兩個重要不等式證明及拓展應用

張航程

在教學實踐中筆者發現人教A版選修2-2P32習題1.3B組第1題

（3）ex≥x+1（x∈R），當且僅當x=0時，等號成立.

（4）x≥1+ln x（x>0），當且僅當x=1時，等號成立.

這兩個經典不等式在解題中應用廣泛，不但在選擇題中有變形應用而且在解答題中也隱形出現，若不能研究透本質就會給解題帶來障礙。今天就不等式證明和應用方法進行剖析，以饗讀者。

A.以下通過函數圖像直觀驗證，并利用函數的單調性證明此不等式。

利用函數的圖像（如圖），不難驗證上述不等式鏈成立.

1.問題源于求曲線y=ex在（0，1）處的切線及曲線y=ln x在（1，0）處的切線，通過觀察函數圖像間的位置關系可得到以上結論。也可構造函數f（x）=ex-x-1與g（x）=x-ln x-1利用函數單調性對以上結論進行證明。（讀者可自己試證）

2.兩個不等式從本質上看是一致的，第（4）題可以看作第（3）題的推論.在第（3）題中，用“ln x”替換“x”，立刻得到x>1+ln x（x>0且x≠1）。

進而得到一組重要的不等式鏈：ex>x+1>x-1>ln x（x>0且x≠1）.

B.不等式在選擇題中應用

1? ?已知函數f（x）= ，則y=f（x）的圖像大致為（ ）

解析 因為f（x）的定義域為

即{x|x>-1，且x≠0}，所以排除選項D.

當x>0時，由經典不等式x>1+ln x（x>0），

以x+1代替x，得x>ln（x+1）（x>-1，且x≠0），

所以ln（x+1）-x<0（x>-1，且x≠0），即x>0或-1<x<0時均有f（x）<0，排除A，C，易知B正確。通過以上代換利用經典不等式很容易解決一個看似復雜的單選題。

C.不等式在簡單證明題中應用

2? 證明：ex-ln x>2.

注意到ex≥1+x（當且僅當x=0時取等號），

x-1≥ln x（當且僅當x=1時取等號），

∴ex+x-1>1+x+ln x，故ex-ln x>2.這道題應用兩個經典不等式證明比應用構造函數證明簡單的多，一定程度上降低了證明的難度，提高了解題速度和正確率。

3? 已知函數f（x）=ex，x∈R.證明：曲線y=f（x）與曲線y= x2+x+1有唯一公共點.

證明 本題采用構造函數法? ?令g（x）=f（x）- =ex- x2-x-1，x∈R，

則g′（x）=ex-x-1，

由經典不等式ex≥x+1恒成立可知，g′（x）≥0恒成立，

所以g（x）在R上為單調遞增函數，且g（0）=0.

所以函數g（x）有唯一零點，即兩曲線有唯一公共點.

D.不等式在較復雜證明題中應用

4（2017·全國Ⅲ卷改編）已知函數f（x）=x-1-aln x.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）證明：對于任意正整數n，? <e.

（1）解 f（x）的定義域為（0，+∞），

①若a≤0，因為f =- +aln 2<0，所以不滿足題意.

②若a>0，由f′（x）=1- 知，

當x∈（0，a）時，f′（x）<0;當x∈（a，+∞）時，f′（x）>0;

所以f（x）在（0，a）單調遞減，在（a，+∞）單調遞增，

故x=a是f（x）在（0，+∞）的唯一最小值點.

因為f（1）=0，所以當且僅當a=1時，f（x）≥0，故a=1.

（2）證明 此處證明不易找到方法，但通過對（1）分析發現當a=1時可出現形如：x≥1+ln x（x>0），當且僅當x=1時，等號成立的式子，受它啟示則當x∈（1，+∞）時，x-1-ln x>0.

此時賦值令x=1+ .

從而l =1- <1.

故 <e.這樣便可輕而易舉證明不等式。

所以e0·e1·e2·…·en-1>1×2×3×…×n，

即e >n！，

通過以上實例發現無論選擇題還是證明題這兩個經典不等式在其中所起作用都很關鍵，熟練掌握和應用它們對這一類問題可迅速解答。

（作者單位：陜西省城固縣城固第一中學）