分層介質等效電磁參數理論推導的新方法及仿真驗證

曹斌照，王海濤，馬 寧

分層介質等效電磁參數理論推導的新方法及仿真驗證

曹斌照，王海濤，馬 寧

（太原理工大學 物理與光電工程學院，山西 太原 030024）

基于電磁理論中極化強度矢量的定義和在電小尺寸條件下多層介質總阻抗的公式，用兩種新方法推導出分層介質等效電磁參數的一般公式。兩種方法的結果相同，也與現有文獻中基于電容串并聯方法的導出結論相一致。在此基礎上，用分層復合介質構造了一種各向異性零折射率超材料，用COMSOL軟件仿真了電磁波在常規介質和該種零折射率超材料分界面上傳播的全反射現象，驗證了該方法的正確性。

等效電磁參數；分層介質；電磁阻抗；全反射；電磁仿真

基于等效電磁介質理論分析電磁場問題是一種有效的研究方法[1-4]，也是研究新型人工電磁材料的一種有效手段[5]，如電磁隱形中的隱身層、構建各種電磁超材料、提取光子晶體的等效電磁參數等。該問題在本科教材《電磁場理論》和《電動力學》以及相關課程中很少提及，即使在電磁工程問題專著中也不多見[6]。文獻中常用的推導的方法，是將分層介質填充于平行板電容器中，通過等效電容進行換算[7]，或利用平面電磁波的特征阻抗進行換算[8-10]。該方法雖然在一定條件下結論正確，但對于理解其物理意義卻比較困難。其實，在經典電磁理論中，電磁參數的定義是基于電磁場對介質的極化或磁化等引入的，等效電磁參數的概念可從極（磁）化過程導出，物理意義較為鮮明，從而使該結論不僅適用于靜態場，而且在時變電磁場的情況下仍能夠成立。

1 模型及理論推導

以電介質為例，設兩層厚度分別為1、2，橫截面積均為，介電常數分別為1、2的均勻線性各向同性的介質處于外加電場0中，外加電場的方向分別沿介質的分界面和垂直于分界面，如圖1所示。

圖1 外加電場時不同介質構成的等效介質結構示意

1.1（準）靜態場情形下等效介質公式的推導

對于靜態場或準靜態場情形，在圖1(a)中，設外加電場0沿軸，令介質1、2中的電極化強度分別為1、2，電位移矢量分別為1、2，極化后總場強分別為1、2。由于電場強度切向分量的連續性，則1t＝2t＝。根據極化強度的定義式，有：

等效極化強度eff為

經過整理，可得

整理，可得

對于磁化過程中等效磁導率的推導，以及導電介質中的等效電導率的推導類同，也可以拓展到多層介質結構，在此不贅述。

1.2 時變電磁場情形下等效介質公式的推導

如圖2為雙層平板介質結構以及阻抗等效示意圖。

圖2 在基質中插入雙層介質的等效阻抗

其中：

式中，i、i2分別為從介質1左端口看和從介質2左端口看的輸入阻抗，C1、C2分別為介質1和介質2的特征阻抗，L為負載阻抗，1、2分別為電磁波在介質1和介質2的相位常數。

在圖2(b)中，輸入阻抗的表達式為

式中，i為左端口的輸入阻抗，eff為厚度為1＋2的介質層的等效阻抗，L為負載阻抗，eff為等效相位 常數。

將式（5）代入式（4），整理得

由于圖2(b)為圖2(a)的等效圖，故式（6）和式（7）應相等。即

由上式可推得

結果同式（2）。

2 零折射率超材料的構造及仿真驗證

對于實際應用中的電磁超材料，往往是各向異性介質。設介質2的介電常數張量為

由式（9）可見，當2x＝0時，TM＝1，即可發生全反射。

圖3 電磁波在兩種不同介質分界面的反折射現象

為了驗證上述理論的正確性，對介質2基于等效介質的理論公式（2）、（3），構建一種零折射率超材料。在圖1中，選取1= 5，2= – 20，其單元厚度分別為1＝20 nm、2＝5 nm，總厚度為400 nm。

從圖4可以看到：高斯波束在表面均可發生全反射。但隨著入射波長的增大，在零折射率超材料中有少部分透射波出現。圖4(c)、圖4(d)中的波長大于疊層材料厚度。圖5為高斯波束由空氣斜入射到理想單軸結構零折射率超材料中的仿真結果，選用參數與圖4相同，其結果與圖4非常接近。這表明：用等效介質的方法構建各向異性零折射率超材料是可行的。

圖4 疊層結構中對應于不同入射波長高斯光入射的電場分布

圖5 理想零折射率超材料中對應于不同入射波長高斯光入射的電場分布

圖6是在入射波為500 nm時取厚度分別為100 nm、200 nm和300 nm等幾種不同疊層結構零折射率超材料的仿真結果。同樣可見，當零折射率介質層較薄時，存在著較強的透射波，相當于多層介質層的反折射，尚不能達到零折射率超材料的等效結果。隨著厚度增加，全反射效果逐漸明顯。理論上講，疊層結構的厚度為無窮大時才能實現完美的全反射，但在實際應用中，只要滿足厚度足夠大即可基本實現。

圖6 不同厚度的疊層結構中對應于不同入射波長高斯光入射的電場分布

圖7為上述高斯波束在入射波長為300 nm時，對疊層結構和理想單軸結構中分界面上的電場分布進行了數值提取，兩種結構關于反射點（中軸線）具有很好的對稱性，這進一步說明上述結構可達到較好的全反射效果。

圖7 疊層結構和理想單軸結構中分界面上的電場分布

3 結語

用經典電磁理論中極化強度的概念和滿足電小尺寸條件下的電磁波的阻抗公式兩種新的方法，推導出多層介質等效電磁參數的一般公式，其仿真結果與現有文獻的結論相一致。在此基礎上，將該結果應用于零折射率超材料的構建以及全反射的實現，驗證了理論分析結果的正確性。更深入的研究還可以考慮對古斯-漢森效應的影響[12]。該結論對于深入理解電磁理論中相關概念及設計新型電磁超材料具有一定的意義。

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New method for theoretical derivation of equivalent electromagnetic parameters of layered media and its simulation verification

CAO Binzhao, WANG Haitao, MA Ning

(College of Physics and Photoelectric Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Based on the definition of polarization intensity vector in electromagnetic theory and the formula of total impedance of multi-layered dielectrics in small size, two new methods are used to derive the general formula of equivalent electromagnetic parameters of multi-layered dielectrics. The results of the two methods are the same and are consistent with the conclusions derived from the capacitor series-parallel method in the existing literature. On this basis, an anisotropic zero refractive index metamaterial is constructed by layered composite medium. The total reflection phenomenon of electromagnetic wave propagating on the interface between conventional medium and zero refractive material is simulated by COMSOL software, and the correctness of this method is verified.

equivalent electromagnetic parameter; layered media; electromagnetic impedance; total reflection; electromagnetic simulation

O411.1

A

1002-4956(2019)09-0092-04

2019-03-09

2016年山西省高等學校教學改革創新項目（J2016013）；2016年太原理工大學本科教育教學改革項目（ZD001）；2017年教育部高等學校物理類專業教學指導委員會研究項目（JZW-17-SL-03）；2017年教育部高等學校大學物理教學指導委員會研究項目（DWJZW201705hb）；2018年山西省質量工程研究生教育教學改革課題（2018JG25）

曹斌照（1967—），男，山西呂梁，博士，副教授，主要從事電動力學、數學物理方法和大學物理的教學與研究。

E-mail: caobinzhao@tyut.edu.cn

10.16791/j.cnki.sjg.2019.09.023