基于射頻偏轉腔的束團長度測量系統

白 金，陳曲珊，樊寬軍

(華中科技大學 強電磁工程與新技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074)

束團長度是高性能電子加速器束流參數的重要指標之一，尤其是在自由電子激光領域，往往需要通過相位調制、磁壓縮等技術來獲得亞ps級的超短電子束團，從而提高自由電子激光的增益和亮度。因此，束團長度測量對了解此類機器的運行狀態、優化運行參數有重要意義。目前，針對超短電子束團長度測量的方法主要有相干輻射光譜法、條紋相機法、射頻偏轉腔測量法等[1-3]。偏轉腔測量法直接以束流本身為被測量信號，可實現單發測量，在穩定性和普適性上具有一定優勢，因而被各類加速器機構深入研究[4-10]。本文建立基于偏轉腔的束團長度測量系統的模型，對該模型的約束條件進行分析，為計算束團長度提供理論依據。采用粒子跟蹤軟件Parmela進行束流動力學模擬，根據仿真結果計算測量點的束團長度，驗證理論結果的正確性。

1 測量模型

圖1 偏轉腔束團長度測量系統模型Fig.1 Model of bunch length diagnostic system based on deflecting cavity

偏轉腔對束團不同縱向位置的粒子施加不同的橫向踢力，使得束團的縱向長度與橫向偏轉角產生對應關系，偏轉腔束團長度測量系統的模型如圖1所示。電子束經過偏轉腔作用后，漂移至下游熒光屏上成像。若采用薄透鏡近似模型，偏轉腔的作用可由其中心產生的單次剪切力近似描述[2]。假設偏轉腔系統中腔體的縱向長度為D，腔體與電子槍之間的距離為D0，與熒光屏之間的距離為L。本文以駐波矩形腔為例，諧振模式為TM120模，工作頻率為2 856 MHz，依靠磁場對粒子進行偏轉?？杉僭O束團中心經過腔體中心時磁場相位為0(約定磁場作正弦變化)。利用偏轉腔束團長度測量系統的模型，通過測量熒光屏處(C點)的束團橫向尺寸倒推出偏轉腔出口處(B點)的束團偏轉角，再找到這一角度與偏轉腔入口處(A點)束團長度的對應關系，由此計算出束團長度。在實際測量中，需分別測量偏轉腔在工作狀態(on)和非工作狀態(off)時熒光屏上的束團橫向尺寸[11-13]。

1.1 A點到B點

偏轉腔出口處粒子的工作狀態可用入口處粒子的工作狀態來表示。根據束流傳輸理論和偏轉腔工作原理，可將偏轉腔的傳輸矩陣Rd表示為：

(1)

束流矩陣的變換關系可表示為：

(2)

其中：σ0為束團進入偏轉腔前的束流矩陣；σ為束團經過1個束流傳輸元件后的束流矩陣。記束流傳輸矩陣元為σmn，并用上標A、B、C表示不同位置處的束流矩陣參數，用上標on和off分別表示偏轉腔工作狀態與非工作狀態時的束流矩陣參數。由式(1)、(2)可得到:

(3)

(4)

(5)

當偏轉腔處于非工作狀態時，整個腔體等效為長度為D的漂移段，根據束流傳輸理論，其偏轉方向的傳輸矩陣RL可表示為：

(6)

則由式(2)、(6)可得到：

(7)

(8)

(9)

由以上關系可知，B點的粒子狀態可用A點的粒子狀態表示，所研究的問題則可轉化為求解B點粒子狀態和C點粒子狀態之間的關系。

1.2 B點到C點

從B點到C點的距離為L，其傳輸矩陣同式(6)。根據式(2)可得到：

(10)

當偏轉腔處于非工作狀態時，熒光屏上束流矩陣參數有相似的表達形式：

(11)

用式(10)減去式(11)可得到：

(12)

將式(3)～(5)、(7)～(9)代入式(12)得到(一般的束團滿足σ15=σ25=0)：

(13)

將熒光屏上測得的偏轉方向上的束團橫向尺寸與偏轉腔入口處束團的縱向長度建立聯系，只需解得偏轉腔傳輸矩陣中的矩陣元R25，即可求出束團的長度。可由束流傳輸理論得到偏轉腔處于工作狀態和非工作狀態時，束團產生的偏角之差Δy′為：

Δy′=R25σz

(14)

其中，σz為束團縱向尺寸的均方根值。這一偏角差值可用橫向動量與縱向動量的比值表示為：

(15)

其中：p⊥為束團橫向動量；pz為束團縱向動量；q為粒子電荷量；k為偏轉場的波數；c為自由空間中的光速；Vd為偏轉電壓有效值；φ為束團中心在經過腔體中心時的相位。當滿足λ遠大于σz且φ=0時，利用式(13)～(15)可推導出束團長度σt計算公式為：

(16)

其中，ω為偏轉場的角頻率。根據束流傳輸理論，束團長度的測量公式也可表示為：

(17)

其中，σon和σoff分別為偏轉腔處于工作狀態和非工作狀態時偏轉方向上的束團橫向尺寸。

(18)

