小學數學習題設計要立足數學本質的把握

葉建云

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）在“課程內容”中提出十大核心概念：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。《中國學生發展核心素養》指出：核心素養以培養“全面發展的人”為核心，分為文化基礎、自主發展、社會參與3個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新六大素養，具體細化為18個基本要點。史寧中教授認為，現在討論核心素養，很難討論得特別清楚，但是有一句話是非常好的，就是培養一個孩子，這個孩子可能未來不從事數學，那培養的終極目標是什么呢？終極目標就是學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。也有不少學者認為，《課程標準》在“課程內容”中提出的十大核心概念就是小學數學核心素養培養之目標。

以上簡短的一段話里，有三組關鍵詞：第一組——課程內容，十大核心概念;第二組——中國學生發展核心素養，六大素養，18個基本要點;第三組——終極目標，數學的眼光，數學的思維，數學的語言。

這三組關鍵詞又會產生這幾個值得深思的問題：十大核心概念就是小學數學核心素養培養之目標嗎？如果要落實《中國學生發展核心素養》，一定要靠學科核心素養來支撐嗎？史寧中教授提出的一個孩子學習數學的終極目標，就是數學學科學習的學科核心素養嗎？

我們先來看看以下兩道習題的設計及其在課堂教學中的場景。

【教學案例1】

一位教師在教學北師大版五上第53～54頁“平行四邊形的面積”時，設計了這樣一道習題（選擇題）。

把一個平行四邊形沿著高剪開，再拼成一個長方形，它的周長（? ），面積（? ）。

A. 比原來小? ?B. 和原來相等

C. 比原來大? ?D. 無法判斷

在學生練習過程中，對于“面積（ ）”這一選項，大部分都知道選擇正確答案B。但是，對于“它的周長（ ）”，則4種答案都有學生選擇。這時，教師在學生小組討論后，讓不同意見的學生代表上臺發言。選答案A的學生：“看上去，兩條斜的邊變成了兩條短的邊，兩條底都還在，因此周長變小。”選答案B的學生一邊用兩只手的四根手指進行演示一邊介紹：“大家看我的手指變化——這四根手指圍成了一個平行四邊形，我把它拉成一個長方形，它的周長沒有一點變化！因此，周長和原來相等。”選答案C的學生：“因為你把平行四邊形沿著高剪開，再拼成一個長方形，平行四邊形肚子里的高就跑邊上去了，就變成周長的一部分了，因此，周長比原來大。”選答案D的學生：“感覺前面三種答案都有問題，因此我們無法判斷。”

在課后的交流中，不少聽課者問起教師本道習題的設計意圖，他認為，在本課的學習中，學生剛知道了如何求平行四邊形的面積，設計這一道習題，讓學生判斷周長的變化，在學習面積的基礎上，既復習了周長，又可以進一步培養學生的觀察能力，培養學生的空間觀念和推理能力，還讓學生學會用數學的思維思考現實世界，從而培養學生的核心素養。

從該教師的回答中，我們可以看出，他是有認真學習《課程標準》的十大核心概念，也應該對《中國學生發展核心素養》有所了解，還善于閱讀，知道史寧中教授提出的“數學的眼光，數學的思維，數學的語言”。可是，問題出在哪里呢？

北師大版小學數學教材有一個明顯的特色是“情境+問題串”。本節課的教材里，通過智慧老人，呈現第一個問題（圖1）。

這個問題，直指本課學習的關鍵，讓學生思考后明白：拼成的長方形與原來的平行四邊形的面積相等。接著，教材出示另一個問題：“怎樣求平行四邊形的面積？想一想，并與同伴交流。”（圖1）

在這里，兩個先后出現的問題指向非常明確：一個指向轉化前后的面積相等，一個指向求平行四邊形的面積轉化成求長方形的面積。簡單地說，這兩個問題均指向本節課的數學本質——面積的意義與求法。回到我們前面分享的教學，教師在這里設置的面積變化情況的判斷，是可以起到知識鞏固的作用，但是關于轉化前后周長的判斷，在學生才剛剛學習了平行四邊形的面積，急需要鞏固與加深對平行四邊形面積公式的推導過程的理解與認知時，這樣的判斷實質上干擾了學生對于平行四邊形面積求法的把握，教學效果自然欠佳。本道習題設計，即使在期末復習階段或期末測試使用，也不妥——它或多或少干擾了學生對平行四邊形面積求法的把握。那么，在平行四邊形的面積教學過程中，可以設計什么樣的與周長有關的練習呢？以下兩道習題可以嘗試。

