基于速度約束求導法補充加速度關系

摘?要：探討采用速度約束求取加速度關系的方法，并給出其在典型題當中的應用.實踐表明，該方法可以使問題得到一定簡化，求解過程相對簡單，不容易出錯.

關鍵詞：理論力學;剛體平面運動;動力學微分方程;速度約束

[中圖分類號]O469 ???[文獻標志碼]A

Acceleration Equation Based on VelocityConstraint Derivative Method

LIU Yanbin

（School of Mechanics and Optoelectronic physics， Anhui University ofScience and Technology， Huainan ?232001， China）

Abstract：Dynamics equation of rigid body in plane motion is the basic teaching Content of theoretical mechanics. For differential equation of the rigid body with constraints， the number of unknowns is more than the number of equations. Thus， it is need to supplement acceleration relation. Theoretical mechanics textbooks usually use the base point method to get the acceleration relationship. For points moving in a straight line， the method of calculating acceleration relation with velocity constraint is discussed and its application in typical problems is given. It is show that the method can simplify the problem to a certain extent， and the solving process is relatively simple， and it is not easy to make mistakes.

Key words：theoretical mechanics;planar motion of rigid body;dynamic differential equations;velocity constraints

剛體平面運動微分方程是理論力學課程中重點內容，亦是課程難點內容之一.做平面運動的剛體通常是受到理想約束，而理想約束反力是不能直接確定的，即剛體動力學微分方程的未知變量的個數超過方程的個數，需要補充加速度關系式.目前的教科書僅用基點法[1-3]補充加速度關系式.基點法的優點是物理概念清晰，通用性強，缺點是步驟復雜，需要列出投影方程.做平面運動的剛體均是具有速度約束的特殊質點系，對于做直線運動的點，加速度方向與速度方向均在一條直線上，故對速度約束方程求導可以直接得到加速度約束關系式.本文采用速度約束求一階導數補充加速度關系式.對于一些理論力學習題，采用該方法會相對簡單.

1?速度約束求取加速度

限制質點系速度的運動學條件稱為速度約束.圖1所示的平面運動剛體任意兩點A和B均做直線運動，則每點的加速度和速度方向均在一條直線上，點A和B的速度關系式可以通過速度合成定理或者是速度瞬心等方法求出.

將點A和B的運動約束方程寫為一般形式：f（νA，νb，θ，ω）.（1）

方程（1）只包含了點A和B的大小，不包含方向.當點A和B均做直線運動，即運動過程中點A和點B不存在法線加速度時，將方程（2）對時間t求導，可得：

fνA ν·A+fνB ν·B+fθ θ·+fω ω·=0.（2）

且aA=ν·A，aB=ν·B ，ω=θ·，α=ω·，所以（3）式可以寫為：

fνA aA+fνB aB+fθ ω+fω α=0.（3）

（3）式即為做直線運動的點A和B的加速度約束方程.

2?應用舉例

例1?如圖2所示，長為l，質量為m的均勻質量桿AB，A端放在光滑的水平面上，B端系在繩索上.繩索為鉛錘狀態，系統初始時刻靜止，桿AB與地面夾角為θ.若突然剪斷繩索，求A端在瞬間所受到的地面約束反力.

問題分析?例題1是大多數教材的例題或者習題，在求解該例題時，教材均是采用基點法補充角加速度和質心加速度關系式.由動量守恒定理可知，質心C的運動軌跡始終垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度始終保持水平向右.所以在本題中，點A和點C均做直線運動，故滿足本文所討論的情況，可以采用速度約束求導法進行加速度分析.

解?桿AB的受力分析如圖2（b） 所示.桿AB在水平方向不受力，由動量守恒定理可知，質心C的運動軌跡垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度水平向右，速度瞬心為P，如圖所示.剛體平面運動的動力學微分方程為

ml212 α=FA2l.（4）

（a）（b）（c）圖2?例1圖示、受力分析及運動分析圖

maC=mg-FA.（5）

式（4）和（5）有三個未知數，故需要補充加速度方程.由圖2（c） 可知

ωABl2cosθ=νC（6）

由于A點和C點均做直線運動，對（6）式求導可得，

l2（ω·ABcos θ-ωABθ·sin θ）=ν·A.

（7）

且αAB=ω·AB，ωAB=-θ·.初始時刻ωAB=0，所以（7）式簡化為

aA=l2αcosθ.（8）

由（4）（5）和（8）式可得：

FA=mg1+3cos2θ.（9）

討論?從本題求解過程可以看出，加速度關系只需速度約束一步求導即可得到.教科書中通常需要畫出加速度圖，然后采用投影方程得到加速度關系，過程相對繁瑣.

例2?如圖3（a） 所示，勻質圓盤A的質量均為m，半徑為r.繩的一端纏繞在圓盤A上，另一端固定，直線線段鉛錘.不計摩擦求圓柱體A下落時的質心加速度.

問題分析?例題2在許多教材或習題集中出現.對于例題2，圓盤A的質心點始終做直線運動，故滿足本文所討論的情況，可以采用速度約束求導法進行加速度分析.

解?受力分析圖如圖3（b）所示.取圓盤A為研究對象，動力學微分方程為：

ma=mg-FT.（10）

Jα=FTr.（11）

在式（10）和（11）中，有3個未知數，故需要補充加速度方程.任一瞬時，速度約束滿足：

ν=ω r.（12）

由于質心做直線運動，加速度與速度方向一致，對（12）式求導可得：

a=α r.（13）

a=2g3.（14）

討論?目前許多教科書均是作為結論直接給出 （13）式，或是說采用基點法直接得到（13）式，沒有詳細過程.本文采用速度約束求導法得到（13）式，推導過程比較簡單.

3?結論

對于做直線運動的點，速度約束求導法具有概念清晰、推導過程簡潔的優點.與基點法相比，在剛體平面運動微分方程中，采用速度約束求導法補充的加速度關系，可以使問題得到一定簡化，求解過程相對簡單，不容易出錯.利用速度約束求導法補充平面運動剛體的加速度關系會相對簡單.

參考文獻

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編輯：吳楠