數(shù)形結(jié)合

葉月英

【摘要】數(shù)形結(jié)合是一種利用直觀圖形與復(fù)雜抽象數(shù)量關(guān)系相互結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，其往往在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)，能為學(xué)生提供更為簡(jiǎn)單明了的思路。將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅能夠簡(jiǎn)化學(xué)生對(duì)難題的理解，同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)難題的能力，逐步強(qiáng)化學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，對(duì)如何利用數(shù)形結(jié)合思想巧解小學(xué)數(shù)學(xué)難題的教學(xué)方法展開(kāi)了分析。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;小學(xué)數(shù)學(xué);難題解決

數(shù)形結(jié)合思想即將直觀的幾何圖形與抽象的數(shù)量關(guān)系有效結(jié)合去分析與解決數(shù)學(xué)難題的思想方法。在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)結(jié)合題目的已知條件，將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形表示，或是將圖形問(wèn)題用數(shù)量關(guān)系表示，進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)化難度的目的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中合理滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠有效提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量與效率，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

一、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

1.有助于學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵、解題思路、計(jì)算方法等都有更深層次的理解。學(xué)生可以借直觀的圖形去理解抽象數(shù)量關(guān)系，用數(shù)量關(guān)系去概括圖形特征，實(shí)現(xiàn)抽象與具象、隱性與顯性的互補(bǔ)，進(jìn)而有效解決數(shù)學(xué)難題。在利用數(shù)形結(jié)合方法教學(xué)數(shù)學(xué)難題時(shí)，教師可以采取小組探究與合作探究的教學(xué)方式，這不僅能夠強(qiáng)化與學(xué)生的交流，也能夠引導(dǎo)學(xué)生概括數(shù)學(xué)思想方法，從而促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力的良性發(fā)展。

2.有助于學(xué)生數(shù)學(xué)情感的養(yǎng)成

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想可以與多媒體教學(xué)技術(shù)相結(jié)合，這與小學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)相符，唯有在教學(xué)中讓學(xué)生感受到身心放松，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與積極性才能被最大限度地激發(fā)出來(lái)，更為重要的是，學(xué)生能夠深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，而這一理解便是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)。數(shù)形結(jié)合思想要求學(xué)生能夠聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，同時(shí)教師要為學(xué)生構(gòu)建充滿求知欲望、激發(fā)學(xué)習(xí)主動(dòng)性的數(shù)學(xué)課堂，這有助于學(xué)生數(shù)學(xué)情感的養(yǎng)成。

二、以數(shù)形結(jié)合思想巧解小學(xué)數(shù)學(xué)難題的相關(guān)策略

1.以數(shù)形結(jié)合思想使抽象難題形象化

對(duì)于小學(xué)階段的學(xué)生而言，他們普遍存在抽象思維匱乏但形象思維豐富的情況。所以在面對(duì)較為抽象的數(shù)學(xué)難題時(shí)，教師便可教會(huì)學(xué)生通過(guò)畫(huà)示意圖的方法把握題意，將已知條件用圖形進(jìn)行表達(dá)，從而實(shí)現(xiàn)抽象數(shù)量關(guān)系的具象化，這樣學(xué)生便能直觀地了解難題的本質(zhì)，從而找準(zhǔn)解決難題的有效思路。

例如，一道排隊(duì)問(wèn)題為：“小亮排在隊(duì)伍中間，從前往后數(shù)他排在第4位，從后往前數(shù)他排在第6位，那么這支隊(duì)伍一共多少人呢？”許多學(xué)生在看到已知條件后會(huì)不假思索地回答道“10人”。此時(shí)，教師可先不做正確與否的評(píng)判，一步步引導(dǎo)學(xué)生利用圖形將題意表達(dá)出來(lái)，而學(xué)生根據(jù)題目動(dòng)筆畫(huà)圖，則會(huì)得出如圖1所示的圖形，這時(shí)學(xué)生能夠清楚地?cái)?shù)出這支隊(duì)伍一共有9人。如此一來(lái)，教師便可以引導(dǎo)學(xué)生用算式去正確運(yùn)算該道題的答案：“可用4+6-1=9或是3+1+5=9的算式，算出這支隊(duì)伍人數(shù)應(yīng)該是9人。”

由上述例子可知，小學(xué)生對(duì)復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系存在一定的理解障礙，通過(guò)示意圖的繪制，他們能夠?qū)⒊橄蟮奈淖中畔⑶擅畹剞D(zhuǎn)化為圖形信息，那么問(wèn)題的解決思路便會(huì)逐漸清晰。同時(shí)，在圖形的幫助下，學(xué)生還能找到自己理解存在的誤區(qū)，這能夠讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想方法的實(shí)用性，在解決數(shù)學(xué)難題時(shí)，學(xué)生便會(huì)想到運(yùn)用該方法，從而進(jìn)一步提高解題效率。

2.以數(shù)形結(jié)合思想使枯燥難題趣味化

現(xiàn)代教育信息技術(shù)與教學(xué)活動(dòng)相融合，不僅能夠使數(shù)形結(jié)合思想方法得到更好的滲透，還能讓原本枯燥的數(shù)學(xué)難題變得更有趣味，從而在解決難題的過(guò)程中起到“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的作用，同時(shí)，也有助于小學(xué)生形象思維與抽象思維的同步發(fā)展。

