淺析線性代數中神秘的“秩”

摘要：秩是線性代數中較難理解的一個概念，但是它與矩陣、向量組、二次型卻有著密切的關系。理解和掌握了秩，就能夠靈活地看待不同知識點之間的聯系，有助于相似知識點的掌握。

關鍵詞：秩;矩陣;向量組;二次型

一、神秘的“秩”

秩是秩序，可以聯想為衡量秩序程度的一個量。“秩”最早出現在線性代數教材關于矩陣秩的定義介紹中。定義如下：

設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數r稱為矩陣A的秩，記作R（A）。

看完這個定義，很多人會能夠根據定義正確計算出矩陣A的秩，但并不能從內心深處真正理解矩陣A的秩。秩到底是什么？很多的專家學者也并沒有給出統一的、確切的答案，只是有部分研究者按照自己的理解給出了分析和解釋。其中有一種理解是：秩是通過矩陣變換之后的維度，并且通過二維平面直角坐標系給出了直觀的展示。如圖1所示：

對于上述以坐標原點為中心的正方形，通過旋轉矩陣 進行變換，得到一個二維圖形，因此，旋轉矩陣P的秩為2，如圖2所示：

若通過矩陣 進行變換，得到的是一條直線，一維的，所以旋轉矩陣Q的秩為1，如圖3所示。

如果換做旋轉矩陣 ，得到的是一個點，零維的。所以旋轉矩陣 的秩為0。

還有人將矩陣視為線性映射引出的概念，而將矩陣的秩看做線性映射空間的維數。例如，如果把矩陣當做樣本集合，每一行都是一個樣本，那么矩陣的秩就是這些樣本所生成的線性子空間的維數。在有限維空間中，矩陣和線性映射同構，所以上述兩種理解算是殊途同歸。

對于二階矩陣，這樣的理解學習者應該能接受，但對于三維及其三維以上的旋轉矩陣，如何直觀展示矩陣的秩，這是一個難題。所以大家見到的大多是如何計算矩陣的秩或者向量組的秩，而很少有人探討秩的直觀展示和理解。

二、“秩”的作用和地位

矩陣的秩雖然抽象，不易理解，但是矩陣的秩是矩陣的內在特征，本質的東西。所以對A進行初等變換前后，秩是不改變的，即如果 ，則R（A）= R（B）。正因為初等變化沒有改變矩陣A的內在特征—秩，所以才使得矩陣的初等變換應用廣泛。例如，可以用于求解線性方程組的解，也可以用來尋找向量組的最大無關組，還可以在此基礎上，用最大無關組表示剩余的向量等等。

1.矩陣的秩與線性方程組的求解

對于n元非齊次線性方程組 ，可以通過矩陣A和增廣矩陣（A，b）二者秩的情況，來判斷解的情況。當R（A）≠R（A，b）時，方程組無解;當R（A）=R（A，b）= n時，方程組存在唯一解;當R（A）=R（A，b）< n時，方程組存在無窮多組解。

2.矩陣的秩與向量組線性相關性的判定

向量組線性相關性的判定除了定義及等價定義，還有一些定理也比較常用。例如，如果向量組 的秩 ，則向量組A線性相關;若 ，則向量組A線性無關。

3.矩陣的秩與向量組的秩

向量組 雖然在數值上等于對應矩陣A的秩，

但在理解上要相對容易一些。例如，四個三維向量構成的向量組

由向量組線性相關性的判定方法可知，該矩陣的秩為3，則向量組A線性相關。向量組A的秩R（A）小于向量個數，可以理解為向量組A中存在可以被替代的向量，例如上述向量組A中的 ，說明向量 可以被 的線性組合取代，即A中存在可以被剔除的向量。將向量組A中所有可以被取代的向量全部剔除后，剩余的向量個數即為向量組的秩。保留下來的向量都可以看做無可替代的精英，因此向量組的秩可以理解為精英組中所含精英的個數。

4.矩陣的秩與二次型的秩

當然，在矩陣的二次型中，也有秩的概念，那就是二次型的秩。二次型

可用矩陣表示為 ，其中A為對稱矩陣，稱為二次型f的矩陣。對稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩，所以，可以通過計算矩陣A的秩得到二次型f的秩。二次型的秩可以理解為標準二次型中所含平方項的個數。

三、小結

秩作為線性代數中的一個神秘字眼，與線性方程組、向量組、二次型等主要研究內容都有千絲萬縷的聯系。矩陣的秩更是與所對應的向量組的秩及二次型的秩在數值上是一樣的。但對于不同的對象，秩的理解是不同的，本文基于秩這條線，將線性代數的不同研究內容聯系在一起。通過對相似內容的剖析，我們可以更好地理解和掌握。

參考文獻：

[1] .矩陣的秩在線性代數中的運用，蘇芳，徐湛，成禮智，科技創新導報，2010，09.

[2] .矩陣的秩的一類新的證明方法，唐睿，董曉亮，薛淑悅，朱乾宏，寧夏師范學院學報，2018.01.

[3] .矩陣的秩的知識遷移教學法，趙婷，洛陽師范學院學報，2016.08.

作者簡介：

劉瑞杰（1986—），女，講師，河南開封人，碩士研究生，主要研究方向為智能計算。]

（作者單位：武警警官學院）