例談初中數學習題課的設計以及課堂教學
——一節數學習題課的課例分析與思考

陳錦喜

廣東省廣州市華僑外國語學校 廣東 廣州 510095

習題課的基本目的是教師通過選擇有效的習題，讓學生解題的形式來形成學生的數學技能,并通過解題教學進一步培養學生數學的應用意識和能力。習題課教學還可以增強學生的理性認識,提高學生的辨別能力,可以多方面、多角度地培養學生的觀察、歸納、類比等技能和能力。教師也可以充分地在習題課中看出學生的解題過程是一種獨立的創造活動過程,適時適度地幫助學生解答，恰當時機有意識地培養和發展學生思維能力。

本人在一次區教研活動中承擔公開研討課，教學設計為一節習題課，以七年級數學下冊第五章《相交線與平行線》中的平行線的判定與性質為主要知識背景，用小專題習題課的形式開展教與學，設計典型的例習題，以及習題變式訓練。習題課設計前提是對學生原有的基礎知識、學生現有的認知能力、學生原有的生活經驗.、學生的情感因素等非常清楚：大部分學生在《相交線與平行線》中的平行線的判定與性質基礎知識學習方面掌握得比較扎實，比較主動學習，各類測試的成績優秀率在50%-60%，合格率在90%左右，后進生還是有4-5 人，所以兼顧后進生的習得也是本節課需要考慮的因素之一，教學內容的設計就必須講究先易后難，深入淺出。另一方面，對大部分學生還是需要從更高的層次要求有效地鍛煉他們的拓展探究思維，為此設計變式習題，滿足更多有求知欲望，使各種類型的學生都有所收獲，以下進行課例展示與分析。

（一）師：復習平行線的判定常用的方法：一個平行公理與判定定理；歸納與平行線相關的問題一般都是平行線的判定與性質的綜合運用，主要體現在如下兩個方面：⒈由角定角：已知角的關系→（判定）兩直線平行→（性質）確定其他角的關系.

⒉由線定線已知兩直線平行→（性質）角的關系行→（判定）確定其他兩直線平行。教師借助多媒體課件對本節課的核心知識和方法進行提點。

（二）課堂小測試

⒈如圖，已知∠1=105°，要使m ∥n，則需∠2=（ ）

A.55° B.60° C.65° D.75°

⒉如圖所示，點E 在AC 的延長線上，下列條件中能判斷AB ∥CD（ ）

A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180°

⒊如圖，∠1+∠2=180°，∠3=108°，則∠4 的度數是________..

⒋如圖所示，把三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1=30°，則∠2 的度數為___________..

⒌（2014·張家界）如圖，已知a ∥b，∠1=130°，∠2=90°，則∠3=（ ）

A.70° B.100° C.140° D.170°

師生行為：教師發下預先準備好的小測紙，學生利用5 分鐘左右的時間完成，教師巡視學生完成小測，對每組做得快而且對的學生立即批改評價，然后讓他們互相批改，對做得好的學生給予表揚，鼓勵未完成但仍在努力的同學，這樣的小測在教師的監督下獨立完成解題過程，可以檢驗學生對學過的知識掌握的情況，以便查漏補缺，從而把學生的學習由被動變為主動，同時測試后對成績好的同學及時表揚，對成績差的同學及時幫他們查找與原因，并及時糾正錯誤，把模糊不清的知識弄懂學會。利用小測驗試掌握教與學中存在的問題，對學生的情況了如指掌，從而做到有的放矢，事半功倍，提高教學質量和學生的.成績。

反思：⒈數學課堂進行小測，一定會占用課堂時間，因此在課前充分做好準備工作，深度備課，選好測試的題目。⒉教師要及時批改、分析試卷，給予糾正，還要堅持才有效果。

（三）習題探究

例1、如圖1 所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖邊而過，如果第一次拐的角∠A=120°,第二次拐角∠B=150°,第三次拐角為∠C,那么∠C 的度數是多少時道路恰好和第一次拐角前的道路平行?

圖1

圖2

圖3

師生行為：如圖2 所示，想要判斷直線AE 是否平行CF，需要用到什么條件，已知條件直接使用會有什么不足？在學生思考一番后,教師提示添加輔助線.并要求學生思考添加輔助線的作用。

方法一：解：過點B 作GH//CF，∵AE//CF ∴GH//AE//CF,∠ABH=∠A=120°

∴∠HBC=∠ABC-∠ABH=150°-120°=30°又∵∠HBC+∠C=180°,

∴∠C=180°-∠HBC=180°-30°=150°.

