基于Mathematica的高等數學實驗與探究

楊能彪

摘 要：高等數學作為高職院校的一門重要的基礎理論課，對于培養學生的數學應用能力和實踐能力，以及為以后的專業課學習具有重要作用。文章以建立Mathematica為平臺的高等數學實驗室為基礎，以Mathematica的應用具體案例作為切入點，介紹了高等數學實踐課的教學過程，并對今后開設高等數學教學實驗課提出了一些設想。

關鍵詞：數學軟件Mathematica;數學實驗;計算機技術

高等數學作為高職教育的一門重要的專業基礎課，是學生學習其它后續專業課程的基礎。一方面，提起數學課程，學生往往首先想到的是它的艱深和難以理解以，及各種定理的嚴格的推理和論證，以及各種難以理解和想象的抽象的理論，所以大多數高職學生面對高等數學的學習，可謂困難重重。所以在新的形勢下，高職院校的高等數學教育就不能照搬現有的固有的教學模式，即老師在講臺上靠黑板和粉筆講解各種數學公式和定理，學生跟著老師被動地學習數學。學習數學是為了應用，因此高等數學的教學要加強與實際應用的聯系，高等數學的教與學，都要與先進的計算機技術結合起來。學生不能只靠聽課和看書做習題接受高等數學知識，更要學會自己動手借助計算機這個先進的計算工具，嘗試高等數學的實際應用和解決各種現實的數學問題，從而提高學生的高等數學應用能力。Mathematica作為一個當今世界上應用最為廣泛的數學軟件，可以幫助學生著眼于數學的實際應用，幫助學生為實際的各種工程問題堅決數學問題，而且也為學生學習各種專業課打好良好的數學基礎，也為學生的高等數學的學習和應用打開更廣闊的視野。而數學軟件Mathematica特別擅長于各種符號運算、推理以及各種數據的可視化，因此把數學軟件Mathematica和計算機技術融入高職高等數學的教學，是培養學生數學應用能力的有效途徑，是當前高職高等數學教學改革的一個重要方面。

一、 以Mathematica為平臺建立數學實驗室的可行性及必要性

首先，我們認為，以Mathematica為平臺建立高等數學實驗室，可以培養學生參與科學研究的良好作風。數學實驗課上，學生在教師的指導下，通過操作Mathematica軟件，可以驗證數學教材的基本概念和基本理論，可以在計算機上利用Mathematica直接進行各種習題的演算和證明，從而獲取新知識，從而打破傳統的教師講、學生聽的固有模式，學生學習由變被動為主動，這不僅僅有利于加強學生自學能力的訓練，還可以提高學生的基奉素質。其次，利用Mathematica進行數學公式的快速推理與計算，以及強大的圖形顯示 功 能，可 以使學生在數學實驗課上很直觀地探索一些較復雜的數學問題 ，可以加深對數學概念的理解，增強高職學生學習高等數學的興趣和信心。譬如，求高階行列式的值時，因為高階行列式的展開過程是重復進行的，往往計算量很大，教師講得辛苦，學生聽得乏味。但用計算機后，可把這種類型的問題交給學生自己去做，學生很容易解決問題，而且容易舉一反三。由于數學軟件Mathematica特別擅長于各種符號運算、推理以及各種數據的可視化，因此把數學軟件Mathematica和計算機技術融入高職高等數學的教學，是培養學生數學實際應用能力的有效途徑，是當前高職高等數學教學改革中很有必要的。

二、Mathematica數學實驗課的實驗內容的設計

Mathematica數學實驗的題目應該緊扣高等數學理論課的學習，示例要簡單實用，題目要新穎，這既要區別于傳統的高等數學習題課，又要區別于一般的計算機語言實習，并且不一定局限于課堂上學過的數學知識，要有利于數學理論的“驗證”和“探索 ”。所謂驗證，是通過Mathematica 驗證已經學過的的數學定理或已學過的數學知識;所謂探索，是指利用Mathematica完成人工所不可能完成的巨大的數學計算量的同時，發現以往單純靠邏輯推理和直覺所難以發現的數學規律。下面提出二個具體實例。

實驗一：極限的求法

（1） 實驗目的：利用Mathematica軟件，用 Limit[ ]語句求函數的極限;運用 Mathematica的繪圖語句作圖 ，從可視化圖形上直觀地體會函數與圖形之間的聯系，理解與掌握數列極限與函數極限間的區別與聯系。

（2）原理方法：使用Mathematica軟件中的 Limit[ ]，Plot3D[ ]，Tab1e [ ]等指令，利用Mathematica的強大的圖形可視化功能，從而得出直觀的結論。

由此非常直觀地可見，當展開的三角諧波函數項數越多時，其疊加的結果越接近于方波。

三、利用Mathematica在實踐中逐步完善數學實驗課

利用Mathematica進行高等數學實驗課的教學，首先要使學生在課堂上掌握高等數學中必要的基本概念和理論。這樣，在實驗課上就可以比較多的未知的問題供他們去探索。

高職高等數學實驗課，應包括兩部分主要內容：首先是以課本為主的數學基礎部分，以及圍繞高等數學的綦本內容，如函數的極限、求導、求積分、函數圖形的繪制等內容，讓學生 充分利用Mathematica，利用計算機及軟件的數值功能、符號功能和可視化功能，去探究數學的綦本概念與結論，去體驗如何發現、總結和應用數學規律，學會以Mathematica為工具解決生活和工作學習中碰到的數學問題。

總之，利用Mathematica進行高等數學實驗課的教學，是基于數學實驗強調的足從實際問題出發，學生自己動手解決實際的數學問題，學生自己探究結果。數學實驗是鼓勵學生自己發現和設計新的數學實驗，希望學生最終能結合所學的專業課和專業基礎課的相關內容，能夠利用Mathematica去計算和解決專業課學習中出現的各種復雜的數學計算和可視化問題，在這方面，利用Mathematica這個平臺建立數學實驗室進行數學實驗，將是大有作為的。

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