在分析過程中，用到4個近似條件:1) 初始束團z方向與x方向無耦合關系(σ15=σ25=0)，這一條件在一般束團中均能得到滿足；2) 認為束團在經過偏轉腔后，其能量偏差項對其偏轉方向無影響(R16=R26=0)；3) 束團中粒子的縱向位置的不同不會對偏轉方向上的偏移造成影響(R15=0)，實際上，這一參數是粒子相位φ的函數，當φ=0時，R15恒等于0；4) 自由空間中的波長λ遠大于束團長度，當工作頻率為2 856 MHz時，波長約為105 mm，而一般所測的束團長度都在10-1mm量級，這一條件也可滿足。

2 矩形單腔體優化

圖2 腔體與耦合器連接模型Fig.2 Connection model between cavity and coupler

本文設計的目標是在束流能量為10 MeV、初始束團橫向尺寸為0.3 mm、偏轉腔測量系統長度小于1 m、饋入功率不高于1 MW時，偏轉腔系統的時間分辨率優于200 fs。根據式(18)，可計算出所需的偏轉電壓至少為1.1 MV。在三維電磁場仿真軟件CST中建立矩形偏轉腔模型并進行仿真?？紤]到真實的偏轉腔應用場景，將圓倒角、束流管道、耦合器等對場分布有影響的因素考慮在內進行模擬。由于偏轉腔中依靠磁場偏轉束團，對束流不做功，也不存在束流負載效應，因而為了將微波功率更好地饋入到腔體中，耦合器的最佳耦合度應為1。耦合器與腔體的連接如圖2所示，耦合度主要通過修改耦合孔的尺寸進行調節。設定耦合孔的寬度為n，高度為m，由于耦合孔高度將影響連接處的機械強度，故綜合考慮后選擇m=1 mm。用CST進行仿真后發現，當n=10.16 mm時，反射系數最小可達-36 dB，對應的耦合度為1.05。確定偏轉腔結構后，通過選擇合適的功率源、偏轉腔與熒光屏距離等系統參數，來實現所需的分辨率[14-16]。優化后的偏轉腔束團長度測量系統參數列于表1。考慮到該系統的長度要求小于1 m，漂移段長度選擇L=0.8 m。當饋入功率為1 MW、諧振模式為TM120模、工作頻率為2 856 MHz時，最優的矩形腔腔體尺寸為120.59 mm×106.64 mm×47.25 mm，此時偏轉腔能達到的最大偏轉電壓為1.2 MV。根據式(18)，偏轉腔系統的時間分辨率可達182 fs，在理論上滿足設計要求。

表1 偏轉腔束團長度測量系統參數Table 1 Parameter of deflecting cavity bunch length diagnostic system

3 束流仿真

將CST仿真得到的電磁場數據導入Parmela后，即可進行粒子跟蹤。束團參數列于表2，圖3為當偏轉腔處于不同工作狀態時熒光屏上對應的束團橫向尺寸，在偏轉方向上，這一尺寸從0.3 mm增加到0.88 mm。根據式(17)，可計算得到初始的束團長度為504 fs，這一計算值與理論值之間有0.8%的誤差。

這里需要說明的是，在進行束流動力學模擬的過程中，發現當束團中心參考粒子相位設置為理想相位后，下游熒光屏上得到的束團仍有一段較小的橫向偏移。通過研究偏轉場對粒子的作用過程發現，參考粒子在通過駐波偏轉場時，不同縱向位置處的場相位不同，雖然在理想相位下注入可保證參考粒子通過偏轉腔后的橫向動量增量為0，但橫向位置偏移不為0，該偏移在束團下游漂移過程中也一直存在，但由于這一較小的偏移對束團橫向尺寸的測量幾乎沒有影響，因此可忽略不計。當束團注入相位為非理想相位時，計算所得束團長度與參考粒子偏離中心線距離如圖4所示。相位的偏差對熒光屏上束團橫向尺寸造成的影響可忽略不計，即此時計算得到的束團長度不會有太大誤差。但需注意的是，相位偏差會對參考粒子在下游熒光屏上的位置造成很大的影響，當參考粒子遠離束流中心線時，會給實際測量束團橫向尺寸帶來一定困難。

表2 束團參數Table 2 Bunch parameter

a——非工作狀態；b——工作狀態圖3 熒光屏上的束團橫向尺寸Fig.3 Transverse size of bunch on screen

圖4 束團長度與參考粒子偏離中心線距離Fig.4 Bunch length and reference particle off centerline distance

4 小結

本文通過建立基于RF偏轉腔測量電子束團長度系統的模型，從束流的角度對偏轉腔測量束團長度的理論進行推導，為束團長度的計算提供依據。用三維電磁場仿真軟件CST進行仿真，得到了最優的單腔腔體尺寸和最優的耦合器尺寸，偏轉腔測量系統的時間分辨率達到182 fs，滿足了設計要求。將仿真得到的場分布導入Parmela軟件中進行粒子跟蹤，分析了束團在熒光屏上產生橫向偏移的原因，驗證了理論結果的正確性。