基于Matlab的分形理論在醫學中的應用研究

俞凱君 李春

摘 ?要： 分形幾何已經在各種領域得到廣泛應用，分形分析是一種功能強大但仍未充分利用的數學工具。分形理論與醫學的實際應用之間的聯系是分形維數（FD）。本文介紹了分形和分形維的概念，基于Matlab以心圖形為例說明盒維數的計算過程。在此基礎上，就分形理論在心血管系統、肺部腫瘤、胎兒監護、中醫等醫學領域的近期研究進展作一回顧。結論：分形理論對于描述生物系統在任何水平的非常復雜的結構和行為非常有用，它也為非侵入性定量醫學診斷提供了一種實用的工具。

關鍵詞： 分形理論;醫學;分形維;研究進展

中圖分類號： R-1;TP39 ? ?文獻標識碼： A ? ?DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2019.08.027

本文著錄格式：俞凱君，李春. 基于Matlab的分形理論在醫學中的應用研究[J]. 軟件，2019，40（8）：111116

【Abstract】： Fractal analysis is a powerful but still underutilized mathematical tool that has been widely used in various fields. The link between fractal theory and the practical application of medicine is the fractal dimension （FD）. This paper introduces the concept of fractal and fractal dimension， taking the ECG as an example to illustrate the calculation process of box dimension based on Matlab. In this paper， the recent research progress of fractal theory in the medical fields such as cardiovascular system， lung tumor， fetal monitoring， and traditional Chinese medicine were reviewed. Fractal theory is useful for describing very complex structures and behaviors of biological systems at any level， and it also provides a practical tool for non-invasive quantitative medical diagnosis.

【Key words】： Fractal theory; Medical; Fractal dimension

0 ?引言

上世紀70年代由Benoit Mandelbrot創立的分形（fractal）理論是當今非線性科學的前沿課題，并被廣泛應用于自然科學和社會科學的諸多領域。作為“大自然的幾何學”[1]，分形的特征在于三個屬性：首先，自相似性，其中任何一小部分對象都是整體的精確復制品;其次，縮放分形在多個尺度上看起來是相同的（例如，在微觀和宏觀層面），這個屬性通常被稱為“尺度不變性”;第三，它們具有分數（非整數）維度。Weibel認為分形是生物有機體的設計原則，分形設計在結構和功能上都是很有效的，因為它需要很少的能量來維持自身[2]。因此，在自然界中隨處可見分形結構并不奇怪。天然分形的例子包括云，河網，斷層線，山脈，雪花，水晶，閃電，花椰菜，西蘭花和海浪[3]。分形模式也無處不在：數學[4]，工業[5]，股票市場[6]，氣候科學[7]，星系[8]，甚至我們觀看的電影和玩的游戲[9，10]。

人體結構是復雜的，包括呼吸道和支氣管分枝、部分心臟、腎臟系統、血管樹、毛細血管網、DNA、心跳、步態模式、心肌電傳導網[11]等……這些結構和生理系統具有幾何和功能的復雜性，具有分形特征。表征這些器官的一個精確的方法是通過數學建模，然而，只適用于光滑和規則形狀情況的歐氏幾何學無法解決這些問題， 因為在平直的歐式空間中維數是自然數[12]。在分形研究中，分形維數是定量描述分形的基本參量，它是標度變換下的不變量[13]。對于非線性系統，其分形維數通常是一個介于整數之間的分數或小數，并且超過它的拓撲維數。正是分形的這種特異性，所以它才在醫學領域中具有巨大的作用[14]。

1 ?分形與分形維

一般把在形態（結構）、功能和信息等方面具有自相似的研究對象統稱為“廣義分形”，把研究分形性質及其應用的科學統稱為“分形理論”[15]。

關于分形的準確定義，至今仍沒有得到統一。Mandelbrot在1986年提出了一個比較實用的定義[16]，即：組成部分以某種方式與整體相似的形，稱為分形。目前使用較多的是K. Falconner對分形的描述[17]（Kenneth Falconer，）：

（1）分形具有精細的結構和細節;

（2）分形極不規則，無法用歐式幾何理論進行描述;

（3）分形具有統計意義上的自相似性，局部與整體之間呈現出高度的一致性;

（4）以特定的方式定義的分形，通常其分形維數大于其拓撲維;

