線性方程組在線性代數中的地位和作用

摘要：線性代數的形成源于對線性方程組問題的求解和研究，所以，線性方程組在線性代數中有著重要的地位和作用。線性代數的主要研究工具行列式、矩陣、向量組都與線性方程組有著緊密的關系。關于這些研究工具的諸多問題，經?？梢酝ㄟ^線性方程組的理論和思想進行分析和求解。本文對線性方程組在線性代數中的地位和作用進行樂淺析。

一、線性代數源于對線性方程組問題的研究

線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組，據記載，我國對線性方程組的研究源于公元初的《九章算術》，是世界上最早研究線性方程組的國家。作為線性代數所研究的最古老的問題，對它的研究開啟了一扇通往數學新的分支的大門。隨著笛卡爾、約翰·伯努利等人在幾何方面的研究，線性代數的研究內容逐漸增多，研究視角逐漸變得多元化。隨著理論的不斷完善和成熟，最終于公元20世紀形成一個獨立的數學分支。因此，線性方程組理論可以看作是線性代數的研究基礎。

二、線性代數方程組與行列式、矩陣、向量組等的關系

作為線性代數的一個主要的研究對象，也是重要的研究對象，貫穿了線性代數的始終，與矩陣、向量組等主要內容之間有著千絲萬縷的聯系。

1.行列式與線性方程組

對于含有n個未知量，n個方程的線性方程組來說，

當系數矩陣對應的行列式D≠0時，可以考慮用克拉默法則對該方程組進行求解。解得 ，其中

，

2.矩陣與線性方程組

線性代數方程組本身就和矩陣有著緊密的聯系，例如，n元線性方程組

（1）

可以表示成矩陣形式 。

其中

。

關于方程組的解的判定，也始終依托矩陣而展開。當 時，方程組有解;當 時，方程組無解。除此之外，我們對于很多矩陣問題，也會巧妙地利用“轉化”思想，將矩陣問題轉化為方程組的問題。例如矩陣秩的性質：

它的推導過程如下：

令 ，則說明方程組 有解 ，根據方程組有解的判定定理，可知 ，得 。

另外，將等式 兩邊同時轉置，得 ，同樣利用方程組有解的思想，可以得出 ，即 ，綜上所述，結論 得證。

3.向量組與線性方程組

方程組（1）也可以寫成向量的形式：

即

若向量組 線性相關，則存在一組不全為零的系數 ，使得線性組合 =0。換句話說，向量組A線性相關，可以理解為方程組 有非零解，即 有非零解。最終轉化為方程組有非零解的情況。類似的，對于向量組線性無關的判斷，可以通過方程組 只有零解來判定。因此，對于向量組線性相關性的判定可以轉化為方程組是否有解的問題。

此外，在齊次線性方程組 有非零解的情況下，我們需要基于基礎解系寫出該方程組的通解?；A解系在解向量組中發揮著重要的作用，它是解向量組的一個最大無關組。所以，同樣可以通過討論基礎解系這個向量組來解決線性方程組的通解問題。

三、小結

線性方程組作為一條線，串起了線性代數的幾乎所有研究內容。它的角色和作用無可替代。希望通過對線性方程組作用和地位的淺析，能夠使學員清楚線性代數的大致脈絡，在學習的時候能夠把握住這條線。

參考文獻：

[1] “線性代數”教學中的主線法與類比法的綜合運用，徐龍玉，胡葵，王麗，綿陽師范學院學報（自然科學版），2018.02.

[2] 線性代數在初等數學中的應用，陳秋帆，姚裕豐，高師理科學刊，2018.05.

[3] 線性代數中基于線性方程組的“轉換”思想，沈進，教育教學論壇，2018.07.

作者簡介：

劉瑞杰（1986—），女，講師，河南開封人，碩士研究生，主要研究方向為智能計算。

（作者單位：武警警官學院）