例如，在講解“積的變化規(guī)律”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師便可以用長(zhǎng)方形面積模型對(duì)該變化規(guī)律進(jìn)行講解。首先，教師可以列舉出長(zhǎng)方形甲（如圖2所示），之后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想：“如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)保持不變，寬擴(kuò)大2倍，該長(zhǎng)方形的面積會(huì)如何變化？如果長(zhǎng)不變而寬縮小至1/2，長(zhǎng)方形面積又會(huì)如何變化？”在多媒體設(shè)備的直觀顯示下，學(xué)生便能夠清楚地看到長(zhǎng)方形在不同變化條件下面積的變化情況，也讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的“積的變化規(guī)律”知識(shí)點(diǎn)有更為深刻的理解。

此外，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)中的教學(xué)軟件，如幾何畫(huà)板等也能夠更好地幫助學(xué)生去理解與探索相關(guān)知識(shí)。例如，在講解“三角形內(nèi)角和”的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生對(duì)“三角形內(nèi)角和為180°”這一定律有更深的理解，教師便可利用幾何畫(huà)板軟件去做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)利用鼠標(biāo)的拖動(dòng)對(duì)三角形的形式做任意的改變，能夠觀察到三角形的內(nèi)角和始終保持180°，沒(méi)有改變。如此看來(lái)，以數(shù)形結(jié)合的思想方法去解決數(shù)學(xué)難題，不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能夠讓枯燥的難題變得更加具有趣味性。

3.以數(shù)形結(jié)合思想使復(fù)雜難題簡(jiǎn)單化

小學(xué)生在面對(duì)諸多數(shù)學(xué)難題時(shí)，常常會(huì)因?yàn)闊o(wú)法分析數(shù)量關(guān)系而無(wú)法正確理解題意，倘若采取數(shù)形結(jié)合的方法用線段圖將題目中的已知條件表達(dá)出來(lái)，便能為學(xué)生構(gòu)建更為形象的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生便可結(jié)合圖形找到解題思路。

例如，有這樣一道題：“有兩箱蘋(píng)果，其中一箱重量為30kg，如果從這箱蘋(píng)果中拿出0.5Kg放在另外一箱當(dāng)中，那么兩箱蘋(píng)果重量便相同，請(qǐng)問(wèn)兩箱蘋(píng)果一共多重？”而小學(xué)生在面對(duì)這一問(wèn)題時(shí)，很容易被其中較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系混淆，而借助畫(huà)線段的方法實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化，問(wèn)題便能迎刃而解（如圖3所示）。結(jié)合題意我們可以進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的圖形繪制，并且保留痕跡，其中將第一箱蘋(píng)果的0.5kg放在第二箱當(dāng)中則兩箱一樣重，實(shí)際兩者一進(jìn)一出并未改變兩箱蘋(píng)果的總重量，但此時(shí)兩箱蘋(píng)果重量相等，在線段圖右邊用虛線標(biāo)出，便能一眼看出原來(lái)的第一箱比第二箱多2個(gè)0.5kg。如此看來(lái)，線段圖能夠讓原本復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系更加簡(jiǎn)單化，該道題的解決方法為先求兩箱蘋(píng)果原來(lái)的重量再相加，也可求重量相等時(shí)的重量再乘以2。

圖3

在此過(guò)程中，小學(xué)生便能感受到線段圖在解決數(shù)學(xué)難題過(guò)程中的協(xié)助作用，能對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行具象表達(dá)，從而逐步提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析與解決能力，使其養(yǎng)成在解答難題時(shí)進(jìn)行圖形繪制的良好習(xí)慣。

4.以數(shù)形結(jié)合思想使隱性難題顯性化

在教學(xué)過(guò)程中，許多小學(xué)生在運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題時(shí)會(huì)顯得毫無(wú)頭緒，無(wú)法找到準(zhǔn)確的突破口。此時(shí)，倘若學(xué)生能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想方法，便能可以利用圖形與數(shù)量關(guān)系的緊密聯(lián)系去顯現(xiàn)隱性的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

例如，在解決教材中“打電話”這類(lèi)難題時(shí)，有這樣一道題：“15名校隊(duì)球員需要參加比賽，老師需要打電話通知，假設(shè)通知1個(gè)人時(shí)間為1分鐘，那么教師如何在最短時(shí)間內(nèi)容通知到所有隊(duì)員？”這類(lèi)涉及現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)難題，實(shí)際上是在讓學(xué)生在解題過(guò)程中找尋隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律。學(xué)生在研究打電話通知的最優(yōu)方案時(shí)，由于生活閱歷與知識(shí)基礎(chǔ)的不同，會(huì)出現(xiàn)各種記錄方法。教師便可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法比對(duì)，化數(shù)為形，直觀地理解該數(shù)學(xué)題目（如圖4所示）。

而當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，化數(shù)為形則行不通，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由圖轉(zhuǎn)數(shù)，通過(guò)列表繪制去理解數(shù)量關(guān)系，從而促進(jìn)學(xué)生思維的提升，進(jìn)而在圖形與表格的融合理解下發(fā)現(xiàn)其中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律，最終利用該規(guī)律去解決同類(lèi)問(wèn)題（如表1所示）。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)重視對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透，這不僅能夠簡(jiǎn)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)難題的理解難度，同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，使其懂得如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法去解答數(shù)學(xué)難題，從而提升其分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，助力其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。

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