探尋世界的秩序與模式

新原理

制約宇宙的定律是否允許我們準確地預測到將來會有什么發生在我們身上？《十問：霍金沉思錄》中寫道，“簡短的回答既是否定的，也是肯定的。在原則上，定律允許我們預測未來。但在實踐中，通常計算都太難了。”我們能夠預測未來嗎？這是一個許多人都在試圖回答的問題。量子力學的奠基人之一玻爾曾說過：“預測任何東西都是極其困難的，尤其是關于未來。”能解釋事物如何變化是我們預測事物的關鍵。變化往往是緩慢的，比如在生物學的進化系統；有時變化又非常快，比如火山爆發。在某種意義上，兩者都是可預測的事件。難以預測的是突然的變化——比如一個看似穩定的系統突然發生災難性的變化。關于預測，有一個在哲學上似乎矛盾的問題，那就是：我們能否預測不可預測的事？或許，數學能幫我們回答這個問題。

我們能預測未來嗎

這個宇宙是全然隨機的嗎？還是說它具有某些秩序與模式？很顯然，大自然背后的確存在著基本的模式。正是因為意識到了這一點，人類才走上了通往現代化的道路。可以說，科學所尋找的正是宇宙的秩序與模式。而數學不僅是這些模式的基礎，它還為我們提供了一種描述宇宙的方法。如果你仔細觀察，你就能看到在我們的周圍充滿了秩序與模式。例如雪花就是一個例子，雖然每一片雪花都不一樣，但它們都有著精確的六倍對稱。自然界中遍布著高度規律的模式，我們早已習以為常，卻鮮少停下來去思考它們為什么存在。然而，無論是雪花的形狀，還是晶體的原子排列，又或是巖石的折疊，它們背后都有著非常基本而又了不起的成因。更令人驚嘆的是，一些偉大的頭腦觀察到了恒星和行星運動的秩序和模式，從而打開了通往現代世界的大門。在這里，有一位不得不提的科學家，那就是伽利略。1581年，伽利略在比薩大教堂中觀察青銅吊燈的擺動時，他意識到吊燈的擺動是受可預測的規律支配的。他發現在氣流影響下晃動的吊燈，無論其擺動的幅度如何，來回擺動一次所花的時間都是一樣。然后，他用自己的脈搏來計時，在家里用大小不同但長度相同的鐘擺來進行試驗。最終證實了鐘擺的擺動時間并不取決于它的大小，也不取決于它的位置，只取決于它的長度。從此，鐘擺的擺動成了可預測的信息。不過當時的伽利略并不知道為什么會是這樣，在他去世后不久，另一位偉大的科學家誕生了，那就是牛頓。牛頓發現了許多隱藏在宇宙模式背后的定律，而且還發明了微積分等數學技術，這為我們理解宇宙的基本定律提供了重要工具。牛頓用他的三大運動定律清楚地描述了運動物體的運動方式。這些定律全部可以用數學來描述，特別是微分方程，可以精確地描述運動如何隨時間演化。利用微分方程在動力系統理論中所起的核心作用，最終可以得到鐘擺的長度（l）與擺動周期（T）之間的精確數學關系：如果鐘擺的長度l=1m，那么T=2.00607，其中g=9.81ms-2。這與伽利略的觀測完全吻合。牛頓成功地將運動規律轉化成了數學，然后用數學的解來預測系統在未來的行為。這為理解宇宙的一般方法提供了一個思路，這是一個真正的開創性想法，是科學發展史中轉折性的時刻。

在數學的幫助下，天文學家發現了海王星。這個巨大的勝利給了數學家們莫大的信心，這表明通過將觀察到的宇宙模式轉化成數學，就可以對未知事物的存在做出預測。到了1860年，麥克斯韋通過將法拉第的電和磁定律寫成數學方程再求解之后，預言了電磁波的存在。現在，我們預測未來天氣也有著類似的工作原理，我們會利用當天的天氣，然后求解納維—斯托克斯大氣運動方程和熱力學方程以觀察大氣的演變。這些都是復雜性極高的方程，需要用計算機才可以求解。目前，我們已能夠足夠精確地完成這些計算，以較高的精度預測未來的天氣。事實上，人類的行為本質上是不可預測的，我們能夠行使自由意志。不可預測也發生在物質世界。比如我們無法準確預測10天之后的天氣，同樣我們也很難預測氣候現象，厄爾尼諾南方濤動現象（ENSO）就是一個很好的例子。不可預測性的無處不在似乎與拉普拉斯預測的有序宇宙相矛盾。伴隨著牛頓定律在預測未來方面上的許多成功案例，我們不禁要問這樣一個問題：我們在自然界中看到的許多不可預測性真的是因為自然界的復雜性和無法解釋性導致的嗎？還是說，看似不可預測的行為實際上能從受牛頓定律支配的系統中產生？

