從有理數到實數的歷史演進

【摘? 要】對于無理數，中西數學家有著不同觀點，折射著不同的科學文化傳統。從無理數的發現到給出其確切定義，歷經了兩千多年的篳路藍縷之程。從數學理性思維角度分析和認識這個歷史文化過程，有助于我們理解數學的嚴謹性和嚴密性，既可提升科學審美意識和審美能力，同時表明數學是一切科學的基礎。

【關鍵詞】無理數;有理數;戴德金分割

處于當今信息化、大數據時代，我們每天都會迎來鋪天蓋地的數據，數學更是無時無刻不在服務于人類社會。作為數學最基本元素的數，其是從現實生活中經過多年的實踐而來，我們看不見摸不著這些美麗的小精靈，但超越了虛擬世界和物質世界的局限，擁有著無窮無盡的魅力。然而諸如數的本質是什么？如何定義無理數？有理數一樣無理數多嗎？實數是什么等問題，即使今天回答起來也并非易事。正如英國哲學家、數理邏輯學家羅素（B. Russell，1872-1970）曾說：“人類了解到兩只羊中的2和兩天中的2是同一個概念，竟花了幾千年時間。”同樣人類從認識自然數、有理數，再到實數也用了兩千多年的時間。

一、《九章算術》中的無理數

人有10個手指，計數時自然會以手指輔助。正是由此開始，人類祖先堆石子，數貝殼，刻痕計數，結繩計數等，直至創造文字、數字及算盤、籌算、計算器等計數用具。這一切皆源于手指計數基本法則，無疑其自然孕育形成了10進制系統。此乃是人類千百年來積累的寶貴智慧財富。

大約在3000多年前，中國古人就已形成了自然數概念，隨后便掌握了自然數的運算法則。而在《九章算術》中，已對分數、正負數和無理數等概念均給出明確而完整的描述。在“少廣”篇的開方術中寫道，若開之不盡者為不可開，當以面命之。故同負數一樣，中國古人對無理數的接納顯得非常從容和自然，且關于無理數的應用又是那樣得心應手。在中國古代數學中，“面”常指平面圖形的邊，而這里則應是指正方形的一邊。“以面命之”意指將開方不盡的數借助“面”來表示。

為了表示開方不盡的根數（無理數），劉徽在《九章算術》注釋中建立了小數概念。“不以面命之，加定法如前，求其微數（指小數部分）。微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細。”其大意就是用10進小數來無限逼近無理數。這是一條完善實數系的正確道路，但因劉徽的數學思想遠遠超越了其時代，可惜未能引起后人的足夠重視。

二、畢達哥拉斯學派發現無理數

“萬物皆數”是古希臘畢達哥拉斯學派的基本信條。不過他們所說的“數”僅僅是指有理數。公元前500年左右，畢達哥拉斯學派主要成員之一希帕蘇斯（Hippasus， 約公元前470）發現了一個驚人事實：邊長為1的正方形，其對角線長度不可公度（即不能用整數或整數之比來表示）。那這個數是什么，既不是整數，也非有理數。該發現很快引起了該學派的恐慌，認為其動搖了他們在學術界的統治地位。因畢達哥拉斯學派把抽象數作為萬物本原，他們研究數之目的是試圖通過揭示數的奧秘來探索宇宙永恒真理。“萬物皆數”是畢達哥拉斯學派的一種信念，是其宗教、哲學和數學思想的基礎。而無理數的發現徹底擊碎了其基本信念，致使整個學派失去了賴以存在的基礎。對畢達哥拉斯學派來說，整數是一切的基礎，認為任何事物皆可由整數表示出來。但無理數的發現使整數的原子地位受到了質疑，這就是該學派乃至整個希臘數學最為恐懼的科學事實。

希帕蘇斯第一次揭示了有理數系不能同連續直線同等看待，有理數并未布滿數軸上的點，在數軸上存在不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數”。故古希臘人把有理數視為連續銜接的算術連續統設想徹底破滅了。

不可公度的本質是什么？兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻之數。意大利畫家達芬·奇（Leonardo di ser Piero da Vinci，1452-1519）稱之“無理之數”，德國天文學家開普勒（J. Kepler， 1571-1630）稱之“不可名狀之數”等。后逐步定名為“無理數”。故我們今天所說的“無理數”并非“無理”，實為“不可通約”之意。

