基于Laguerre函數的BLDCM轉速預測控制器

郭 偉1,，姜 睿，李 濤1,，高嚴凱

(1.大氣環境與裝備技術協同創新中心，江蘇 南京 210044； 2.南京信息工程大學 自動化學院，江蘇 南京 210044)

無刷直流電機(Brushless DC Motor,BLDCM)因具有結構簡單、運行效率高等優勢，在精密機床、汽車電子、航空航天等領域得到廣泛應用[1]。傳統BLDCM控制器多基于線性理論設計，但由于模型中存在R、L等慢時變參數，故解耦簡化得到的模型勢必不能滿足不同工況調速的需求[2]。

針對上述問題，許多學者將自適應機制引入控制器設計中，將非線性時變參數看作擾動項，設計自適應觀測器或濾波器進行估計[3-5]，但大多會假設未估計量變化率為零，且觀測器本身會帶來系統延遲，這都會影響參數辨識精度，進而導致控制誤差。因此，可根據實時信息在線辨識模型參數的控制器設計顯得尤為重要。

近年來，隨著微處理器(如DSP、FPGA等)性能的大幅提升，預測控制算法在電力電子和電機驅動領域得到廣泛關注[6-7]，設計簡單、動態性能好等特點使該方法成為電機控制領域最有可能替代PI算法的控制方案[8]。文獻[9]用電流預測控制器替代了傳統PI電流調節器，有效抑制了電流紋波。GPC作為一種結合自校正思想的預測控制算法[10]，具有建模與控制于一體的特點，自Clarke提出以來30多年，已有眾多學者對其進行了改進優化。文獻[11]從預測模型著手，利用ARMAX模型描述動態對象，并在此基礎上推導得出可直接求解控制量的廣義預測控制器。文獻[12]將優化后的廣義預測控制應用于無刷直流電機速度控制中，并在DSP實驗箱中進行了算法驗證，證實該算法在快速系統中應用的可行性。針對原始GPC和文獻[11]中所提算法需引入丟番圖方程求解計算量大的問題，文獻[13]利用遞推的方法得到預測模型，求解過程簡單，更易于硬件實現。文獻[14]將ARMAX模型轉換成狀態空間方程形式，并將Laguerre函數引入來解決傳統模型預測控制不能保證無差拍控制的缺點。

調速性能和轉矩波動一直是衡量BLDCM運行性能的兩個重要指標，本文主要研究BLDCM控制系統的調速性能。為進一步減小算法計算量，滿足電機控制實時性要求，本文在文獻[13]提出的簡化GPC基礎上，引入Laguerre函數對控制增量進行參數化，針對傳統GPC算法普遍存在超調的問題，借鑒文獻[18]中修改性能指標的思想，以期結合PI算法的優勢，提出了一種新型的控制算法，最后將其應用在BLDCM轉速跟蹤控制中，并與文獻[13]所提算法進行比較。Matlab平臺仿真結果表明，相比文獻[13]提出的算法，該算法對跟蹤指令響應更快，超調小，抗干擾能力強，對參數不確定性具有較強的魯棒性。

1 BLDCM模型

傳統BLDCM控制策略為雙閉環控制結構，內環電流環主要作用為限制電流，保證系統穩定運行[15]。實際應用中，轉速單環控制器已能滿足絕大多數運行情況[16]，故本文采用單環控制器，在此推導BLDCM空載運行時的傳遞函數[1]。

以A、B導通為例，不計換相暫態過程，則有

(1)

式中，Ud為直流母線電壓；ra為繞組線電阻，ra=2R；La為繞組等效線電感，La=2(L-M)；ke為線反電勢系數。

由電機運動方程可得空載情況下的電樞電流為

(2)

式中，KT為電機轉矩系數；J為轉子轉動慣量；Bv為黏滯摩擦系數。

將式(2)代入式(1)中，并做Laplace變換可得BLDCM傳遞函數為

(3)