方法二：如圖3 所示，延長AB，FC，FC 與AB 相交于D

∵AE//CF ∴∠BDF=∠A=120°∵∠ABC=150°∴∠CBD ＝180°-∠ABC ＝30°，

∠FCB=∠CBD+BDF=120°+30°=150°

教師鼓勵學生從更多的角度思維出發，利用不同的方法解決問題。并及時小結類似這種問題的常用的解決辦法：

⒈過平行線之間其中一個角的頂點做平行線。

⒉做適當的延長線,或者截線取出內錯角，同位角、同旁內角等等。使學生對類似的問題初步有了一個具體的方法。

課堂上學生在自學、思考、交流例題解決的多種不同的方法，教師只做關鍵的提示，從“滿堂灌”的“一線”退到“二線”，由解題方法的傳播者變成學生學習的組織者、引導者。教師為學生自學、思考、討論、答疑當好“參謀”，適當時候創造條件盡可能地讓不同的學生有機會發表自己的見解，讓學生由被動的接受變為主動的建構，真正成為課堂學習的主人，在關鍵時刻，比如學生對習題解決的辦法已經“山窮水盡”時教師給以及時引導小結，使思路清晰明了。

（四）變式訓練：例2、已知：如圖，若AB ∥DE，則∠BCD=∠B+∠D，試說明理由。

師生行為：教師在總結例題1 的做法后，提示學生，根據圖形特點，可以選擇“做平行線”或者是“作延長線”，由學生討論，并鼓勵學生上臺板演。

解法一：過C 作CF ∥AB，由AB ∥ED，得到CF ∥DE，∴∠B=∠BCF，∠FCD=∠D，

∵∠BCD=∠BCF+∠FCD，

∴∠BCD=∠B+∠ D.

解法二：如圖，延長BC 交ED 于F,∵AB ∥ED ∴∠CFD=∠B,由三角形CDF 的內角和∠CFD +∠D=180°-∠FCD=∠BCD 即∠B+∠D=∠BCD

解法二需要用到三角形的內角和，有余力的學生還可能直接用三角形外角性質得出結論。

變式1、已知：如圖，若∠BCD=∠B+∠D，則AB ∥DE，試說明理由。

通過條件與結論的變換，把平行線的判定與性質緊密聯系。教師提示，證明直線的平行，可以通過平行公理，可以通過簡單輔助線的添加得到平行線，通過角的關系引出平行線，并利用其性質。要求學生板演。

證明：過點C 作CF ∥AB，則∠B=∠BCF，

∠BCD ＝∠B ＋∠D=∠BCP ＋∠FCD，

∠FCD ＝∠D，∴FP ∥ED。而CF ∥AB，∴AB ∥DE。

師生：根據例題1 解題經驗，還能否用別的辦法做？

變式2、如圖，已知：∠B=∠D+∠E，試說明：AB ∥CD.

過點E 作EG//CD，通過平行線的性質、判定及平行公理推論即可證得 .

證明：過點E 作EG//CD

∴∠DEG ＝∠D，∵∠BEG ＝∠FED+∠DEG

∴∠BEG ＝∠D+∠E 又∵∠B=∠D+∠E，

∴∠B=∠BEG，∴AB ∥EG

∵EG//CD,AB ∥CD

教師小結本題應用到的知識點：1.平行線的性質、判定；2.平行公理推論.

（五）說說今天你學習收獲呢

1.判定直線平行的方法應用：

2.我們知道了“轉化”的數學思想方法，通過添加簡單的輔助線，使用“三線八角”判定兩直線平行。

3.我們要學會用“推理”的方式解決數學問題.