（5）在許多情況下，分形可以通過迭代、遞歸等方式生成。

分形理論與實際醫學應用之間的聯系是分形維數（FD）。維數是幾何對象的一個重要特征量，直觀地說，維數是為了確定幾何對象中一個點的位置所需的獨立坐標的數目，也即獨立方向的數目。在分形研究中，分形維數通常是一個介于整數之間的分數或小數。曲線的拓撲維為1，而隨著復雜程度增加，不同類型曲線的分形維的大小也不同，如下圖1。

分形維數以數值形式描述復雜事物的分形特征，既可以通過數值對事物的分形特征做定量判斷和區分，也可以通過具體數值對不同的事物進行分形特征分析[18]，因此其特點是方便、簡潔且直觀。這為分形的應用提供了十分有效的途徑及非常廣闊的空間。

分形維數的定義有很多種：盒維數、關聯維數、自相似維數、豪斯道夫（Hausdoeff）維數、信息維數及李雅普諾夫（Lyapunov）維數等[19]。在醫學應用方面，以盒維數的應用最為普遍。

1994年，基于Mandelbort的分形幾何理論，Sarkar與Chaudhuri提出了盒維數定義及算法這為包括醫學研究在內的非線性科學提供了新的思路，盒維數的基本定義是[20]：假設P是二維平面內任意一個非空有界子集，對于任意一個 ， 表示用來覆蓋P所需邊長為 的盒子數。若存在一個參數 ，使得當 時：

盒維數的出現，使得醫學研究中的非線性復雜問題的定量研究成為可能。經過短短幾十年的發展，分形在心臟病學、肺部腫瘤醫學、中醫學及胎兒臍血流多普勒信號等復雜的非線性醫學領域得到了很好的應用。

如圖2，以心圖形為例說明計算實現分形維數計算過程：用尺度 的逐漸縮小的正方形網格覆蓋心電圖。具體算法為：先選擇一系列邊長大小為 盒子對圖形進行覆蓋，計算出覆蓋住分形體的盒子數目 ，不斷縮小尺度 ，得出一系列不同尺度 對應的 和 ，如表1所示。

然后，根據數據組（ ， ），采用最小二乘法線性擬合并在雙對數坐標中畫出直線，其斜率即為分形維數 ，如圖3所示。

根據盒子計數算法，基于matlab軟件編寫程序計算程序，其算法邏輯的N-S結構流程如圖4。

2 ?分形與心臟病學

用于研究心臟生理信號的主分形方法（兩種單分形和一種多重分形）主要有以下三種，分別是：（1）使用傅里葉方法的冪律分析，該分析方法可以評估心跳間隔以產生功率譜密度（PSD）提取心律中的頻率諧波;（2）去趨勢波動分析（DFA），它測量嵌入在心跳間隔內的時間尺度之間的相關程度，即：它表征時域中的冪律縮放;（3）多重分形分析，其假設異質心率信號的不同子部分由局部特征表征，每個子部分具有不同的分形維FD（它還表征時域中的冪律縮放）。雖然這些方法的操作域（頻率與時間）不同，但它們的分形測量確實相互關聯，并且以簡單的方式與總體FD相關[21]。

在心臟電生理學中，需要將體內成像技術與計算機建模相結合以精確地重建復雜人體Purkinje網絡的3D幾何結構，這些技術可以支持單心室或雙心室起搏，射頻消融和心臟除顫的個性化策略的設計。Purkinje網絡的手動生成相當復雜，并且十分耗時，因此電生理學家和生物工程師已經合作開發分形樹算法，以更真實地模擬人類心臟博動序列[22]。

最新研究表明分形維（FD）可能在臨床超聲心動圖中發揮作用，分形分析已經應用于經胸超聲心動圖圖像。例如，一項研究使用基于紋理特征提取來自動檢測心肌梗死區域[23]，“Texton”指的是自然圖像中的基本微觀結構或與人類視覺感知相關的圖像紋理的微妙結構[24]。該研究使用的算法檢查了心臟的單個超聲心動圖視圖中的微小像素變化，它總共使用了八個特征，其中一個特征基于分形分析，將表面粗糙度測量為分形維（FD）[25]。160名患者（50%患有梗死）的結果特別有希望，因為該方法是自動化的，需要操作員手動定義要評估的圖像部分。

