變上限積分函數理解水平調查研究

何青玉 陳建華

摘要：變上限積分函數的誕生及原函數存在定理的發現是微積分學科建立的標志.本文基于SOLO分類評價理論，以某獨立學院非數學專業大一學生為調查對象，通過測試調查學生對變上限積分函數理解的水平，提出若干教學建議.

關鍵詞：變上限積分函數；原函數存在定理；SOLO分類評價理論

中圖分類號：O172；G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2019）03-0007-04

1.2 SOLO分類評價理論簡介

SOLO分類評價理論是由教育心理學教授比格斯（J.B.Biggs）在皮亞杰認知理論基礎上發展而來的一種學生學業評價方法，是一種以等級描述為特征的質性評價方法.該理論通常將學生的學習結果分為前結構水平、單元結構水平、多元結構水平、關聯結構水平和拓展抽象水平等五個水平，并給出各個水平段學生表現的思維特征.前結構水平（Prestructural）是指學習者只是簡單地考慮了問題，或者對問題基本沒有理解.單元結構水平（Unistructural）是指學習者對題意有了一點理解，且僅能從某一方面來回答該題.多元結構水平（Multistructural）是指學習者對問題有了更多的理解，能夠從幾個相關的方面來回答該題，但這幾個方面相互獨立，或者解題的基本方法已經掌握但在解題過程中出現了失誤.關聯結構水平（Relational）是指學習者能夠整體把握出題者的意圖，基本給出正確的解題過程.拓展抽象結構水平（Extended Abstract）是指學生不僅對問題有了整體的把握，還可以將問題進行抽象概括，使之適用于新的問題情景.近年來，SOLO分類評價理論受到了教育研究者的廣泛關注，被運用于基礎教育的許多課程的教學研究、試題評價研究.

2 變上限積分函數理解水平分析

2.1 測試卷的編制

根據SOLO分類評價理論，結合日常教學和調查對象的實際情況，鑒于只有極少數學生能達到拓展抽象水平.因此，根據SOLO分類理論將調查對象對變上限積分函數理解水平劃分為四個水平：P水平（前結構水平），U水平（單元結構水平），M水平（多元結構水平），R水平（關聯結構水平）.據此設計測試問卷.

測試目的：主要考查學生在學習了定積分內容后，對變上限積分函數的理解處于什么水平.問卷包含一道選擇題和五道解答題，其中選擇題包含6個關于變限積分函數命題的判定，用來初步了解不同水平等級的人數分布情況；解答題分別設計了簡單應用（題2）、綜合應用（題4和5）和理解（題3和6）等五道題.

2.2 測試對象的選擇

問卷調研對象為本科層次的某獨立學院大一新生，測試時間安排在學生已經學習原函數存在定理及定積分的相關計算之后.測試共發放問卷170份，回收170，其中有效問卷167份.

2.3 測試結果分析

關于測試題6，有46.1%的學生看到此題為復雜型變限積分函數的求導，且變限積分為抽象關系，而無法下手，或完全沒有對策，這部分學生計入前結構水平，在數據統計表中用P表示.對變限積分函數有求導意識，但僅單純利用原函數存在定理，直接代入求導，卻沒有意識到具抽象關系的變限積分函數中自變量尚不明確，這部分學生占42.5%，計入單元結構水平，在數據統計表中用U表示.有8.4%的學生能看出具抽象關系的變限積分函數中自變量比較復雜，并注意到被積函數中有因子t，意識到可利用因子t湊微分關系，得f（x2-t2）d（x2-t2），這部分學生計入多元結構水平，在數據統計表中用M表示.

統計數據顯示僅有3%的學生能夠在湊完微分關系后，發覺可利用定積分的第一類換元進行換元積分，或沒有進行湊微分，但能利用第二類換元及換限的方式，正確對此變限積分函數求導的，這幾位學生計入關聯結構水平，在數據統計表中用R表示.

測試題3和6同樣屬于理解級的問題，但測試結果顯示學生的理解差異較大.究其原因，主要是對變限積分求導問題的處理，學生從定積分性質、導數的四則運算法則的角度出發，考慮問題相對直接、自然，困難較小，故而有六成以上的學生能夠順利解決測試題3的求導問題，能夠達到多元結構水平及關聯結構水平，說明該階段學生能準確抓住變限積分的相關特征，并將這些特征聯系起來，從而形成解決問題的整體思維結構；而學生從湊微分、換元積分的角度出發，解決問題的應變能力就相對薄弱，有近九成的學生尚停留在前結構水平和單元結構水平，在處理變限積分的求導問題時不能聯系變限積分問題所涉及的定積分表征，產生思維混亂等表現，或僅表現為單一的變限積分求導能力，盲目地對求導問題下手，思維不清晰.

3 教與學的建議

第三，重視不同知識之間的聯系，重視審題、提升計算能力.為了深化對變上限積分函數的理解，“函數”的意義、作用、與相關知識的聯系等功能需要全面深入理解，在求變限復合函數的導數時，須結合復合函數求導法則進行求導；在求有涉及變限積分的極限問題時，可結合洛必達法則、重要極限公式及等價無窮小代換等常規手法進行求解；應用變限積分函數的求導來解決如函數的單調區間及極值、隱函數的求導及偏導數求解等相關問題.

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