運用函數與方程思想解決實際問題的研究

孫寬程

摘? ?要：函數的思想是以全局的視角來衡量的，方程的思想則不同，它是通過設未知數，再運用題中所給已知條件，構造出方程或者方程組，從而求解出未知數。對于很多問題，要將兩者結合運用去解決。在未來的學習生活中，學生應該有意地培養自己運用函數與方程思想解題的能力。函數與方程的思想可以應用于解決各種題型。

關鍵詞：函數;方程;思想;性質;轉化;構造

與函數和方程思想相關的知識點、題型與應用技巧都比較多，主要體現在解決實際問題方面，在很多領域都有著非常廣泛的應用。函數的思想可以使事物變化的規律得以有效地揭示，間接地反映出事物與事物之間的聯系，而方程的思想則可以使函數的思想得到更加具體的表達，這是一種辯證統一的關系。本文將簡單介紹一下方程與函數，重點舉例證明運用函數與方程的思想解決學生在學習生活中涉及的各個領域的實例，并重點介紹如：不等式、三角函數、解析幾何、二次項定理中的實際問題。希望能夠結合這些途徑培養自己運用函數與方程思想解題的能力。

1? ? 方程及其相關思想

1.1? 概念

含有未知數的等式叫作方程。

1.2? 類型

方程的類型包括很多，像在小學和初中接觸的，按照順序來分的話，就是一元一次方程，后來又學習二元一次方程和二元一次方程組，然后是一元二次方程。當然多元類型的方程本文不研究。

1.3? 相關思想

筆者認為，方程的思想與反證法相似，都是用逆向推理的形式，只不過反證法是把結論否定，然后驗證與題中已經知道的條件矛盾，而方程則是先設想要求解的結論為未知數，反向推進，然后得到一個含有未知數的等式，這個等式就是方程，而這個過程就叫作構造方程，求解的過程無需拓展。從上面的過程來看，筆者認為方程的思想就是運用逆向思維去尋找一個等量關系。

2? ? 函數及其相關思想

2.1? 概念

一般的，在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x，都有唯一確定的一個y和它對應，那么就稱x是自變量，y是x的函數。x的取值范圍叫作這個函數的定義域，相應y的取值范圍叫作函數的值域。

2.2? 幾種表示方法

（1）解析式法;（2）列表法;（3）圖像法;（4）語言敘述法。

2.3? 種類

大部分學生在初中開始接觸函數，下面是最基本的初等函數。

（1）三角函數：y=sin x等;

（2）指數函數：y=ax（a為常數，a>0且a≠1）;

（3）對數函數：y=logax（a為常數，a>0且a≠1）;

（4）冪函數：y=xa（a為常數）。

2.4? 相關思想

在學習過程中，無數次運用函數的思想去解決一些問題，到底什么是函數的思想呢？事實上，函數最大的便利就是可以利用數形結合的方式去解決問題，圖像是非常方便的一個方式。所以在分析函數問題時，會充分利用其自身的性質以及圖像來充當已知條件，運用數形結合，之后就類似于方程的步驟。所以筆者認為，函數的思想就是設一個新的函數，把想得到的結果轉換到另外一個函數上，以此來解決原有問題。在這里，轉化是關鍵，數形結合的轉化以及由一個函數轉化到另一個函數的過程極為重要。

3? ? 用函數與方程的思想解決實際問題

3.1? 用函數與方程的思想解決關于不等式類型的問題

例1? 當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，a∈R，求a的取值范圍。

分析：在這個題中有兩個未知量a和x，其中x∈R，另一個未知量a的范圍就是我們需要求的解，此時我們需要先把a和x拆開，這個過程我們叫它分離。

解：由分析可知，需要先移向項，a+cos2x<5-4sin x+等價于a+cos 2x<5-4sin x+，所以只需-a+5永遠大于4sinx+cos2x的max值即可。因此，這道題成功地被轉化成為求f（x）=4sinx+cos2x的max值問題。

f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，所以-a+5>3，即>a-2，則可以歸納出或，解得。

3.2? 用函數與方程的思想解決關于解析幾何類型的問題

解析幾何這類問題接觸的很多，其思路就是將曲線所表達的解析式看作一個函數的表達式。例如中考的最后一道大題，往往都是動點、動直線的問題，有函數與方程的思想能很方便地解決這類題。

例2? 設雙曲線C：與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B。

求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

設曲線l與x軸的交點為P，且，求a的值。

解：（1）由C與l相交于兩個不同的點，

所以可以建立一個方程組 有兩個不同的實數解，消去x，整理得：，①

因此得

解得，

所以雙曲線離心率，

因為，

所以，

即離心率e的取值范圍為。

（2）設（x2，y2）， A（x1，y1）， B（x2，y2）， P（1，0），

因為，

所以

由此得：。

由于y1，y2都是方程①的根，

且1-a2≠0，，，

消去y2，得，

由a>0，所以。

3.3? 用函數與方程的思想解決關于二項式定理類型的問題

一般來說，與二項式定理相關的函數形式一般為f（x）=（a+bx）n（n∈N）*，中學階段就接觸過，它與函數相輔相成，由此找到需要的數據和規律來解決問題。

例3設f（x）=（1+x）a+（1+x）b，其中（m∈N*，n∈N*），它的展開式中x的系數和為19，求f（x）中x2項系數的最小值。

解：由題可知，

a+b=19，整理得a=19-b，

則f（x）中x2項的系數為

，

因為b∈N*，

故b=9或b=10時，

f（x）中x2項系數取得最小值，

最小值為81。

注意：充分運用二項展開式的通項公式，把x和x2項的系數轉換為a，b的關系式，由此可以將x2項的系數轉換為a或者b的二次函數。

4? ? 結語

我們應該熟練掌握如何運用函數與方程的思想解決不同的類型題，分別為：不等式、三角函數、解析幾何、二項式定理，并且每種方法都有詳細的介紹、舉例、解析和總結。這樣就可以從題中所給條件以及題目不同種類，選擇不同的解題方式，這些類型題都在不同的方向上運用了函數與方程的思想。因此，學習本文，就可以更好地運用函數與方程的思想解題。

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