概率統(tǒng)計在經(jīng)濟問題中的應用

張艷婷　姜永

摘? ?要：闡述了概率統(tǒng)計在經(jīng)濟問題中的應用原理和方法，運用實例介紹數(shù)學期望在求最大利潤中的應用和De Movire-Laplace定理在抽樣檢查產(chǎn)品質量中的應用。希望能夠讓人們更深入地認識概率統(tǒng)計的本質，解決日常生活中的問題。

關鍵詞：概率統(tǒng)計;數(shù)學期望;De Movire-Laplace定理;經(jīng)濟問題

概率統(tǒng)計作為研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的一門大學數(shù)學基礎學科，在經(jīng)濟銷售[1]、投資風險和管理決策[2]等方面都有所應用。如何把概率統(tǒng)計的理論知識應用到我們的實際生活中，是近幾年的研究熱點。

1? ? 預備知識

1.1? 概率的基本知識

1.1.1? 概率的定義

實驗中樣本空間Ω只有有限個樣本點數(shù)，并且每個樣本點發(fā)生的可能性都相同[3]。若事件A出現(xiàn)的頻率fn（A）隨著試驗次數(shù)n的增加穩(wěn)定在某一常數(shù)P（0≤p≤1），則P為事件A發(fā)生的概率，記作P（A）=p。

它必須滿足以下條件：

（1）規(guī)范性：P（Ω）=1;（2）非負性：對任意事件A都有P（A）≥0;（3）可列可加性：設Ak，k=1，2，…cos-1θ為互不相容事件，則

1.1.2? 概率的意義

實驗中是否發(fā)生隨機事件是隨機的，但隨機性包含規(guī)律性：即隨著實驗次數(shù)的增加，隨機事件發(fā)生的頻率將越來越接近事件發(fā)生的概率。概率是定量反映隨機事件發(fā)生概率的數(shù)學概念，是大量重復實驗的統(tǒng)計規(guī)律。對于單個實驗來說，不管是否發(fā)生隨機事件，仍然是隨機的。

1.2? 數(shù)學期望的基本知識

1.2.1? 數(shù)學期望的定義

定義1：設離散型隨機變量X的概率分布為：，若級數(shù)絕對收斂，則稱之為隨機變量X的數(shù)學期望，記作：。

定義2：設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f（x），若積分絕對收斂，則稱之為隨機變量X的數(shù)學期望，記為。

1.2.2? 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望

（1）若隨機變量， Y=g（X），則。

（2）若隨機變量X的密度函數(shù)為fX（x），Y=g（X），則。

（3）若隨機變量（X，Y）～pij，Z=g（X，Y），則：

。

（4）若隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為f（x，y），Z=g（X，Y），則

。

1.2.3? 數(shù)學期望的性質

（1）線性：對任意a，b，c∈R及隨機變量X，Y，若EX，EY存在，則：

E（aX+bY+c）=aEX+bEY+c

（2）若隨機變量X與Y相互獨立，且EX，EY存在，則EX（EY）=EX·EY。

1.2.4? 數(shù)學期望的意義

研究隨機變量總值的平均水平是概率統(tǒng)計中的一個重要數(shù)字特征，在實踐中對抽象的數(shù)學模型進行分析，從而達到理解客觀世界規(guī)律的目的，為進一步的決策分析提供準確的理論依據(jù)。

1.3? De Movire-Laplace定理及其意義

1.3.1? De Movire-Laplace定理

定理1：設隨機變量ηn（n=1，2，…）服從參數(shù)為n，p（0

1.3.2? De Movire-Laplace定理的意義

De Movire-Laplace定理是中心極限定理的一種特殊形式。定理表明：當n→∞且p（0

2? ? 概率統(tǒng)計在經(jīng)濟問題中的應用

2.1? 數(shù)學期望在求最大利潤中的應用

對于一個隨機變量，如果我們知道它的概率分布，就可以對它進行全面分析。事實上，對于一些實際問題，對隨機變量進行全面的描述是非常困難的。所以，有時候不需要知道隨機變量的概率分布，只需通過一些數(shù)字特征就可以對問題進行考慮和分析。我們可以把研究的問題轉換成計算數(shù)學期望值的簡化問題，得到最優(yōu)解。運用數(shù)學期望的思想和方法，巧妙地反映隨機變量的一些重要數(shù)字特征，可以幫助我們從側面分析計劃，做出最佳策略。我們認為數(shù)學期望最大的策略為最佳策略，它可以幫助人們在復雜情況下從可能的解決問題的策略中做出選擇和決策。因此，數(shù)學期望可以直接或間接地解決生活中的許多經(jīng)濟問題，成為人們作出經(jīng)濟策略時的重要依據(jù)。

在利用數(shù)學期望求解經(jīng)濟問題時，首先，要建立起問題要求的量與某一已知分布的隨機變量之間的函數(shù)關系，這樣就可以利用已知分布的量來求未知分布的量的數(shù)學期望，從而最終確定所求問題的解。接下來我們舉例說明數(shù)學期望在求最大利潤中的應用。

