分類討論思想在中考數學解題教學中的應用分析

邵長亮

摘 要：分類討論是歸類整理思想的重要體現，分類討論是中學數學中應用非常廣泛的數學解題策略.在實際教學過程中分類討論思想的應用對于幫助學生掌握數學知識的規律，對于提升學生的概括能力和條理性具有重要意義.文章針對分類討論思想在中考數學解題教學中的應用進行了初步分析探討。

關鍵詞：分類討論思想;中考數學解題;教學;應用

伴隨著當下教育課程改革的進度持續深入，在中學階段，培養學生的創新思維正在慢慢成為學校和老師們需要重點關注的方面。分類討論思想是一種極其重要且常用的數學思想方法，也叫做“化零為整，逐個擊破，最終合零為整”。它雖然只是一種基本的解決問題的思路策略，但其更是中考重點考察學生數學素養的內容之一，縱觀近些年各省市中考的試卷，不難發現，它們都或多或少涉及對中學生分類討論思想方法的考察，這更是突出對學生的數學能力考察。在中考數學的考察中，常見的分類討論思想的運用情形分為以下幾種：按數的特性分類;按事件的可能性分類;按圖形的位置特征分類;按字母的取值范圍分類等。

一、分類討論思想的具體應用步驟解析

在中學時期的數學教學中，分類討論思想并不是能夠盲目應用的一種思想，而是需要按照一定的解題模式步驟進行解題的，因此，需要教師在每次應用分類討論思想之前，對學生進行引導，結合題目與學生討論具體的應用方式，所以，綜合全方面是教師需要考慮的事，為了帶領學生先確定研究對象，然后再進行討論，最后得出想要的答案。教師在解題教學中，必須要用具體的例題要求為基礎，結合理論為學生講解如何應用分類討論思想。先進行分類討論使此例題可以得到明確的研究對象，然后再制定具體的討論計劃，最終落實討論活動，有時需要結合題目的題境檢驗討論結果是否符合。老師在一些復雜的討論問題中需要幫助學生，引導學生對問題進行細化，再確定這個細化后的討論對象，歸納總結各對象，最終得出綜合性結論。

二、在解答中學數學問題中，分類討論思想的應用

分類討論在中學數學解決問題中應用十分廣泛，其重點在于以下這幾個方面：（1）在三角形解題中的應用;（2）在應用題解題中的應用;（3）在圓解題中的應用等。本文就其在解決數學題目中的三類常見題型的應用舉例分析講解，以供從事中學數學教育行業的教師們和有需要的同學們參考。

第一，應用分類討論思想解決關于三角形的問題。教師合理應用分類討論思維，可以使學生在三角形性質專題的學習過程中更加容易掌握該章節的相關只是點，以此提升學生的學習效率，從而達到增加學生解題成就感的目的，形成更加努力學習的良性循環。

例如，在已經知道一個等腰三角形的兩邊邊長分別為5cm和6cm，試著求出這個三角形的周長和面積分別是多少？

在這一個問題當中，假如學生沒有進行分類討論再解題，只是主觀認為5cm為這個等腰三角形的腰長，就很容易因此漏算掉另一種腰長為6cm的情況，從而在考試中失分。反觀題目，在問題給出的已知條件中，并沒有明確的告知做題者哪條邊是底邊，哪條邊又是腰長。因此，在這種只有數據而沒有明確對應關系的情況下，教師需要引導學生在解答這個問題的過程中應用分類討論思想，這樣才能得到完美的答案。而在這道題，需要學生把等腰三角形的情況分為兩種：腰長為5cm，底邊為6cm和腰長為6cm，底邊為5cm這兩種情況，最后再運用三角形的性質來進行檢驗是否兩種情況均能成立。在學生對這道題進行解答的過程中，需要老師幫助彰顯出分類討論思維在其中的應用，這樣才能體現出分類思想的重要地位，從而達到理想中的教學效果。

點評：這道關于三角形的問題是大多數學生的易錯題，在學習三角形性質的過程中常常犯下的錯誤，絕大部分學生會因為題目給出的簡單數據而掉以輕心，然后先入為主，認為只有一種情況，因此而忽略了第二種情況的可能。這就是學生對于分類討論思想掌握得不夠透徹的一個明顯體現，所以，教師一定要在教學過程中慢慢培養學生養成分類討論的思想，讓學生今后解答三角形性質的這類問題時不會再犯下類似的錯誤。

第二，應用分類討論思想解決關于生活類應用題的問題。應用題是中學數學重要的考查形式，也是學生得分的重點項目，因此對于應用題的得分多少一定程度上決定了數學成績的高低，所以在此列舉兩個此類題型，幫助教師更好地對學生的分類思想的灌輸。