因有Ω=2πn/60，故機械角速度與轉速之間呈線性關系，其中轉速n單位為r/min。

2 控制增量Laguerre化的預測控制

2.1 離散Laguerre函數

連續型Laguerre函數是平方可積函數空間L2(0,∞)上的一組正交基，將其z變換離散化后可寫為[17]

(4)

式中，a為離散Laguerre函數的極點，0≤a<1。

注意到有如下遞推關系:

(5)

用l1(k)表示Γ1(z)的z逆變換，則有

L(k)=[l1(k),l2(k),…,lN(k)]T

那么式(5)滿足

L(k+1)=ψL(k)

(6)

且有

(7)

式中，ψ為N×N的矩陣；β=1-α2。

2.2 改進的廣義預測控制

被控對象ARMAX模型可表示為[13]

(8)

式中，y(k)、u(k)和ξ(k)分別為輸出、控制和白噪聲，d+1為時滯；其中參數可由下式遞推得出：

(9)

式中，n=min{w-1,na}。

預測模型為

Y=Ym+GΔU

(10)

Y=[y(k+d+1|k),y(k+d+2|k),…,y(k+p|k)]T
Ym=[ym(k+d+1),y(k+d+2),…,y(k+p)]T
ΔU=[Δu(k),Δu(k+1),…,Δu(k+p-d-1)]T

(11)

式中，p為預測長度。其中，

需要注意的是，令式(9)第二個式子中i=0可快速遞推出矩陣G中元素。

極小化性能指標

(12)

式中，λ為控制加權系數；參考軌跡Yr計算具體見文獻[19]。

由?J/?ΔU=0可得

ΔU=(GTG+λI)-1GT(Yr-Ym)

(13)

則即時控制增量為

Δu(k)=fT(Yr-Ym)

式中，fT=[1 0 … 0][GTG+λI]-1GT。

由此可得控制量為

游客們對三峽地區歷史文化的認知主要是巴蜀文化和巫文化。原始的巴人部落、舞蹈表演和神秘的巫文化祭祀活動構成了游客們對三峽地區古代文明的體驗，幫助游客更好地理解遙遠的歷史文化。一位廣西的年輕游客描述了印象深刻的巫文化祭祀表演：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(14)

相比于Clarke提出的原始形式廣義預測控制算法，該算法的預測模型計算借鑒了動態矩陣控制，無需引入丟番圖方程，求解過程更加簡潔，編程易實現。

2.3 控制增量Laguerre化的PI型廣義預測控制

算法最終會在嵌入式場合實現，為進一步減小算法計算量，本文將離散Laguerre函數引入上述算法，并與PI型性能指標結合。

在k時刻，控制增量軌跡Δu(k)，Δu(k+1)，…，Δu(k+j)可以看作是一個穩定動態系統的脈沖響應，因此，可將Laguerre函數應用于控制增量的參數化設計，即利用l1(k)，l2(k)，…，lN(k)捕獲一系列與系統脈沖響應有關的系數c1，c2，…，cN[17]。與預測函數控制類似，該函數的引入使得算法對控制量的求解從控制量本身轉移到了組合系數的優化，由于這些系數個數少且與預測長度無關，因而可以減少在線優化的計算量[10]。

控制增量Laguerre化過程如下

(15)

式中，L(j)=[l1(j),l2(j),…,lN(j)]T；η=[c1,c2,…,cN]T。

設定參考軌跡與預測輸出間誤差為

e(k+j)=yr(k+j)-y(k+j|k)

則有

Δe(k+j)=e(k+j)-e(k+j-1)=Δyr(k+j)-Δy(k+j|k)

工業控制中常選取PI型性能指標[18]，故本文修改性能指標如下：

ki(j)e2(k+d+j)+r(j)Δu2(k+j-1)

(16)