三、戴德金分割

直到文藝復興時期，如何定義無理數仍在探索之中。數學家斯蒂費爾（Michael Stifel，1486-1567）曾使用各種無理數，甚至還用過[a+bnm]這種在當時來說是新型的無理數。但他承認：“當我們想把它們數出來（用十進制小數的形式）時，卻發現它們無止境地往遠處跑，因而沒有一個無理數實質上能被我們準確地掌握住。而本身缺乏準確性的東西，就不能稱其為真正的數。故正如無窮大不是數一樣，無理數也不是真正的數，而是隱藏在一種迷霧后面的東西。”

嚴密無理數定義直到1857年才給出，第一個給出者是德國數學家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）。他先從自然數出發定義有理數，然后通過無窮多個有理數集合來定義實數。其定義不需引入新的數學對象作為無理數，而是承認10進制有限小數和無限循環小數是有理數，而10進制無限不循環小數則是無理數。在推理過程中，魏爾斯特拉斯最初只是將無理數看成一個純粹記號，一個尚不清楚其意義的數學對象。后在10進制小數全體集合內引入加法和乘法運算，并規定其中任何兩個數之間的序，驗證了其滿足域公理、序公理、阿基米德公理和連續性公理。再經過多步邏輯推導，最終給出了嚴密的實數定義。

1872年，戴德金（J.W.R.Dedekind，1831-1916）、康托爾（G. Cantor， 1845-1918）、梅雷（Melay）和海涅（Heine）等數學家幾乎同時發表了其各自的實數理論。其中戴德金從連續性要求出發，用有理數“分割”來定義無理數。

戴德金所應用方法被稱之戴德金分割。他把有理數集Q劃分為兩個非空且不相交子集[A1]和[A2]，并使對[?a1][∈][A1]，[?a2][∈][A2]，總有[a1<a2]。一個實數[a]被定義成上述有理數的一個分割，即[a=（A1，A2）]。可見，有些分割是有理數產生，這時或[A1]有最大元素，或[A2]有最小元素。如：

[A1]=[a1a1≤12，a1∈Q]，[A2=Q-][A1]，

[A1]具有最大元素[12]，就稱分割（[A1]，[A2]）定義了有理數[12]。但在這種情況下，同一個有理數會產生兩個分割，即它可能是[A1]的最大元素，也可能是[A2]的最小元素，這時則認為這兩個分割是相同的。而有些分割不是由有理數產生，這時[A1]和[A2]皆無最大或最小元素，此時則稱分割（[A1]，[A2]）定義了一個無理數。例如：[A1]=[a1a12>2，a1>0，a1∈Q]，[A2=Q-][A1]，可知，在[A1]和[A2]中不存在最大和最小的元素，這樣分割（[A1]，[A2]）就定義了無理數[2]。戴德金對無理數的定義，在數軸上可以被粗略地解釋為，每個有理數根據其大小和正負都唯一地對應于數軸上的一個點，而無理數被定義在有理數所形成的“空隙”中。如此，戴德金就把實數集R定義為有理數集Q的一切分割。

康托爾則在不假定無理數存在的條件下，通過“基本級數”引入了無理數。他不僅給出了無理數理論較為詳細的論述，還引進了實數理論，明確指出實數既包含有理數又包含無理數。同時康托爾還定義了實數的四則運算和兩個實數的不等關系，進而得出了著名的戴德金-康托公理：直線上任意一點皆與實數一一對應。

任何科學發展皆非一帆風順，而是在奮斗中一步步砥礪前行。從無理數的發現至給出其嚴格定義歷經了兩千余年篳路藍縷之程，其所引發的第一次數學危機對數學科學的發展產生了極為深遠的科學影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向邏輯證明，推動了公理化體系的發展，孕育了微積分思想，進而產生了現代數學。

注：本文為國家社會科學基金資助項目“李善蘭傳播西方科學歷史研究”（課題編號：16XSS003）。

參考文獻：

[1]徐傳勝.圣彼得堡數學學派研究[M].北京：科學出版社，2016.

[2]李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

作者簡介：袁玉曉（1966-），男，漢族，山東臨沭人，理學學士，高級教師，研究方向：數學教學和教育。

（責任編輯? 袁 霜）