平面組合圖形面積的求法研究及其推廣

吳菊青

（浙江省麗水市蓮都區峰源小學，浙江 麗水 323000）

一、對平面圖形的認識

（一）平面幾何圖形的認識

平面幾何圖形能使學生感受到圖形美，幫助學生認識豐富多彩的現實生活中的各種實物，形成一定的空間觀念。小學階段接觸到的平面圖形面積分tt為七部分內容：三角形的面積，正方形的面積，長方形的面積，平行四邊形的面積，梯形的面積，組合圖形的面積，圓的面積。在《課程標準（2011）》的內容分類中屬于“圖形與幾何”的范疇，而平面圖形的面積則是“圖形與幾何”這部分中的重點內容。這部分的教學目標是：教學緊密聯系現實生活，讓學生通過動手操作，掌握各種平面圖形的面積計算公式的推導過程，并會應用面積公式來正確計算對應平面圖形的面積，解決一些簡單的有關平面幾何圖形的面積問題，從而形成了一個從現實生活到數學知識，再回到現實生活的過程。同時值得指出的是，平面圖形面積的學習也是學習立體圖形表面積和體積的基礎。

（二）小學階段的平面幾何知識各年級內容安排

一年級下冊：會辨認并能區分長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓；通過找一找、畫一畫、拼一拼、擺一擺各種平面圖形，感受它們的特征以及之間內在聯系和區別。

三年級下冊：初步理解面積的含義，并會用簡單的語言來描述面積的概念；理解的基礎上，推導長方形和正方形的面積公式，并掌握其計算方法，同時會運用長方形和正方形的面積公式解決一些簡單的實際生活中的問題。這部分知識是學生第一次接觸有關面的內容，并且比較抽象。理解面積的概念時，要以具體、形象的實物讓學生摸一摸，并說說摸到的實物表面具有怎么的特征，感受、討論之后總結出什么是面積這一抽象感念，其后掌握了面積單位之間的換算。長方形和正方形的面積是在掌握了這部分知識和他們的基本特征的基礎上來學習的。在教學過程中教師可以指導學生小組合作，用1cm2的小正方形紙片“滿貼”長方形和正方形的物體的表面，數出小正方形紙片的個數,就是長方形和正方形的面積，觀察小正方形紙片的個數，橫著有幾個，豎著有幾個,發現“滿貼”長方形和正方形的物體的表面紙片的個數與長方形和正方形的面積之間的關系，從而總結他們的面積公式。讓學生的手、口、耳、眼等感官全都動起來，有效的提高所學知識的效果，并在小組合作交流的過程中自己總結出所學知識的要點，獲得成就感的同時激發數學學習興趣和求知欲。

五年級上冊：引導學生利用方格紙和割補法、拼組法等轉換思想的方法探索平行四邊形、三角形、梯形的面積計算式；掌握并會應用它們的面積來解決簡單的實際生活問題。認識組合圖形，并會將組合圖形劃分為己學過的圖形來計算面積。三角形和梯形面積公式推導是借助平行四邊形的面積公式和推導原理完成的，并會將平行四邊形、三角形和梯形的面積公式準確的運用到現實生活中，這些平面圖形的面積計算方法和推導過程是進一步學習圓面積以及立體圖形表面積和體積的基礎。

學生在學習了長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積的計算方法后，再來學習組合圖形的面積就比較方便了。把一個組合圖形在其面積不變的情況下分解成若干個學生己經學過的基本平面圖形，再來進行計算各部分的面積，組合圖形的面積就是分解后的各部分圖形面積之和。這樣的教學安排讓學生進一步鞏固了該些基本平面圖形的特征和面積公式的運用，同時還發展了學生的空間觀念。這樣新知識與舊知識之間的聯系，根據圖形面積計算之間的內在聯系來安排的教學順序，可從促進學生對知識的遷移和學習能力的提高。

