平面曲線的雙切圓問題

孫建紅

（忻州師范學(xué)院五寨分院 數(shù)學(xué)系，山西 忻州036200）

本文是一個源于形狀識別的數(shù)學(xué)問題.在諸多的研究方法中，選擇平面內(nèi)簡單光滑閉曲線M作為研究對象.參考文獻(xiàn)［1-2］中給出了結(jié)論：曲線M（M的所有點(diǎn)）能被雙切圓恢復(fù)，則曲線是雙切圓切點(diǎn)的閉包.這里的問題是：對于平面上的一條光滑閉曲線和曲線上任一點(diǎn)是否一定存在一個切于此點(diǎn)和曲線上的別的點(diǎn)的雙切圓.參考文獻(xiàn)［3-5］中作者詳細(xì)地分析了以上問題，得出了與之相關(guān)的定理：對于平面上的一條光滑閉曲線和曲線上任一點(diǎn)一定存在一個切于此點(diǎn)和曲線上的另一點(diǎn)的雙切圓或雙切線.基于以上的討論，本文給出了平面曲線M的切割函數(shù)（曲線M與圓的一個切點(diǎn)和一個割點(diǎn)所確定的圓半徑的倒數(shù)）的定義并且進(jìn)行了擴(kuò)展；并利用切割函數(shù)的幾何意義對其進(jìn)行研究，得到了平面上簡單光滑閉曲線M存在雙切圓或雙切線的條件；并且在對切割函數(shù)討論的基礎(chǔ)上，對雙切圓進(jìn)行了更細(xì)致的研究，建立了切割函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與雙切圓之間的關(guān)系，從而得到了平面簡單光滑閉曲線存在最大和最小雙切圓的等價條件.

1 預(yù)備知識

定義1

定義2

在曲線上的每一點(diǎn)處定義伏雷內(nèi)標(biāo)架，先沿曲線（C）作它的單位切向量場然后按逆時針方向把繞切點(diǎn)旋轉(zhuǎn)則得到曲線（C）的單位法向量場于是得到了沿曲線的伏雷內(nèi)標(biāo)架場，對于這個伏雷內(nèi)標(biāo)架場來說，伏雷內(nèi)公式［6］277-287有如下形式：

其中：k（s）是平面曲線的相對曲率.

定義3

如果直線與曲線至少相切于兩點(diǎn)，則稱直線是曲線在該點(diǎn)的雙切線.

如果圓與曲線至少相切于兩點(diǎn)，則稱圓是曲線在該點(diǎn)的雙切圓.

由切線［7］的定義可得，曲線的雙切線一定是曲線的切線.

2 切割函數(shù)的定義

為了研究平面曲線的雙切圓，我們需要建立曲線與雙切圓之間的一個映射關(guān)系，這個映射就是文章的核心概念——切割函數(shù).

定義4

定義5

命題1

圖1 切割函數(shù)的幾何表示

我們進(jìn)一步對f（s0，s1）進(jìn)行分析：

其中：ξ在s0和s0＋Δs之間，k（s0）為曲線在p0點(diǎn)的相對曲率.，其中：k（s）為曲線在p點(diǎn)的相對曲率.11

因此，我們可以定義拓展的切割函數(shù)：

由以上計(jì)算得：

從而由拓展函數(shù)：

得到拓展的切割函數(shù)在（s0≠ml＋s1，m∈Z）有不相同的一階偏導(dǎo)數(shù).

3 切割函數(shù)的幾何性質(zhì)

在定義4和命題1中，我們給出了切割函數(shù)的概念，并且得出了切割函數(shù)與雙切圓半徑之間的關(guān)系.下面將對切割函數(shù)的幾何性質(zhì)做更進(jìn)一步的討論.

命題2

證明：直 線p0p1切 曲 線于等 價 于（s0≠ml＋s1，m∈Z），即）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），由此可得：f（s0，s1）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），因此，命題得證.

命題3

證明：∵p0≠p1?s0≠ml＋s0，m∈Z，∴直線p0p1切曲線于等價于＝0且＝0（其中為曲線在點(diǎn)處的單位法向量）等價于f（s0，s1）＝f（s1，s0）＝0.

命題4

又∵

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，曲線是閉合的，因此，F(xiàn)（s0，s1）在曲線上可取到最大值或最小值，當(dāng)f（s0，s1）＝0時，這樣的切線是存在的.由以上命題我們可得到：曲線存在雙切線p0p1（p0≠p1）的充要條件是或＝0且f（s，s）＝0.

01

命題5

證明：當(dāng)f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）時，圓C是存在的.

討論必要性：

由圓C與曲線切于點(diǎn)p1，可得

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，M 閉［277-287］，因此F（s0，s1）在 M-｛p0｝上可取到最大值或最小值.當(dāng)F（s0，s1）≠0（p0≠p1）時，這樣的點(diǎn)總會存在，充分性顯然.

命題6

當(dāng)f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）時，圓 C切曲線于點(diǎn)的充要條件是存在圓C與 M 的交點(diǎn)使得

證明：當(dāng)f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s0，m∈Z）時，圓C是存在的.

又∵圓C與曲線切于點(diǎn)p0.∴圓C切曲線于點(diǎn)

命題7

命題8

由命題6和命題7可知命題8的結(jié)論是顯然的.

定理1

注意：事實(shí)上，若F（s0，s1）的最小值等于0時，此時曲線存在R＝＋∞的雙切圓，換句話說，此時的雙切圓為曲線在該點(diǎn)的雙切線.