心臟生理學分析方面，嵌入健康人體心率和血壓功率譜的信號是隨著時間的推移具有三個功率分量的特征頻率狀態：反映呼吸波動的高頻分量，低頻分量和非常低頻分量。這些復雜信號中的不規則性可以用分形測量定量描述，它們在多個水平上可以自主調制[26]。通常，心率變異性的喪失預示著更高的死亡率[27]，結果有助于心臟病的診斷、表征和分類，了解患者的不良事件風險（惡性和非惡性心律失常，心源性猝死）。

3 ?分形在肺部腫瘤的應用

腫瘤是以細胞異常增殖為特點的一大類疾病，常在機體局部形成腫塊。腫瘤生長的隨機性使其呈現出不規則的形狀[28]，用分形理論對腫瘤進行描述，成為醫生判斷腫瘤惡變程度的一個有效指標[29]。更為重要的是，使用分形分析能夠在整體腫瘤大小或體積發生任何可檢測的變化之前檢測分形維（FD）的變化，對腫瘤內部微血管和外部輪廓分形維（FD）值的測定可作為腫瘤發生發展的臨床指標之一，對腫瘤的預測和治療評價有重要的意義[30-32]。

Al-Kadi[33]提出了一種計算機輔助決策支持系統，用于分析腦腫瘤的組織病理學圖像。該分析方法首先將圖像分解成小波包，每個小包表示不同的長度尺度。小波分解是一種類似于更常見的傅里葉變換的數學表示：在后者中，“信號”根據不同空間頻率（長度尺度）的正弦和余弦進行分解;在前者中，使用小波代替，小波是更廣義的振蕩函數，可以形成完整的正交集（包），并可用于表示數據。然后可以使用分形分析來選擇表示最佳圖像的區別特征的一組分組。圖像的傅立葉變換的結果本身是圖像，但是在傅立葉空間中，也稱為k空間。以類似的方式，圖像的小波分解產生進一步的圖像，每個小波包產生不同的圖像，然后使用分形幾何來分析這些第二代圖像，以確定哪個包更完整和準確地描述原始醫學圖像。這種方法強調分形分析不僅可以應用于原始圖像或最小處理圖像，而且可以應用于從它們派生的高階數據集。此外，該方法消除了對二值圖像的需要并保留了關于組織紋理的更多信息。上述方法可以很容易地應用于未來肺腫瘤組織病理學樣本的研究。實際上，基于與多種癌癥類型相關的這些報告，分形分析在肺癌組織病理學中的應用有可能提供關于癌癥的多個方面的臨床相關信息，包括血管形成，惡性腫瘤，甚至患者預后。

4 ?分形在中醫的應用

人們所看到的系統尤其是生命系統的復雜性可想而知，現代醫學中簡單的線性思維并不能解讀這一問題，而中醫卻具有分線性思維的分形特點[34]。

黃雁南[34]探討了分形幾何學、分形生理學和人體穴位分布的分形結構。汪慧敏[36]對人體穴位皮膚電的分維研究。

徐天成等[37-38]使用分形理論實現經絡數字化方法對經絡內涵的另一種方法，其做法是：基于傳統經絡腧穴學，引入混沌理論，應用分形幾何學，提出數字經絡的概念;以臨床常用的心經、脾經等經絡穴位為基本單元，遵循自相似法則構建數學公式，以C++語言編寫程序，繪制6條經絡主干的分形化經絡循行線，創建數字經絡;并提出檢驗的實驗方法，實驗得到部分傳統經絡的體表循行路徑可用數學方法表達，基于這種表達的計算機程序實現了 6條經絡的數字化，數字化的經絡呈現出傳統經絡未表達的細節。可見：混沌及相關理論技術是構建數字經絡的重要途徑之一，傳統經絡理論可實現數字化。

周德生等[39]利用分形理論將腦藏象理論分為腦髓腦室-腦臟腑系統、腦脈腦絡-腦經脈系統、官竅神竅-腦竅系統、泥丸九宮-腦神機系統、腦氣腦血腦脊液-腦精氣系統等5個方面。這種區別于功能神經學及神經生理學的腦藏象理論，從整體觀和分形觀角度闡釋腦功能的復雜性和實用性，形成一個中醫藥一體化語言系統平臺，能夠為中醫腦科臨床應用提供中醫特有的思維策略，開拓新的治療思路。

