彈性波理論在簡支橋面板中的應用研究

梁 棟，鄒 軒

(1. 河北工業大學 土木與交通學院，天津 300401； 2. 河北省土木工程技術研究中心，天津 300401)

0 引 言

伴隨著京津冀一體化的快速推進，交通一體化已成為國家戰略的開路先鋒。經濟的快速發展對貨物運輸的需求日趨旺盛，這使得重載汽車的通行數量和頻次大幅增加。隨著單輛汽車荷載的增加，重載車輛過橋時，橋梁的動力響應會非常顯著。橋梁在長期的車輛荷載作用下會出現疲勞、開裂等問題，這些破損又會使其更易受到侵蝕，形成惡性循環，從而影響橋梁的正常使用。

如今，橋梁向著跨度和寬度越來越大、質量越來越輕、剛度越來越小的結構體系發展。汽車在橋梁所受荷載中所占比例也越來越大，車-橋耦合振動效應日趨突出。長期的車-橋耦合振動是導致結構發生損傷、甚至坍毀事故的重要原因。在以往的研究中，通常只關注順橋向的車-橋耦合振動對橋梁的沖擊效應所引起橋梁損傷，少有針對橫橋向進行相關研究。隨著橋梁朝大寬度多車道方向發展，由車-橋耦合振動所引起的橫向橋面損傷的事例也越來越多。因此，針對大寬跨比梁橋及汽車荷載的特點，需要開展汽車荷載在橫向橋面的非均勻梁中的強迫振動響應及其傳輸特性研究，研究成果將極大地豐富車-橋耦合振動這一科學問題的內涵。

對于車-橋耦合振動問題，在傳統的研究中，大多采用將橋梁簡化為順橋向的軸向簡支桿件[1]，然后在桿件上施加外力荷載，并以結構動力學為理論，列出相應振動方程和矩陣進行研究和求解[2]。這種研究方法，雖然可以解決車-橋耦合的某些振動問題，但卻存在一些不足之處：① 利用結構動力學振動方程來求解振動問題，需要列舉較多方程和矩陣，這使得在解方程時較為繁瑣；② 振動方程表達的是物體的狀態量，無法表示物體在某一時刻的瞬時狀態；③ 利用振動方程解決問題多是將橋梁簡化成順橋向桿件，卻無法得到橫橋向某點的相關物理量。

在工程實際中，有時在沒有電腦的條件下仍需要知道物體在某一時刻的瞬時量，這就需要利用較為簡便的計算公式來盡可能快速準確的計算出所需量值，而利用結構動力學振動方程無法做到快速準確的計算出結果。為解決以上問題，需提出新的計算方法。陳方培[3]曾對波動和振動二者之間的聯系做過一個通俗定義，即“波動是振動形態在介質中的運動過程”。為此，筆者將嘗試利用彈性波波動理論相關知識，給出相應的波動方程公式，討論其在簡支橋面板上的應用，并對橫橋面在外力作用下的振動響應進行相關計算。

1 二維波動方程的推導

由文獻[4]可知，在無限大的空間中，當體力為零時，在三維空間中的彈性均勻介質的位移滿足達朗貝爾方程：

(1)

考慮擾動區的初始位移u0和初始速度u′0t，結合方程(1)，對于不同彈性體內的任意一點M，它在t時刻的位移u可以由公式(2)給出：

(2)

如果將(2)看成是初值問題，則可得出初值問題方程組：

(3)

對三維非齊次波動方程，由振動波的推遲勢[5]可以得到：

(4)

此(4)式為三維非齊次波動方程。其相應的初值問題方程組為：

(5)

由此，可利用初值問題方程組求解空間彈性體某點在t時刻的位移u。

對于要研究的車-橋耦合振動對橋面的作用，由于波動存在于橋面板平面上，如果僅考慮橋面板在外荷載作用下的橋面振動情況，可以將振動波看成是在無限大的二維平面薄板上傳播。因此，可以將式(4)進行降維，得到二維非齊次波動方程。

由于在無限大的二維空間平面上，式(4)中u0和u′0t都是與z無關的函數，所以在球面上的積分可以化為平面z為常數的投影，即平面區域

(6)

上的積分。由于球面上的面積元ds和它的投影平面元素dαdβ之間有如下關系：

(7)

綜合式(3)、(6)、(7)，可以得到：

(8)

對(8)式，若采用極坐標對其進行代換，r=v(t-s),α=x+ρcosθ，β=y+ρsinθ。進一步有：

(9)

式(8)、(9)即為二維非齊次波動方程。其相應的初值條件方程組為：

(10)

2 算例分析

雖然通過對已知的三維波動方程進行降維，導出了振動波在平面上傳播時所需的二維波動方程。但是，實際上振動波在任何介質中傳播，都由于介質阻尼不可避免的產生損耗，導致振幅逐漸變小。

對于絕大多數橋梁的橋面板結構，其材料主要以鋼筋混凝土為主。從已有的實驗數據和文獻[6-7]中可知，振動波在混凝土材料(硬塑性的粘土和中密的碎石)中傳播的波動修正系數范圍通常在μ=0.375～0.625之間。因此，我們將式(10)加入波動修正系數后，變為：

(11)