例如：某玩具廠主要生產洋娃娃和玩具車，其中洋娃娃的定價是200元，而玩具車的定價是40元，為了增加銷售量，工廠推出了兩種采購方式，第一種是：買一個洋娃娃送一輛玩具車，第二種是洋娃娃和玩具車都按照市場實際定價的90%來銷售，此兩種優惠不能疊加使用。某學校小賣部想要訂購20個洋娃娃，若干輛玩具車，那么怎么購買最合適？

分析：這一問題相對來說難度比較高，因為此問題題干中并沒有對購買玩具車的數量進行明確，這樣不同的玩具車的購買數量就會影響總體的金額，因此，在解決這一問題的過程中，就應該利用分類討論思想。

解答：小賣部購買玩具車數量為x輛，則有一下兩種購買方式，如果按照優惠方案一，就需要花費200x20+（x-20）x40=3200+40x元，若采用第二種優惠方案，那么小賣部總計需要花費的金額是（200x20+40x）x0.9=3600+36x元。此時可以設y=（3200+40x）-（3600+36x）=4x-400元，如果y>0，那么就有x>100，第二種方案優惠力度更大;如果有y=0，x=100，那么兩種方案優惠力度一致;如果有y<0，則有20<x<100，那么第一種方案優惠力度更大。小賣部就應該采用第一種優惠方式來購買玩具。也就是說，當老板想購買100個以下數量的洋娃娃時，應該采用第一種優惠方式，若是想要買100個以上數量的洋娃娃，那么就應該選擇第二種方案。

例如：暑假的時候，小明與小靜兩人騎自行車，同時從相距50千米的兩地相向而行，小明的速度為15千米/時，小靜的速度為10千米/時，問經過幾小時，他們相距20千米？

分析：在這道題目當中，沒有告訴解題者兩人相距20千米是哪種情況，兩人沒相遇或者兩人相遇后再繼續騎行后的相距距離，因此需要應用分類討論思想進行解題。

解答：第一種情況，兩人還沒相遇（此時兩人所走的路程之和為（50千米-20千米），（50千米-20千米）/（15千米/時+10千米/時）=1.2小時;第二種情況，兩人相遇后又各自前進至相距20千米.（此時兩人所走的路程之和為50千米+20千米），（50千米+20千米）/（15千米/時+10千米/時）=2.8小時

點評：這道生活類的應用題便是對于分類討論思想的完美運用的一種典型題，在講解這個問題的過程當中，教師一定要展現出分類討論思想的邏輯條理性，對于學生在今后解決此類問題時能夠更加熟練得應用分類討論思想這將是極其有意義。

第三，應用分類討論思想解決關于圓的問題。在中學時期的數學教學中，圖形知識里必不可少的一部分就是圓，但在解決圓的問題的時候，很多學生非常容易出現疏忽，從而引起解題時漏解，甚至出錯的情況發生。因此，面對這種普遍現象，在開展圓的解題教學過程中，需要教師引導學生進行分類討論，并且，教師也應該讓學生自己動手畫出圖形，數形結合更有助于學生解題。

例如：已知，有兩個圓，一個圓（⊙O1）的直徑是30，另一個圓（⊙O2）的直徑是40，此圓在A，B兩點相交，公公和弦AB的長度是12，求出圓心距O1O2（精確到1）。

分析：在解決這一問題的過程中，沒有給出具體的圖形，因此需要學生考慮兩個圓的圓心位于公共弦AB的同一側，還是位于弦的異側。

點評：學生需要在解題的過程中綜合考慮各種情況，不能盲目解題，因此要對題目進行全方位的分析理解，只要沒有任何的遺漏，并且每種情況都符合題境，那么這樣的解題答案就是真正準確無誤的。

三、結語

在中學時期的數學教學中，能應用分類討論思想解決的數學問題不勝枚舉，不過礙于篇幅的限制，本文只能列舉一些具有代表性的題型，幫助大家分析理解分類討論思想在中學數學解題中的應用方式。即使分類討論思想對于學生來說有著重大的意義，但學生對于分類討論思想的應用能力并不能一蹴而就，不能在很短的時間可以被教師很好的培養出來，因此，需要教師在中學數學的教學過程中一點點地引導學生用分類討論思想考慮具有多種情況的數學問題，應該穩扎穩打，不能急于求成。幫助學生，以此來鍛煉學生自己相關的應用能力，積累解題的經驗，使學生能夠在使用分類討論思想時形成慣性思維，從而慢慢具備獨立自主應用分類討論思想解題的能力，以此來有效解決數學問題，讓學生在不斷做題的過程中提高自己的數學成績便是一個顯而易見的努力成效。對于中學生來說，能夠在解題過程中靈活運用分類討論思想，在中考或是以后的學習生活中都是不可或缺的，十分重要的一環。

參考文獻

[1]徐銀荷;;分類討論思想在中學數學解題中的應用分析[J];數學學習與研究;2017年06期

[2]袁紹建;;分類討論思想在中學數學解題教學中的運用探究[J];數學學習與研究;2015年24期