講解列方程中有關數的問題的一點思考

黃春生

關鍵詞：加、減、乘、除、和、差、積、商、余數、倍數、偶數、奇數、連續奇數、連續偶數、倒數、相反數、兩位數、三位數、四位數等。

初中階段在學習列方程解應用題時，經常會遇到有關數的問題，本人現將在教學中所積累的一些資料及體會提供給大家參考，并列舉了一些典型例題的講解，以便今后大家教學時給點幫助。

有關數的問題分成兩小類：一類是一般數的關系問題;另一類是用數字組成數的問題。

一般數的關系問題 ?這一類問題都比較簡單的，只要懂得加、減、乘、除、和、差、積、商、余數、倍數、偶數、奇數、連續奇數、連續偶數、倒數、相反數等，就可以根據題意列出方程。

例1：甲乙丙丁四個數的和為43，甲數的2倍加8，乙數的3倍，丙數的4倍，丁數的5倍減去4，都相等。問這四個數各是多少？

分析：（1）甲數的2倍加8，乙數的8倍，丙數的4倍，丁數的5倍減去4，都相等。如設這個相等的數為未知數，便可用含未知數的代數式來表示甲、乙、丙、丁各個數。

（2）甲乙丙丁四個數的和為43。∴甲數+乙數+丙數+丁數=43

根據這個等量關系可得方程：

解1：設相等的數為χ，則甲數為;乙數為;丙數為;丁數為。

根據題意，得：+++=43，30（χ-8）+20χ+15χ+12（χ+4）=2580，77χ=2772，∴χ=36，甲數為==14，乙數為==12，丙數為==9，丁數為==8

答：甲、乙、丙、丁、四個數分別為14、12、9、8。

說明：本題如不設立輔助未知數則較繁。

解2：設甲乙丙丁四個數分別為x、y、z、u。

根據題意，得

從2得：2x+8=4z，∴x=2z-4（3），3y=4z，∴y=z（4），5u-4=4z，∴u=（5），以（3）、（4）、（5）代入（1）∴z=9，以Z=9分別代入（3）、（4）、（5），x=14，y=12，u=8

答：甲、乙、丙、丁四個數分別為14、12、9、8。

例2：甲乙兩個數，甲數除以乙數得商2余17;如以甲數除乙數的10倍，則得商3余45。求這兩個數。

分析：①∵被除數=除數×商+余數，∴設乙數為x，則甲數為（2x+17）。②∵甲數除乙數的10倍得商3余45。

解法1：設乙數x，則甲數為2x+17，根據題意，得10x=3（2x+17）+45，4x=96，∴x=24，∴2x+17=24×2+17=65，答：甲數是65，乙數是24。

說明：本題不宜設甲數為x。

解法2：設甲數為x，乙數為y。根據題意，得，以（1）代入（2） ?10y=3（2y+17）+45;∴y=24;代入（1），∴x=65

答：甲數是65，乙數是24。

解法討論，如上所設，又可得下列方程組：

說明：列方程應盡可能列整式方程。

例1：一個三位數，如果把它的各位數字按相反順序寫出，所得的數比原數小99;已知三位數字的和是14;且中間一位數字是另外兩位數字的和，求這個三位數。

解：設這三位數的個位數字是x。根據題意，個位數字與百位數字的和應是7，∴百位數字是7-x，十位數字是7，因此，所求數可寫為：100（7-x）+70+x，列出方程：100（7-x）+70+x-99=100x+70+（7-x）;解得x=3

答：所求的三位數是473。

用數字組成數的問題 ?解這類問題，首先要知道什么叫兩位數、三位數、四位數等;其次要了解各個數位上的每個單位各表示多少。兩位數，就是用兩個數字組成的數;三位數，就是三個數字組成的數;四位數，就是用四個數字組成的數。以此類推。個位上的一個單位就表示一個單位;十位上的一個單位，相當于個位上的十個單位;百位上的一個單位，相當于個位上的100個單位。

例：一個三位數，它的百位上的數是2，十位上的數是，個位上的數是5。則此三位數是2×100+3×10+5=235。

關鍵先用未知數（或含未知數的代數式）來表示所求數的各數位上的數，然后用代數式來表示這個數。

例如，一個三位數，它的百位上的數為a，十位上的數為b，個位上的數為c。那么這三位數是100a+10b+c。如果百位上的數與個位上的數對調，那么新的三位數是100c+10b+a，而不是且abc，且記。

注意點 如果要求一個三位數，最后一定要把這三位數寫出來，而不能只求出各數位上的數就完事了。

例：有一個三位數，數位上的數和是15，百位上的數與個位上的數的差是5，如顛倒數位上的數的順序，則所成的新數比原數的3倍小39，求這個三位數。

分析：①要求這三位數，必須知道這三位數的各個數位上的數。∵顛倒數位上的數的順序比所得的數比原數大。∴個位上的數一定大于百位上的數。②設百位上的數為x，則個位上的數為（x+5），十位上的數為15-（x+x+5），即10-2x。③原數為100x+10（10-2x）+x+5;新數為100（x+5）+10（10-2x）+x。④新數比原數的3倍少39。