較小.

5 結論

本文基于旋量理論對六自由度模塊化機械臂進行運動學建模，并且將機械臂的三維模型導入ADAMS中進行運動學仿真，通過計算與仿真的對比分析，驗證了運動學模型的正確性.相對于D-H參數法，采用旋量法建模僅需要建立工具坐標系與基坐標系即可，更加簡便、直觀.最后對機械臂的工作空間進行分析，繪制了機械臂工作空間點云圖，求出機械臂工作空間范圍，為進一步的機械臂運動學特性分析和動力學研究奠定了基礎.

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