龐卡萊圓盤模型中雙曲三角形周長與面積的關系

魏大承

【摘要】主要討論了Poincare圓盤模型中面積一定的雙曲三角形周長的變化情況。先通過推導龐卡萊圓盤模型與歐氏幾何的對應關系，求出了面積一定時雙曲三角形頂點運動的軌跡;再利用龐卡萊圓盤模型的自身基本性質計算出面積一定時雙曲三角形周長變化的單調性從而求出了周長的最值。

【關鍵詞】龐卡萊圓盤模型 雙曲三角形

一、引言

1826年Lobachevsky在承認歐幾里得所著的《幾何原本》中其他的公設的基礎之上，將其中的第五公設更改為“平面內過直線外一點恒可做無數條直線與已知直線不相交”。

但是，因為缺乏直觀的幾何描述，雙曲幾何在一開始提出的時候并不能被當時的數學界所廣泛的接受，甚至就連羅巴切夫斯基自己都把它稱之為“沒有實際意義的虛幾何”。然而，幾十年之后，法國數學家龐卡萊在羅巴切夫斯基假定的第五公設的基礎之上，提出了龐卡萊圓盤模型，將雙曲幾何與歐氏幾何很巧妙地建立起了聯系。自此之后，越來越多的數學工作者們投身于雙曲幾何的研究當中，使得這一體系日趨完善。

本文所引用的《雙曲幾何》一書是由李忠老師等人所編寫，介紹有關雙曲幾何研究的科普類小冊子。本文當中所涉及的定義與性質以及第三章中所用到的相關公式均出自此書，有需要的讀者請參見參考文獻[1]當中的前兩個章節。

在第一章中會簡單介紹引文中所提到的龐卡萊圓盤模型的定義及有關的基本定理。

二、基本定義與性質

三、雙曲三角形頂點軌跡的研究

四、雙曲三角形面積一定時周長的變化

五、總結

通過本文的討論可知龐卡萊圓盤模型中雙曲三角形周長與面積之間的關系與歐氏平面上三角形二者之間的關系有著極高的相似性。對于這一問題未來的研究與討論方向，將把周長與面積的關系由雙曲三角形推廣到雙曲多邊形，進而嘗試研究龐卡萊圓盤模型上的等周問題。

參考文獻：

[1]李忠，周建瑩.雙曲幾何[M].湖南教育出版社，1991.

[2]LEON Karp and Norbert Peyerimhoff.Extremal properties of the principle Dirichlet eigenvalue for regular polygons in the hyperbolic plane[J].Archiv der Mathematik，2002.

[3]傅紅燕，俞禮海.“將軍飲馬”問題的拓展及妙用[J].中小學數學，2016，（04）：26.

[4]韋靜華.對稱點與幾何[J].安徽教育學院學報，1996，（01）：18.

[5]雷達.球面幾何與平面雙曲幾何中三角形面積的一些外在公式[D].蘇州大學報，2015.