張季等[40]以分形理論為基礎設計實現計算數字化舌圖分形維數的算法，并運用這一算法計算標準環境下采集的431例數字化舌圖樣本數據分形維數。研究得出驗證結論：分形維數可作為數字化舌象紋理分析的有效參考參數，因其對舌苔的厚薄、腐膩等數字化舌圖圖像特征敏感，在增加樣本量的基礎上有望實現分類標準的制定。

5 ?分形在胎兒監護的應用

采用分形理論對胎兒心率和臍動脈血流多普勒信號進行分析，對于實時監測孕婦及胎兒健康狀態具有十分重要的理論意義和應用價值[41-43]。

通過胎兒監測獲得的心率模式的解釋依賴于基線的定義，該基線被認為是胎兒休息期間缺乏外部刺激時的連續平均心率。J.C. Echeverriaa[44]提出了基線波動的妊娠研究，涉及分形和非線性特性，以根據成熟的監護機制引入的時變基線水平來評估這些波動。晚上長時間記錄（>6 h）時，每周從17至38周檢查一次低危妊娠。胎兒平均心率樣本和相應的基線系列從原始腹部ECG非臥床數據獲得。應用去趨勢波動分析對這些系列數據進行分形特征評價。還可通過應用縮放量和符號分析來探索基線系列以評估非線性特征和時間序列。研究的主要發現是：基線顯示分形特征甚至非線性反相關波動特性，妊娠中期出現這種情況（甚至更早期這種情況尤其如此）。妊娠30周后變得明顯更復雜，結構化（即非隨機）波動和特定的非線性變化表明，基線提供了有關心臟調節機制功能整合的信息。

Spilka，等[45]利用分形理論對胎兒心率進行非線性特征分類，將常規方法和非線性特征方法對217個胎兒心率記錄信號進行分析。研究結果表明：非線性特征的增加提高了分類的準確性。進一步評估了常規胎心率特征，并將其與非線性特征進行了比較，以、以此分析出產時胎兒心率（FHR）分類的重要性。研究證明，增加非線性特征可以提高胎心率分類的準確性。使用常規和非線性特征的組合來實現最佳分類結果，靈敏度為73.4%，特異性為76.3%，F-測量為71.9%。選擇最佳的非線性特征是：Lempel Ziv復雜性，樣本熵和通過Higuchi方法估計的分形維數。由于自動胎心信號評估的結果比較容易重現，因此胎兒心率（FHR）評估的過程可能會變得更加客觀，并且可能使臨床醫生能夠專注于在分娩過程中影響胎兒的其他非心率方面的參數。

在分形理論對臍動脈血流多普勒信號分析研究方面，Kara S等[46]對20名孕期為18到20周的胎兒臍動脈多普勒血流信號記錄，基于豪斯特指數的正常孕期臍動脈多普勒信號的分形分析。結果顯示：從分形維曲線上得到的多普勒參數比從最大速度曲線上獲得的多普勒參數敏感，因此，分形維技術可以改善血流速度變化的檢測。為了證明分數維是一項較好的臍動脈血流參數，吳曉峰等[47]通過對100多例胎兒臍血流信號的分析研究，計算了心動周期內超聲多普勒音頻信號的分維值，并對超聲多普勒信號的分維特征進行統計分析，結果表明：分維值對某些病癥具有敏感性，甚至優于現有的聲譜參數法。Latifo?lu F等[48]記錄來自20名妊娠18至20周正常妊娠婦女的臍動脈的多普勒信號，并使用Hurst指數計算分形維數曲線。其中，RI、PI和S / D指數是根據多普勒超聲波圖的最大頻率包絡和分形維數曲線計算出來的，結果表明：從分形維數曲線得到的多普勒指數與從最大速度曲線得到的多普勒指數一樣敏感。PSD（HURST）指數比傳統的多普勒指數更靈敏地檢測血流變化。

6 ?總結

分形理論在醫學上的應用遠不止以上幾個方面，如在醫學影像多重分形分析圖像分析（包括邊緣檢測、圖像分形壓縮、圖像分割、圖像識別、紋理分析）[49]、心律失常和腦電信號的多重分形去趨勢波動分析、視網膜圖像識別、糖尿病視網膜病變等更為廣闊的領域均已有很大的研究進展。

分形幾何對于描述生物系統在任何水平的非常復雜的結構和行為非常有用[50]，分形理論也為非侵入性定量醫學診斷提供了一種實用的工具。

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