牛頓運動定律與拉格朗日方程在力學問題上的解法比較

王振軍

摘? 要：在求解力學問題時可以利用牛頓運動定律，也可以利用分析力學中的拉格朗日方程來求解。這是兩種完全不同的求解方法，卻殊途同歸。用牛頓運動定律求質點組的運動問題是要解算大量的微分方程組，如果質點組受到約束，則因約束反力都是未知的更增加了 解決問題的復雜性。而分析力學中的拉格朗日方程則很好的解決了這一問題。

關鍵詞：參考文獻;牛頓運動方程;拉格朗日方程;等價性;微分方程

我們所研究的力學問題，基本上是以牛頓運動定律來求解的。但是，用牛頓運動定律來求質點系的運動問題時，往往需要解算大量的微分方程組，如果質點受到約束，則因約束反力都是未知的，因此增加了問題的復雜性。隨著工業革命的發展，在工程技術上迫切需要解決這類問題的方法，于是，便誕生了拉格朗日等人開創的一系列處理力學問題的新方法——分析力學，其中，包括虛功原理、拉格朗日方程、哈密頓原理等。在這里，淺談拉格朗日方程在求解力學問題中的應用。

拉格朗日方程與牛頓方程之比較：

由此可說明：拉氏方程與牛頓方程“等價”.但等價并非相等，在許多方面，拉氏方程要優于牛頓方程.雖然拉氏方程與牛頓方程等價，但用拉氏方程求解問題，思路清晰、步驟規范.凡能用牛頓方程處理的問題，都可用拉氏方程處理，反過來則不盡然.拉氏方程在許多方面要優于牛頓方程.

1.牛頓力學與拉格朗日力學的關系：

質點力學的問題，既可以用牛頓力學也可以用拉格朗日力學（還有哈密頓原理）中的任何一種基本原理來表述.經典力學中惟一可以用實驗加以驗證的是牛頓第二定律，也正是這一定律，構成了牛頓質點力學的基礎，而拉格朗日力學卻要求抽象的虛位移、虛功，顯然這種依賴于思維的原理是不可能用實驗加以驗證的。下面就這兩種理論的內容、方程及切入點做簡單的討論和類比。

1）一般曲線運動問題和約束問題中兩種理：

牛頓力學為求解力學問題提供了有效的方法，然而直接以牛頓運動定律為出發點來研究質點系統的運動，卻存在著一些不足和困難。一方面，它在表述方式上有時顯得十分復雜;另一方面，質點組力學問題中包含著大量方程的微分方程組，尤其在處理約束問題時，力學系統的獨立變量的數目減少了，而引進的未知約束力和相應的約束關系反而使方程數目增多，增加了求解的復雜性。牛頓力學的這兩種不足卻能在拉格朗日力學中都能得到很好的解決，它不僅使在牛頓力學所解范疇的力學問題得以簡化，而且擴展了牛頓力學。在運用中拉格朗日力學通篇沒有用一個受力圖，其表述的優勢是不需要顯含約束力，其重點放在系統的動力學方面，而不是計算作用在系統上各部分的力。

2）兩種理論的類比：① 力學規律的比較：牛頓力學的基本觀念：時間的絕對性與時空分離的觀念，使得它只適用于物體運動速度遠小于光速的范圍，為了擺脫經典概念的束縛，而且成為自然地過渡向非經典力學的橋梁，拉格朗日力學為這種過渡做出了最好的準備。拉格朗日方程是以達朗伯原理為基礎，而達朗伯原理的出發點是牛頓運動方程，后面進行的所有推導都只是改變表述的形式。

② 理論研究的切入點的比較：拉格朗日力學與牛頓力學的著眼點是不一樣的。牛頓力學方法是以質點為對象，把著眼點放在作用于物體上的外界因素（力），在處理質點系統問題時，須分別考慮各個質點所受的力，然后來推斷整個質點系統的運動，而拉格朗日在處理問題時，以整個力學系統作為對象，用廣義坐標來描述整個力學系統的位形，著眼于體系的能量（如動能和勢能）概念。實際上，在拉格朗日表述中沒有一處引入過力的概念，這主要是因為能量是標量，并且一系統的拉格朗日函數是不隨坐標變化而變化的;在力學系統受到理想約束時，可在不考慮約束力的情況下來解決系統的運動問題。

方程形式的比較：拉格朗日動力學方程取較簡潔的形式。對于有n個質點所組成，受到k個約束條件限制的力學體系，應用牛頓定律將需要3n+k個方程聯立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k個，約束越多，這一優點就越明顯。另外，在上述已談到，牛頓運動方程是從物體受力角度導出的，而拉格朗日方程是從能量的角度來寫動力學方程的，這樣的好處是：一是，力是矢量，能量是標量，一般來說處理標量比處理矢量要方便。二是，力僅是力學范圍內的一個物理量，而能量則是整個物理學的一個基本物理量，這就為把力學規律應用到其他物理學領域開辟了可能性，使拉格朗日方程成為力學和物理學其他分支相聯系的橋梁。

綜上所述：牛頓力學在數學處理方面著重于幾何和矢量的應用，拉格朗日力學則偏重于解析數學，它們處理問題的出發點不一樣，但所得的結論是一致的。在學習中我們看到在拉格朗日力學中并沒有在任何意義上建立新的理論，只不過是在力學中引人虛位移和虛功的概念把牛頓觀點進行擴展的結果，這也正是這兩種不同風格的力學理論，在力學范疇內所包含的內容完全等價的原因所在。但我們也看到，由于拉格朗日力學具有普適的表達方式，使它有可能超越力學范圍，推廣到其他學科中應用。雖然拉氏方程與牛頓方程等價，但用拉氏方程求解問題，思路清晰、步驟規范.凡能用牛頓方程處理的問題，都可用拉氏方程處理，反過來則不盡然.拉氏方程在許多方面要優于牛頓方程.