巧用“數形結合”思想，妙解高考數學試題

摘 要：數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷.數形結合思想貫穿于整個高中數學內容的始終，同時它在高考中占有非常重要的地位.應用數形結合的思想方法解答高考數學試題，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數學解題中具有極為獨特的指導作用.

關鍵詞：數形結合;思想方法;高考解題

數形結合思想貫穿著整個高中數學內容的始終，同時它在高考中占有非常重要的地位.所謂數形結合思想，就是在研究問題時把數和形結合起來考慮.通過“以形助數，以數解形”，能夠使復雜問題簡單化，抽象問題具體化.在應用數形結合思想方法的同時注意遵循等價性原則、雙向性原則、簡單性原則.

例1.（2018年高考全國Ⅱ卷數學（文）21題）

已知函數

（1）若a=3，求f（x）的單調區間;

（2）證明：f（x）只有一個零點.

解：（1）當a=3時，.

令=0，得;

令>0，得或;

令<0，得.

∴f（x）在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

（2）.

①當，即時，在R上恒成立，

f（x）在R上單調遞增，其圖象如圖1所示，f（x）只有一個零點.

②當，即a<-1或a>0時，方程=0有兩個不相等的實數根，顯然x1

容易得，f（x）在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.

若a<-1，則x11，由于x22+x2+1>0，

所以，f（x）極小值=.

此時，f（x）的圖象如圖2所示，f（x）只有一個零點.

若a>0，則x1<00，

所以，f（x）極大值=，

此時，f（x）的圖象如圖3所示，f（x）只有一個零點.

綜上所述，無論a取任何實數，函數f（x）都只有一個零點.

例2.（2018年高考全國Ⅱ卷數學（理）21題）

已知函數f（x）=ex-ax2

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1;

解：當a=1時，f（x）=ex-x2，x≥0.

∴f'（x）=ex-2x

在同一坐標系作函數y=ex，x≥0與y=2x，x≥0的圖象，再過原點（0，0）作曲線y=ex，x≥0的切線，如圖4.

設切點為，則切線的斜率，切線方程為：.

又∵原點（0，0）在切線上∴

∴x0=1，即切點為（1，e），切線方程為：y=ex.

根據圖1，易知f'（x）=ex-2x>0在[0，+∞）上恒成立.

∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增.∴f（x）≥f（0）=1.

總之，應用數形結合的思想方法解答高考數學試題，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它在數學解題中具有極為獨特的指導作用.

參考文獻

[1].薛樹英.2004年高考數學理科（18）題的分析與對策[J].數學教學研究，2004（08）：35.

[2].呂朝選.一道高考題的解法探究[J].數理化解題研究（高中版），2010（03）：7-8.