設計意圖：對本節課所學知識進行及時整理、鞏固和提高，培養學生整理、歸納的習慣和能力。

（六）分層布置作業，鼓勵學有余力的學生挑戰難題。

1、如圖：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否確定ED 與CF 的位置關系，請說明理由。

2、已知：如圖，∠A ＝∠1，∠C ＝∠2。求證：AB ∥CD。

3、已知：如圖，∠AOE ＋∠BEF ＝180°，∠AOE ＋∠CDE ＝180°，求證：

CD ∥BE。

4、已知：如圖，若∠B=25°，∠BCD=45°，∠,CDE=30°，∠E=10°，試說明AB ∥EF 的理由。

選做題：1、如圖所示，已知AB// CD，請解答下列問題：

（1）圖（1）中1∠、∠ 2、∠ E之間具有什么關系？并說明理由。

（2）圖（2）中的5 個角具有什么關系？

（3）圖（3）中的7個角具有什么關系？你能得出什么一般性質結論。

2、如圖，兩直線AB、CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度數。

設計意圖：鼓勵學有余力的學生積極思考，提高能力，樹立信心，調動學生學習的積極性.

課例反思：這一節的內容雖然在新人教版教材沒有專門安排，只是作為一節習題探究課的形式呈現.但這一知識點在平面幾何學習過程中占據重要地位，而作為對學生主動學習知識拓展,一般的學校都不會用一節完整的課來學習這個內容，因為它不作為”常見的考試的內容”,所以設計本節課的內容存在爭議。本節課的做法是，對教學內容進行了合理、大膽的重組、加深，通過證明推理題、計算推理題對平行線的判定進行了靈活的運用。注重學生的自己分析，啟發學生用不同方法解決問題。在教學過程中，我主要做到：突出學生是學習的主體，把問題盡量拋給學生解決。老師作為學習的組織者，引導者，合作者，做好牽針引線的工作。這節課中，我除了作必要的引導和示范外，問題的發現，解決，練習題的講解盡可能讓學生自己完成。一節課下來,感覺講解基本到位，并基本達到練習的目的，學生學得比較輕松，課后作業效果也很好，基本達到“輕負荷，高質量”的教學要求。

這節課我比較滿意的是：

⒈學生順利完成了學習目標；

⒉學生的小組合作已初見成效；

⒊課堂上有意識地鍛煉學生使用規范性的幾何語言；

⒋注重由學生從臨摹書寫到自主書寫，鍛煉學生的動手能力。

但仍然存在很多不足的地方：

⒈課堂氣氛不理想；課堂升華不高；探究學習材料比較單一；

⒉例題1 的探究占用時間過多，從而使后面的環節有些倉促；

⒊對個別后進生的輔導照顧不夠等；沒有兼顧到學生的差異。如果在這幾個方面處理的更好一些的話，效果會更好。通過本節課對習題課的再思考：

⑴關注課堂時效，走近學生，教 師在授課時，深入了解學生，細致入微地觀察學生的內在思想和學習中可能出現的問題和困難。本案例中，學生到底需多長時間停留在“毫無希望”的數學抽象思維境地？教師“操之過急”會使多少學生喪失學習數學的信心？課堂是活的，在深入研究 本班學生的基礎上，面對有思想的學生，教師隨機應變，及時調整教學設計方案及教學思路，教師不能以自己對知識方法的理解方式來作為學生接受的理由，不能忽視學生對新知識也有一個分析、理解和吸收的學習過程。教師只有將學生已有的知識、經驗作為教學的出發點，教學才能做到以人的發展為本。

⑵關注學法，重學習過程 新課程提倡在數學學習過程中，以具體問題為載體，創設一種類似于科學研究的情境和途經，引導學生自己去探究，通過學生的親身實踐獲得體驗，讓學生逐步形成善于質疑、樂于探究、努力求知的積極態度。數學教學是數學活動的教學，是師生之間、生生之間交往互動及共同的發展。教師適時關注學生在數學活動中的體驗、認識和差異，引導學生有效進行探究、交流、總結等，形成有效的信息通道相，掌握感悟相應的方法和經驗，營造一個學生樂于探索交流和相互學習的良好氛圍，這遠比課堂上教師機械的“一問一答”效果好。

⑶關注教法，培育學習共同體整個數學教學的課堂上存在一個“學習共同體”，這個數學學習共同體需要交流、多向互動、有效調控。教師營造一個適合學生思維發展的空間，由學生主動地提出問題，學生在學習過程中遇到困難時，先把機會交給學生。只有師生之間、生生之間體驗交流彼此的想法、存在的問題及其原因，才能使分析透徹、思想清晰、思路明確、因果分明、邏輯清楚，真正實現教學中心由教師變為學生，教學形式由“灌輸”變為“主動建構”，真正體現了學生學習的主體地位，實現《學記》中提出了“道而弗牽，強而弗抑，開而弗達”的教學要求。