式中，kp(j)、ki(j)和r(j)分別為輸出誤差和控制增量加權系數，假設為常數kp、ki和r。

為推導方便，將該性能指標改寫成矩陣形式

(17)

定義L=[L(0)T,L(1)T,…,L(p-d-1)T]T，則控制增量可寫為

ΔU=Lη

(18)

將式(18)代入式(17)，由最小二乘法可得

(19)

式中，μ=LTGTHGL+LTRL；β=LTGTH+LTGTHT；H=TTKpT+Ki。

因而可得即時控制量為

u(k)=u(k-1)+Δu(k)=u(k-1)+L(0)Tη

(20)

當對象參數(式(8))未知時，可采用漸消記憶最小二乘法進行參數估計[19]，很多情況下，由于在線辨識的復雜性，用參考軌跡實現反饋校正。

采用上述算法設計BLDCM轉速控制器，控制系統結構框圖如圖1所示。

圖1 控制系統結構框圖

3 仿真結果與分析

將電機空載運行時采集到的輸入輸出數據導入Matlab系統辨識工具箱，可得被控對象為[20]

y(k)-0.4288y(k-1)-0.5665y(k-2)=

1.875u(k-1)-1.87u(k-2)+ξ(k)

式中，ξ(k)為方差為0.01的白噪聲。

為驗證新型算法的可行性，在Intel酷睿i7處理器、64位8 GB系統、Matlab版本R2016a的環境下進行仿真，仿真總時長0.063 s。所提出的算法參數選為：預測長度p=3；Laguerre函數參數a=0.2，N=5；加權矩陣Kp=Ki=diag{0.2,0.2,0.2}，R=diag{0.5,0.5,0.5}；柔化系數α=0.7。

下面對電機在變速、受擾和模型失配3種工況下的控制性能進行比較。

圖2為文獻[13]改進GPC與所提出的算法在調速性能上的比較。電機起動時轉速設定值為2500 r/min，在0.2 s時設為2000 r/min，由圖1可知，新型算法在起動時幾乎無超調，控制增量在0.012 s迅速收斂至零，且跟蹤轉速更為迅速，變速運行時依舊能保持很好的跟蹤性能。

圖2 調速性能比較

圖3、圖4為4種算法下抗干擾能力的比較。由圖可知，電機起動時，4種算法中GPC_Laguerre_PI響應最快，GPC_Laguerre緊跟其后，GPC_PI次之，最后則是改進GPC算法。在0.2 s時給系統加入擾動，GPC_Laguerre波動之后能迅速恢復到設定轉速，GPC_Laguerre_PI抗干擾能力與之相當，最后則是GPC_PI。

圖3 抗干擾能力比較(轉速分析)

圖4 抗干擾能力比較(控制增量分析)

圖5為4種算法在模型失配情況下的控制性能比較。由圖可知，GPC和GPC_PI兩種算法受預測模型失配影響非常大，而控制增量Laguerre化后的兩種改進GPC算法則幾乎不受該工況影響。其中，模型失配時，GPC_Laguerre_PI算法控制效果最好。

圖5 模型失配比較

圖6為Laguerre函數中a參數變化的比較。由圖6可知，當a=0.8時，系統響應最快，但存在抖動，實際中不利于電機控制。當a=0.2時，雖響應較慢，但控制器可以準確跟蹤設定轉速值2500 r/min，因此本文調參時選用a=0.2。

圖6 Laguerre函數參數a變化比較

4 結束語

本文在改進GPC算法基礎上引入Laguerre函數對控制增量進行參數化，使系統響應更迅速；通過修改PI型性能指標，抑制了超調，得到更好的穩定性。用改進后新型的控制算法設計了無刷直流電機轉速單環控制器，并在Matlab平臺進行驗證。仿真結果表明，該算法具有良好的控制品質。本文減少了電流環對最大電流的限制，若能將電流約束引入算法推導中，還需結合優化算法做進一步的研究。