六年級上冊：在認識圓的基礎上掌握圓的基本特征；學會用圓規畫圓；會推導并正確應用圓的周長和面積。學生已經掌握了長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形的周長和面積計算方法，對圓己經有了初步的了解的基礎上進來學習圓的周長和面積。圓是一種曲線圖形而不是直線圖形，和以前學的直線圖形在性質和特征上有截然不同的區別，但在研究方法上，又與直線圖形緊密聯系，因此在教學時教師要不斷引導學生應用轉化思想，將圓轉化成以前學習過的直線圖形，再用割補法、拼組法等轉化方法，來解決圓的面積。本單元主要認識圓，掌握圓的基本特征，理解圓的直徑、半徑、周長、面積之間的相互關系：知道圓周率的由來和近似值；運用所學知識來解決現實生活中有關圓的一些實際問題。豐富學生對現實生活在“空間與幾何”圖形的認識，進一步建立空間觀念，發展空間想象為和形象思維。通過介紹祖沖之及國外學者在圓周率方面的研究成就，了解與其有關的數學史，加強對學生的愛國主義教育。讓學生體驗到圓是與日常的現實生活是密切聯系在一起的，認識到用圓的知識可解決很多現實生活中的問題。

平面：中學幾何課本中常以平靜的湖面和平滑的桌面等描述平面。在小學階段一般用手感受光滑的物體表面，來形容平面。

平面圖形：圖形上的所有點都在同一個平面上，這樣的幾何圖形叫做平面圖形。

幾何圖形：簡稱“圖形”。有點、線、面、體或有若干個點、線、面、體組合在一起的圖形，叫做幾何圖形。

二、求組合圖形面積的方法

在“組合圖形的面積”這一課的教學中,發現學生對組合圖形的面積的如何求解感到非常吃力，無從下手。為了提高學生的解題能力,除了讓學生加強練習以外,還應教給他們一定的解題技巧。下面介紹幾種常用的方法——分割法、添補法、平移交換法等，供大家參考。

（一）分割法

例1：如右圖，求下面組合圖形(每個角都是直角)的面積.

①把例1中的組合圖形分割成2個長方形（或者正方形），如

②把該組合圖形分割成2個梯形

（二）添補法

將此組合補上一個小長方形（或小正方形），就可以補成一個大的長方形，從而求組合圖形的面積可以轉換成求大長方形的面積減去小長方形（或小正方形）的面積。

以上兩種方法可以合起來簡稱為“割補法”。割補法是指；把一個圖形的某一部分割下來，填補在此圖形的另一部分，在原來面積不變的情況下，使其轉化為已經掌握的基本圖形，以利于計算公式的推導。

但是要注意的是，在分解組合圖形時，分割后的圖形要讓人一看就懂，簡單明了。

（三）其他方法

平移變換法：把組合圖形中的一部分圖形位置作水平移動,使之與組合圖形中的其他部分合并,拼成一個較簡單的組合圖形,然后求出它的面積，這種方法我們稱為“平移變換法”

例2：求下面圖形陰影部分的面積。〔單位：厘米〕

分析可以得出，兩個帶有陰影部分的三角形都是直角三角形,并且其中有一條直角邊是相同的,那么我們就可以把小的直角三角形向右平移，與大的直角三角形拼在一起,如下圖，于是所拼得的大三角形面積,剛好是所要求的陰影部分的面積。

解：（20-5）×12÷2=15×12÷2=90（平方厘米）

旋轉變換法：有些圖形問題條件比較分散。若能設法把圖形繞一個定點,在平面內旋轉一定的角度,使圖形的某部分移動至一個新的位置,往往能使原本分散的條件集中,從而使問題化難為易。

例3.如圖，是一個長方形挖去了一個三角形，點G是兩平行線之間的任意一點，請求出下面圖形的陰影部分的面積。

分析：由于點G是兩平行線之間的任意一點，上下兩部分陰影部分的都是三角形，如果分別求出每個陰影部分三角形的面積，再相加求總的面積，可是問題的關鍵是上下兩個三角形的高的長度不是固定的，為了方便，我們給每個點編號如下圖1：

由于三角形面積計算只與該三角形的底邊長度以及高線長度有關，所以可以轉換成圖2，只要求出了圖2的陰影部分面積總和，也就求出了圖1的陰影面積總和.