1. 把一個平行四邊形沿著對角拉成長方形，它的周長（? ），面積（? ）。

2. 把一個長方形沿著對角拉成平行四邊形，它的周長（? ），面積（? ）。

以上兩道習題，部分學生可能容易產生混淆，可以讓學生們用四支鉛筆或用自己的兩只手的四根手指像例1教學時選答案B的那位學生演示的那樣演示幾遍，由于操作簡便、直觀，學生能很快發現轉換過程中底與高的“變與不變”的信息，自然就明白其中的數學道理了。這樣的習題設計及教學，讓學生在動手操作中觀察、明理，切實培養了學生的應用意識，讓學生嘗試“學會用數學的眼光觀察現實世界”，自然而然地在學習過程中發展核心素養。

【教學案例2】

一位教師在教學北師大版四下第9～10頁“比大小”（小數的大小比較）時，設計了這樣一道習題。

用3，5，9，0組成的最大的小數是（? ）。

在教學過程中，學生們基本上分成兩大陣營：有的說是9530，有的認為是9503，誰也說服不了誰。有趣的是，聽課教師隨后在評課中，也和兩類學生的想法一樣，明顯地分成兩大陣營。筆者總結了部分觀點。

觀點1：小數是實數的一種特殊的表現形式，它由整數部分和小數部分組成，這是小數的形式。但從意義上看，把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……表示這樣的一份或幾份的，叫小數，其中一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾。基于此，這題的答案應該是9503。

觀點2：形如9、78、953這樣的數是整數;形如85、107、9530、95300這樣的數是小數。從數學角度看，在表達整數和小數的時候，所用的符號不同，有小數點，并且小數點后面有數字的數是小數，只有整數部分的數是整數。在現實情境中，953和9530表示的意義不一樣，953可以表示953個人，而不用9530個人;測量時，9530米和95300米雖然相等，但區別很大。所以這題的答案應該是9530。

觀點3：根據《數學辭海》中有關“小數”的條目：小數是非整（實）數的一種表示方式，小數a必可表示成a=b+c形式，其中b是整數，而且0

觀點4：生活中處處有小數。例如，生活中的20、200，難道說，它們就不是小數了？小數的基本性質，充分說明小數的末尾是可以為0的。書中所載應與時俱進。這里判斷為9530，有利于學生對小數意義的理解。

觀點5：第一，從小數本身的意義講，650和6500意義是不一樣的，分別是保留一位小數和保留兩位小數;第二，這樣的題目本身意義不大，屬于人為編造的題目，建議少花時間，不要把智慧用在這上面;第三，如果這個題目一定要給出一個答案的話，我認為9530是對的。

觀點6：在精確數的范圍中，是9503;在近似數的范圍中，是9530。數學命題一定是有前提條件，出這樣的題目價值不大。

從上述觀點可以看出，確實，本道習題出現爭議，不是學生數學知識有問題，也不是教師的數學認知有問題，應該是“出這樣的題目價值不大”。試想一下，如果這樣出題：用3，5，9，4組成的最大的一位小數是什么？一是可以考查學生對小數意義的理解，二是可以考查學生對小數大小的比較方法，一舉兩得。對學生小數意義的理解的考查，應該是這類習題設計所要考慮的數學本質。這樣的習題設計，讓學生在應用過程中進一步理解了小數意義，發展了學生的數感，培養了學生“數學的思維”。如例2中所示教學過程，這里出現的“0”，干擾了學生對小數意義這一數學本質的把握，得不償失。同時也讓核心素養的培養成為一句空話。

以上兩例關于習題設計的案例說明，教師在數學教學過程中，心中要有《課程標準》理念，心中要有核心素養。將名家教學思想、教學智慧作參考是對的，是應該要堅持的，但是，不論是素質教育、有效教學或基于核心素養背景下的小學數學教學，一定要有一個前提，那就是要立足學生學情，立足數學本質的把握！

（作者單位：廣東省深圳市寶安區官田學校）