混沌行為

我們可以通過一個相對簡單的系統來回答這個問題，那就是雙擺系統。雙擺系統是由兩個單擺耦合在一起形成的，它是伽利略對單擺研究的延伸，顯然，這個系統也受牛頓運動定律的支配。這個系統只有兩個運動的部分，即上半部分的單擺和底部的單擺，每個部分都有位置和角速度這兩個變量。因此這個系統可以簡化為4個自由度。這比有著數十億個自由度的天氣要少得多。但即便如此，雙擺的行為仍然非常復雜，我們可以將它的運動劃分為3類。如果上半部分和下半部分的單擺以較小的角度被拉到同一邊，那么它們會像單擺一樣以規律的方式同步擺動；如果這兩個部分以較小的角度被拉向相反的方向，那么當它們被釋放時則會繼續朝著相反的方向運動，這種異相的運動會一直周期性地持續下去。最后，如果我們給鐘擺一個大大的擺動，那么雙擺將以一種最不穩定的幾乎隨機的方式運動。這樣的運動已經完全不符合我們前面所描述的可預測性，而是成了混沌運動。可能有人會說這種混沌運動之所以看似隨機，是因為雙擺只是對隨機氣流做出反應。然而事實卻并非如此。根據牛頓運動定律，我們可以用一對耦合的非線性二階常微分方程來描述這樣一個雙擺系統的運動：θ：角度，l：長度，m：質量。如果夾角較小，則可以用線性逼近，對系統進行精確求解，預測上述的同相和異相行為。但如果夾角很大，則只能使用計算機來進行數值求解了。在完全基于牛頓運動定律的基礎上，計算機可以給出與物理系統完全相同的行為，這表明混沌行為確實可以作為牛頓方程的解存在。

那么我們應該如何定義混沌行為呢？數學家Chris Budd將其描述為：混沌運動是一種復雜、不規則且不可預測的行為，它產生于一個“簡單”的系統，可以用“簡單”的數學定律進行精確地描述。混沌運動的一個關鍵特征在于它們對初始條件的敏感性，兩個非常接近的初始狀態會以非常不同的方式進化，然后產生混沌。這種現象有一個通俗易懂的名字——蝴蝶效應。蝴蝶效應的概念引發了公眾的無限想象，它表明即使是微小的變化也會對未來產生巨大的影響，這種觀點似乎能與我們對宇宙如何運行的一些看法產生共鳴。這種混沌行為存在于許多物理系統中。比如在一張混亂的臺球桌上，臺球在桌子上撞來撞去，它們的運動模式是高度復雜的，然而就像雙擺一樣，它產生于非常簡單的運動定律。這個場景在光學、聲學以及高頻WiFi中都有非常實際的應用。就拿WiFi來說，我們很難預測一個房間內的WiFi的覆蓋強度，這意味著真正的混沌行為無處不在。“然而，在實踐中，我們預測未來的能力受限于方程的復雜性以及它們通常具有稱為混沌的屬性這一事實。”《十問：霍金沉思錄》如是寫道。

混沌理論

混沌理論起源于洛倫茲在1963年發表的一篇論文，當時他正在試圖研究大氣的運動。經過大量簡化之后，他將系統簡化為3個常微分方程。在20世紀60年代以前，要準確地解出這個方程組是不可能的。但之后快速數字計算機的出現，使求解成為可能，其結果讓洛倫茲非常驚訝。他得到的結果并沒有出現他以為會出現的周期行為，而是以一種不穩定的方式出現，他稱之為混沌。20世紀60年代發現的混沌在當時引發了很大的轟動，它吸引了許多學者的關注，也掀起了大眾媒體對此的報道熱情，其中還包括大量的炒作。不過，混沌動力學的發現其實發生在更早的時候，它的發現很大程度上要歸功于偉大的法國數學家龐加萊。當時，龐加萊正在研究太陽系的穩定性。我們知道，如果一顆行星繞著太陽旋轉，那么它的運動是周期性的，而且可以用牛頓定律精確地預測出來。然而，龐加萊證明了一個由3個質量相似的物體組成的系統在萬有引力作用下只會在不規則軌道上運動。我們很難看出洛倫茲系統中的混沌行為是如何產生的，許多數學理論在一開始時都很抽象，你很難想象它的用途，但它們卻能在后來成為科學和技術的核心。混沌理論就是很好的例子。洛倫茲在20世紀60年代的工作在很大程度上都是理論性的，但人們很快意識到，許多物理系統確實有非常混沌的行為。許多其他重要系統也被認為是混沌的，比如天氣、汽車尾氣、電力供應系統、摩擦剎車、氣候變化、WiFi、腦電圖信號、心電圖信號以及小行星的運動等。混沌理論使我們能夠理解、測量，并在某些情況下控制這些混沌系統表現出的不確定性行為。現在我們認識到，混沌行為是由復雜的、非線性的、確定性過程控制的任何事物的自然模式的一部分。小行星就是一個很好的例子，它們有著非常復雜的軌道，這是我們必須理解的事實，否則我們可能無法預測小行星是否以及何時會撞擊地球。從這個角度看，混沌理論在拯救人類方面還具有至關重要的意義！當然混沌還有一些不這么聳人聽聞的應用。例如，混沌理論在計算機圖形學中扮演著越來越重要的作用。混沌理論幾乎有著無限的應用，雖然它帶來的似乎是混亂和不可預測性，但它卻是我們理解世界的一種至關重要的方法。