巧用數(shù)學(xué)思想妙解數(shù)學(xué)問題

孫愛云

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐中，數(shù)學(xué)思想不僅能指導(dǎo)教師深入理解教材，進行高效的教學(xué)設(shè)計，更能幫我們巧妙地解決一些數(shù)學(xué)難題。

一、利用對應(yīng)思想解決數(shù)學(xué)問題

對應(yīng)是人們對兩個集合元素之間聯(lián)系的一種思想方法。這種思想方法是在兩個事物之間建立起來的一種關(guān)系，即對應(yīng)關(guān)系，從而揭示事物之間的聯(lián)系。運用對應(yīng)思想可以讓一些數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系變得簡潔、明了。

例如：幼兒園教師把一箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊;如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。如果只分給小班的小朋友，平均每人分得多少塊？

這是一道盈虧類型的題目，解決這道問題的常用思路：這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊;如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。說明中班的人數(shù)是小班人數(shù)的6÷4=1.5倍，因此，這箱餅干全分給小班的小朋友，每位小朋友可以多分6×1.5=9（塊），一共可以分到6+9=15（塊）。

但在實際的教學(xué)過程中，五年級的學(xué)生并不能很好地理解這種教學(xué)思路。因此，在教學(xué)本道題目的時候，我就利用對應(yīng)的思想來解決這道題目，收到了良好的教學(xué)效果。

“把這箱餅干分給小班和中班的小朋友，平均每人分得6塊;如果只分給中班的小朋友，平均每人可以多分4塊。”通過對這句話的分析和理解，我們可以知道，如果只分給中班的小朋友，那么中班小朋友每人手中的6塊餅干可以不用考慮，只考慮把小班小朋友的餅干重新分配給中班就可以。認(rèn)真觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)小班2個小朋友手中的餅干是6×2=12（塊），這12塊剛好分給中班的3個小朋友。這樣小班的2個小朋友和中班的3個小朋友之間就建立起一種對應(yīng)關(guān)系。因此，如果這箱餅干只分給小班的小朋友，每人就可以多分6×3÷2=9（塊），每人共分6+9=15（塊）。

這樣利用他們之間的對應(yīng)關(guān)系，既巧妙地解決了這類數(shù)學(xué)題目，同時又降低了學(xué)習(xí)的難度，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)形結(jié)合思想就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用大致分兩種：一是“以數(shù)解形”;二是“以形助數(shù)”。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，教師最常用的是畫線段圖，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，理清解題思路。

在有倍數(shù)關(guān)系的題目中，我們常用的畫線段圖的方法如下。

例如：甲是乙的3倍。

但是，這種畫線段圖的方法對于下面這種倍數(shù)關(guān)系的題目來說，學(xué)生還是無法從線段圖中找出題目的數(shù)量關(guān)系。如果我們變換線段圖的畫法，就會很容易幫助學(xué)生理清解題思路。

例如：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍。甲組原有圖書多少本？

在分析這道題的數(shù)量關(guān)系時，我們采用了如下畫線段圖的方法。

先畫出甲是乙的3倍，然后從乙中拿出6本給甲，再用虛線把甲和乙同樣多的部分連起來。學(xué)生從這個線段圖中很容易發(fā)現(xiàn)：現(xiàn)在的甲是乙的5倍，甲虛線左邊是乙的3倍，甲虛線右邊的部分6×3+6就是乙現(xiàn)在的5﹣3倍，因此，學(xué)生很容易求出：

現(xiàn)在乙組的本數(shù)：（6×3+6）÷（5﹣-3）=12（本）

原來乙組的本數(shù)：12+6=18（本）

原來甲組的本數(shù)：18×3=54（本）

這種解法就是在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，巧妙地改變了常規(guī)畫線段圖的方法，讓題中的數(shù)量關(guān)系在線段圖中清晰地呈現(xiàn)出來，大大地降低了題目的難度，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

三、利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題

例如：一件工作甲做5小時以后由乙來做，3小時可以完成;乙做9小時以后由甲來做，也是3小時可以完成。那么，甲做1小時由乙來做，幾小時可以完成？

解決本題主要借助線段圖（數(shù)形結(jié)合）和轉(zhuǎn)化的思路來分析。

根據(jù)題意可知：這件工作甲做5小時，乙做3小時可以完成。或者甲做3小時，乙做9小時可以完成。從線段圖上可以清楚地看出：甲（5﹣3）小時做的=乙（9﹣3）小時做的，也就是甲1小時做的=乙3小時做的。這樣借助線段圖就很清晰地看出甲、乙之間的關(guān)系，再借助轉(zhuǎn)化思想順利解決問題。

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在我們的課堂教學(xué)實踐中占有舉足輕重的位置，我們在教學(xué)中要不斷滲透數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感悟數(shù)學(xué)思想，體會數(shù)學(xué)思想，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

【作者單位：葉縣教體局工農(nóng)教研室河南】