根據前文所推導的二維波動方程，下面通過算例來介紹二維波動方程的應用。

如圖1，一塊輕質矩形的鋼筋混凝土彈性薄板，邊長分別為a=15 m，b=10 m。彈性薄板的彈性模量是3×e10Pa，剪切模量是0.3。板在x=0和x=15 m處沿著兩邊簡支，y=0和y=10 m處兩邊無約束。在彈性薄板上的一點(4,3)處施加一個豎直的正弦集中力f(35,10,t)=-sin2πtN。彈性薄板的初始條件是u(x,y,0)=0，u′t(x,y,0)=0，振動波在鋼筋混凝土板中的傳播速度為v=2 500 m/s，且振動波在彈性波板邊緣傳播時的波動修正系數μ=0.53。求距集中力l=5 m處板跨邊的一點(x1,y1)在0.5～5.0 s之間每間隔0.5 s時距平衡點的位移。

圖1 彈性薄板受力情況Fig. 1 Schematic diagram of force of elastic thin plate

由于矩形板是彈性薄板，當施加集中荷載后，板面任意點相對于初始平衡位置的位移可看作此刻板面在這一點的撓度。

由l=vt得知，當t=0.5 s時，此時以集中力為圓心，半徑為l=5 m的圓上各點已開始波動。由式(11)建立關于u的初始條件方程組：

(12)

將式(12)及其他相關條件帶入式(9)中，可得到：

(13)

觀察式(13)，可知等式右邊第1項和第2項均為零，故式(13)可化簡成：

(14)

對式(14)進行計算，可得：

u(x1,y1,0.5)≈-0.079 6

即(x1,y1)在t=0.5 s時的位移量。

然后，利用式(9)依次對其他時刻的質點位移進行計算，可得：

u(x1,y1,1)≈0.159 2，u(x1,y1,1.5)≈-0.238 7，

u(x1,y1,2)≈0.318 4，u(x1,y1,2.5)≈-0.397 8，

u(x1,y1,3)≈0.477 7，u(x1,y1,3.5)≈-0.557 0，

u(x1,y1,4)≈0.636 9，u(x1,y1,4.5)≈-0.716 2，

u(x1,y1,5)≈0.796 2

由此，由二維波動方程得出t=0.5～5.0 s時的質點位移量。

3 有限元驗證

3.1 有限元模型

利用有限元軟件ANSYS對上述算例進行建模，模擬鋼筋混凝土簡支板，由于驗證計算結果是否可靠。

建立一塊15 m×10 m矩形板的有限元模型。輸入命令流，選取殼單元shell 63，并設置彈性模量3×e10Pa，剪切模量0.3，劃分網格，建立矩形板[8]。然后，對兩個短邊邊界施加簡支約束，兩長邊不加約束使之為自由邊，將矩形板固定成簡支板。最后，將一個集中荷載施加于板上一個節點上。將集中荷載施加于80號節點上，如圖2。

圖2 簡支板有限元Fig. 2 Finite element diagram of simply supported plate

為得到施加荷載后簡支板上的一點在不同時間上的位移值，選取橫橋向距離受集中力點5 m的邊界點位置上10號節點進行分析。以0.5 s為周期，并根據ANSYS中plvar命令得出其在0.5～5.0 s之間的位移數據，見表1。

表1 10號節點位移Table 1 No. 10 node displacement

將表中的各項位移數據制作成對比圖，如圖3。

圖3 10號節點理論值和模擬值對比Fig. 3 Comparative diagram of theoretical and simulated values

3.2 數據分析

由表1和圖3，可以得到橫橋向的10號節點在不同時刻的位移情況。從折線圖可以發現，利用二維波動方程所計算的理論值趨勢與有限元模擬所得的振幅值趨勢是相同的，都是隨著時間的增長振幅逐漸增大。這是因為在板上始終施加一個正弦的周期集中力，隨著時間推移板上任意一點的能量相對于前一時刻會越來越大，因而簡支板上任一點的位移也就越來越大。

通過對理論值和模擬值的誤差分析，二者在同一時刻的位移值之間相差不到10%，通過查閱一些實驗規程要求，二者誤差屬于正常范圍。由此可驗證波利用動方程計算某一時刻的某點位移是合理的。

3.3 計算方法對比

經過與米靜等[9]、張英世等[10]傳統振動方程計算方法作對比后，可以發現由二維波動方程計算出的結果更加快捷，且任意時刻的板面振動情況都可以計算，因此利用二維波動方程作為計算橋面振動的方法是更加合適的。

4 結 語

通過對三維波動方程降維，導出適用于平面的二維波動方程。利用二維波動方程對算例進行計算后，又利用Ansys對算例進行有限元模擬，從而驗證二維波動方程計算的合理性。相較于使用結構動力學振動方程需要事先求解簡支板的振型函數和固有頻率，才能得出板的動力響應結果，使用二維波動方程能夠使計算更加快捷簡便，并且可以得到任意時刻板的振動情況。對于橫橋向方向橋面板振動研究，由以上驗證也可以得出利用二維波動方程計算的合理性。這就為研究橫橋向車-橋耦合振動對橋面的作用提供了另一種實用的計算方法，彌補了經典方法中結構動力學公式無法對橫橋向振動狀態進行較精確計算的不足。