基于遞推法的空中加油模型

彭楊楊 陰香陵 朱英豪

摘 要：文章基于多方案比較建立相對安全的空中加油模型，研究救援小島上飛機加油策略。為了讓任務飛機盡可能地飛的遠，引入作戰(zhàn)半徑，根據(jù)伴隨加油和接應加油的兩種方式建立加油方案。

關鍵詞：作戰(zhàn)半徑；數(shù)學歸納；遞推法；空中加油

中圖分類號：V323文獻標識碼：A

1 空中加油方案

現(xiàn)有一架輕載飛機和眾多相同信號的加油飛機，為保證輕載飛機成功抵達小島并能夠返回基地，加油飛機需要在空中將自己的燃料分給任務飛機。為使任務飛機能夠飛行的最遠，需要利用加油飛機不斷給任務飛機加油，使它盡可能地滿載，直到它能夠獨自完成剩下的所有航程。在這里，引入作戰(zhàn)半徑，即作戰(zhàn)飛機任務完成后返回出發(fā)地所能達到的最遠單程距離。

1.1伴隨機模型

在這種情況下，所有的輔機與主機一起出發(fā)，在前往小島的過程中給主機加油。最終，主機能夠獨自返回基地，油量全部消耗完。當n架伴隨機陪同主機飛行時，存在著n個最優(yōu)加油點，每一個加油點均有一架輔機給其它所有的飛機加油后返回[1]。具體如下：當所有飛機到達第一個最優(yōu)加油點時，第一架輔機C1給主機和其它n-1架輔機加油，使每一架飛機的油量達到最大值，最后C1所剩下的油量恰好能使它飛回基地。以此類推，當?shù)竭_最后一個加油點時，最后一架輔機Cn給主機加滿油后恰能利用剩余的油量飛回基地。

將小島用F表示，基地用E表示。設L為輔機能飛行的最遠距離，經(jīng)改裝后的加油機能承載的最大油量為a，則主機能承載的最大油量為0.91a。當伴隨機和主機出航時，最佳加油位置分別為b1，b2，…，bn；當飛機們到達b1后，為使被輔機C1加油后的主機和其它輔機的油量都達到滿載，且輔機C1剩下的油量能夠支撐它順利返回基地，經(jīng)計算可以得知，b1為距離基地1/（n+2L）處。當剩下的n架飛機飛行到第二個最佳加油位置時，第二架輔機開始為主機和其它n-2架輔機加油[3]，此時各飛機消耗油量均為ba/L。以此類推，當飛機們抵達第3個最佳加油位置時，第3個輔機C3需要滿足的基本條件為：

[1-（n-1）b32/L]a≥ab32/L+ab21/L+a/x （1）

所以當b32也等于L/（n+2）時，輔機C3恰好能返回基地。于是可以猜想最佳位置b1，b2，，bn之間，相鄰兩個位置的間距均相等，始終為L/（n+2）。

假設b1，b2，，bn是等差數(shù)列，公差為L/（n+2）。當飛機們抵達第k個最佳加油位置時，第k個輔機Ck給主機和其它輔機加滿油后返回基地。而在bk+1處，輔機Ck+1給剩下的n-k架飛機都加油所消耗的油量為b（k+1）ka/L。

故為了讓輔機Ck+1能夠最大限度地加油所需要滿足條件為：

[1-（1+n-k）a/（n+2）]a=[b（k+1）k+kL/（n+2）]a/L （2）

解上面的方程可以得到b（k+1）k=L/（n+2），所以假設成立，相鄰兩個最佳加油位置之間的間距均為L/（n+2），得知各輔機依次加油的位置以后，可以得到主機在n次加油后恰好能夠返回基地時的其它信息，如下：

1）主機加油總量：na/（n+2）

2）主機耗油總量：na/（n+2）+0.91a

3）主機最大作戰(zhàn)半徑：（1.91n+1.82）L/2（n+2）

4）主機作戰(zhàn)半徑的增加值△r：nL/2（n+2）

在這種輔機全部做伴隨機的情況下，主機在出航的過程中不斷被輔機補給油量以維持它能夠獨自返航回到基地。當有n架輔機時，我們得到了主機的最大作戰(zhàn)半徑與輔機數(shù)量和輔機能承載的最大油量a之間的關系為：

r=n（1.91n+1.82）L/2（n+2） （3）

所以當輔機的數(shù)量和輔機能飛行的最大航程已知后，主機在能夠安全返回基地的基礎上，可以飛出的最遠距離就可以求解出來。

1.2接應機模型

在這種情況下，m架輔機從基地出發(fā)去接應返回的主機，在返回的路上給主機加油，使主機恰好抵達基地。具體為：當?shù)谝慌_輔機Am與主機相遇時，主機的油量恰好用完。此時輔機Am將自己剩余油量的一半分給主機，再與主機一起返航。當?shù)诙_輔機Am-1與主機相遇時，主機和Am的油量恰好用完。此時輔機Am-1將自己剩余油量分為相等的3份，給主機和Am加油后與它們一同返航，以此類推。

在這里采用逆推的思想，當最后一架接應機A1與主機和其它m1架接應機在d1處相遇時距離基地為1/y，此時接應機A1給其它飛機加油后，它和這些飛機的油量均為（1-y）a/y（m+1）。只有當y =m+2時，飛機恰好都能飛回基地，故最后一個加油位置b1距離基地的距離為L/（m+2）。當輔機A2到達加油點d2時，主機和其它m2架輔機剩余油量均為0，所有飛機距離基地為1/（y+d），此時加完油后每架飛機油量均為（a-a/y-ad/L）/m，只有當d=L/（m+2）時，主機和其余m-1架恰能到達最后一個加油位置。根據(jù)輔機全部做伴隨機的情況，同理可證明所有相鄰兩個最優(yōu)加油位置之間的間隔均為L/（m+2），所以這m個加油位置的表達式如下：

dj=jL/（m+2） （j=1，2，3，...，m） （4）

得知各輔機依次加油的位置以后，可以得到主機在m次加油后恰好能夠返回基地時的其它信息，如下：

1）主機加油總量：ma/（m+2）；

2）主機耗油總量：（1.91m+1.82）a/（m+2）；

3）主機最大作戰(zhàn)半徑：（1.91m+1.82）L/2（n+2）；

4）主機作戰(zhàn)半徑的增加值△r：mL/2（m+2）；

在這種輔機全部做接應機的情況下，主機在返航的過程中不斷被輔機補給油量以維持它能夠返回到基地。當有m架輔機時，得到主機的最大作戰(zhàn)半徑與輔機數(shù)量之間的關系為：

r=（1.91m+1.82）L/2（n+2） （5）

所以當已知作戰(zhàn)半徑的需求以及輔機能走的最遠航程L后，就可以求解出需要安排多少架輔機接應主機返航。

參考文獻

[1] 戚晨皓，翟建鋒，鄒建宇.飛機空中加油問題的研究[J].數(shù)學的實踐與認識，2006，36（7）：88-100.

[2] 孫金標，施克如，王克格.空中加油問題的最優(yōu)化研究[J].飛行力學，2000，18（4）：10-13.

[3] 孟暉，白華利，盧軍， 等.空中加油問題[J].數(shù)學的實踐與認識，2006，36（7）：72-87.