例1 ：假設某工廠生產(chǎn)正方體彩燈盒，該種正方體彩燈盒的邊長X（mm）～N（μ，1），若邊長X的范圍為（150≤X≤152）是優(yōu)質的彩燈盒，其余都為劣質的彩燈盒。已知銷售利潤Y（單位：元）與銷售正方體彩燈盒的邊長X有關，銷售每個優(yōu)質的彩燈盒獲利30元，銷售每個劣質的彩燈盒的虧損情況如下：

問：正方體彩燈盒的平均邊長μ取何值時，銷售一個該種正方體彩燈盒的平均利潤最大？

解：由于X～N（μ，1），故X-μ～N（0，1），從而由題設條件知，平均利潤為：

即：

化簡得：

其中，Φ（x）為標準正態(tài)分布函數(shù)，設φ（x）為標準正態(tài)密度函數(shù)，則有：

即：

令，得到：

由此得

，此時。

所以當正方體彩燈盒的平均邊長μ=μ0≈150.0 mm時，銷售一個該種正方體彩燈盒的平均利潤最大。

2.2? De Movire-Laplace定理在抽樣檢查產(chǎn)品質量的應用

抽樣檢查方式是國家在市場經(jīng)濟背景下對產(chǎn)品進行檢查的主要方式。國家質檢總局每年在對整個社會的經(jīng)濟形勢做具體分析時，都采用抽樣檢查的方式對各行各業(yè)的發(fā)展情況進行調(diào)查，與對產(chǎn)品進行全面檢查相比，抽樣檢查的方式具有準確度高、成本低、速度快、應用廣泛等優(yōu)點。產(chǎn)品質量抽樣檢查一般是指根據(jù)隨機原理，從所有產(chǎn)品中抽取一部分產(chǎn)品，對產(chǎn)品質量問題進行檢驗，并用數(shù)理統(tǒng)計的思路和方法，通過產(chǎn)品選定部分的量化特征，對整個產(chǎn)品進行定量外推。

抽樣方法的正確性是指抽樣的代表性和隨機性。代表性反映了所抽取的樣品與全部產(chǎn)品質量的接近程度，而隨機性則反映了要檢查的所有產(chǎn)品中的某些單位產(chǎn)品被意外地抽取為樣品，這是由隨機因素決定的，想對全部產(chǎn)品質量狀況有確切的了解。很明顯，主觀約束方式不能用來改善樣本的表示，抽樣應該是完全隨機的 ，一般來說，只要不是有意識地提取出好的或壞的產(chǎn)品，而是嘗試從全部產(chǎn)品的各個部分抽樣，即可視為隨機抽樣。

經(jīng)濟問題需要運用概率統(tǒng)計的知識簡化問題并對相關問題進行求解。De Movire-Laplace定理表明正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當n充分大時，可以利用該定理來計算二項分布的概率。De Movire-Laplace定理為概率估計提供了極為有效的依據(jù)。在利用De Movire-Laplace定理求解經(jīng)濟問題的近似解時，二項分布X～B（n，p）可以看作是一個獨立同分布Xi（i=0，1，2，…n）在0～1分布的和，即，其中：P（Xi=1）=p， P（Xi=0）=1-p。

例2：假設通過抽樣的方式對某工廠生產(chǎn)的一批玩具質量進行檢查，若抽查出來的不合格玩具數(shù)量超過5件則拒絕接受這批玩具。設這批玩具的不合格率為5%，問：至少應抽多少件玩具才能保證檢查時拒絕接受這批玩具的概率達到95%？

解：設n為至少應抽的玩具數(shù)量，X為其中的不合格玩具數(shù)量，對獨立同分布的Xi（i=0，1，2，…n），由De Movire-Laplace定理有：

即：

當n充分大時，，由題意知，即：

查表得，即n=50。

由分析可知，至少應抽樣50件玩具才能保證檢查時拒絕接受這批玩具的概率達到95%。

3? ? 結語

從數(shù)學期望和De Movire-Laplace定理出發(fā)，詳細介紹了概率統(tǒng)計在求最大利潤和抽樣檢查產(chǎn)品質量中的應用。通過運用概率統(tǒng)計理論知識解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學理論在現(xiàn)實生活中的重要性和有效性。

[參考文獻]

[1]趙玉梅，梅? ?紅，熊洪斌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計在經(jīng)濟中的應用[J].合肥學院學報：綜合版，2018（2）：123-126.

[2]龔友運.概率與統(tǒng)計在經(jīng)濟分析中的應用[J].大學教育，2016（10）：131-132.

[3]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].南京：高等教育出版社，2009.

Application of probability statistics in economic problems

Zhang Yanting， Jiang Yong

（College of Computer and Information Sciences，? Fujian Agricultural and Forestry University， Fuzhou 350002， China）

Abstract：This paper expounds the principle and method of the application of probability statistics in economic problems， and introduces the application of mathematical expectation in finding the maximum profit and the application of De Movire-Laplace theorem in sampling inspection of product quality by using examples. It is hoped that people can understand the essence of probability statistics more deeply so as to solve the problems in daily life.

Key words：probability statistics; mathematical expectation; De Moire-Laplace theorem; economic problem