幾何畫板輔助導(dǎo)數(shù)教學(xué)研究

李昌吉

摘要：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，是研究函數(shù)形態(tài)以及函數(shù)值近似計(jì)算的重要工具.利用幾何畫板輔助導(dǎo)數(shù)教學(xué)，通過(guò)動(dòng)態(tài)、直觀的展示函數(shù)平均變化率到瞬時(shí)變化率的變化過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)抽象導(dǎo)數(shù)定義以及導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解和掌握.通過(guò)信息技術(shù)輔助教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及數(shù)形結(jié)合思想方法研究問(wèn)題的能力，同時(shí)促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：幾何畫板；導(dǎo)數(shù)；教學(xué)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-260X（2019）03-0018-04

1 引言

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、凸性等性質(zhì)的重要工具，在日常生活中具有廣泛的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教材選修1-1和選修2-2中都設(shè)置了“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的模塊，在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)這一模塊的課程目標(biāo)均要求通過(guò)實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的變化過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要前提，如何使學(xué)生在變化率的基礎(chǔ)上理解導(dǎo)數(shù)概念，進(jìn)而了解導(dǎo)數(shù)在研究事物變化快慢和函數(shù)形態(tài)等問(wèn)題中的重要作用是導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺(tái)，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源.因此，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)方式.[1]信息技術(shù)在帶來(lái)新的教學(xué)理念和教學(xué)模式的同時(shí)，教育也需要順應(yīng)這種變化[2].幾何畫板是一種易于操作且功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，非常適合在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中使用.筆者結(jié)合幾何畫板的特點(diǎn)探討其在中學(xué)導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用.

2 幾何畫板輔助導(dǎo)數(shù)教學(xué)

2.1 刻畫平均變化率

2.2 刻畫瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)的幾何意義

高中數(shù)學(xué)關(guān)于極限的運(yùn)算并不像高等數(shù)學(xué)中講述的那樣細(xì)致全面，學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容之前，幾乎沒(méi)有學(xué)過(guò)極限的相關(guān)計(jì)算，因此教學(xué)中對(duì)瞬時(shí)變化率的刻畫，可更多地借助幾何畫板來(lái)直觀地演示，待學(xué)生有了一定的極限計(jì)算基礎(chǔ)，再通過(guò)極限運(yùn)算來(lái)驗(yàn)證和求解瞬時(shí)變化率.在幾何畫板中拖動(dòng)點(diǎn)T多演示幾遍，即使學(xué)生的基礎(chǔ)和想象力差一點(diǎn)，也會(huì)對(duì)這一從平均變化率到瞬時(shí)變化率的變化過(guò)程有一個(gè)直觀而又深刻的感受.如果不借助信息技術(shù)工具，僅靠黑板加粉筆的傳統(tǒng)教學(xué)方法是很難體現(xiàn)這種從平均變化率到瞬時(shí)變化率的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

2.3 函數(shù)過(guò)某點(diǎn)的切線

學(xué)生初學(xué)導(dǎo)數(shù)時(shí)容易混淆函數(shù)過(guò)某點(diǎn)的切線和函數(shù)在某點(diǎn)處的切線這兩種說(shuō)法.函數(shù)在某點(diǎn)處的切線，包含著該點(diǎn)就在函數(shù)圖像上，且該點(diǎn)是切點(diǎn)的含義.函數(shù)過(guò)某點(diǎn)的切線則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，或者不一定在函數(shù)圖像上.為使學(xué)生較好地區(qū)分這兩種情況，幾何畫板中，以三次函數(shù)y=x3-3x+2為例，通過(guò)另一動(dòng)點(diǎn)C向點(diǎn)P（-2，0）趨近，容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在點(diǎn)P處的切線只有唯一一條（i1），如圖3所示.

若是過(guò)點(diǎn)P（-2，0）作函數(shù)圖像的切線則在上例的基礎(chǔ)上還多了一條切線PD即x軸，這是函數(shù)在點(diǎn)D（1，0）處的切線，一共可以作出兩條切線，如圖4所示.

在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考，若是過(guò)點(diǎn)M（2，0）作函數(shù)的切線可以作幾條，在幾何畫板中通過(guò)演示可得到3條切線（j1，j2，j3），如圖5所示.和關(guān)于曲線和切線的相對(duì)位置，由于圓或橢圓等曲線的位置完全位于其切線的同側(cè)，受先前數(shù)學(xué)知識(shí)的影響，很多學(xué)生對(duì)圖4，圖5中三次函數(shù)的切線與函數(shù)本身相交會(huì)感到困惑，結(jié)合圖像，再次引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的切線是由割線逼近生成的過(guò)程，讓學(xué)生區(qū)分和掌握這兩種作切線的方式.

2.4 數(shù)形結(jié)合驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)公式

對(duì)于二次函數(shù)、三次函數(shù)等多項(xiàng)式函數(shù)以及其他類型的函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在幾何畫板數(shù)據(jù)菜單中有定義導(dǎo)函數(shù)功能，可直接求出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可由此驗(yàn)證利用導(dǎo)數(shù)定義法計(jì)算所得的導(dǎo)數(shù)公式是否正確.

以上例子較為簡(jiǎn)單，易于學(xué)生理解，可以借此讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論從特殊到一般，從猜想到驗(yàn)證的產(chǎn)生過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生積極動(dòng)手，主動(dòng)學(xué)習(xí)的能力，理解函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想方法的精妙.

2.5 導(dǎo)數(shù)不存在的典例

函數(shù)導(dǎo)數(shù)不存在的例子作為導(dǎo)數(shù)存在的反例并給出，其目的是引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析和解決問(wèn)題，拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生更深刻地理解導(dǎo)數(shù)概念的要素和本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生辯證分析問(wèn)題的能力.

3 結(jié)論

現(xiàn)代信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用日益廣泛，信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的整合對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生著深刻的影響.幾何畫板作為一種動(dòng)態(tài)的演示工具，在實(shí)現(xiàn)快速精準(zhǔn)作圖的同時(shí)，還能將傳統(tǒng)教學(xué)中靜態(tài)的知識(shí)以動(dòng)態(tài)地、連續(xù)變化地、有效地方式展示給學(xué)生，將教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)有效地化解，使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)等概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷由靜至動(dòng)，由特殊到一般的發(fā)生、發(fā)展直至最后水到渠成的過(guò)程，充分感受函數(shù)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合思想的重要性，并由此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.借助幾何畫板很好地深化了學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識(shí)，改善了課堂教學(xué)的環(huán)境和效果.

我國(guó)《中小學(xué)教師教育技術(shù)能力標(biāo)準(zhǔn)》（2014版）以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）明確指出現(xiàn)代信息技術(shù)對(duì)教師專業(yè)發(fā)展的重要作用.信息技術(shù)一方面促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，另一方面能極大豐富和提升教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)教師的信息技術(shù)能力，為教師專業(yè)發(fā)展提供有效的路徑.當(dāng)然信息技術(shù)作為一種教學(xué)輔助手段，在實(shí)際教學(xué)中要根據(jù)需要合理使用，教師應(yīng)加強(qiáng)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科整合的研究，提高教學(xué)有效性.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.83.

〔2〕陳娬.現(xiàn)代教育技術(shù)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.21.

〔3〕普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.3.