一個包含完全數(shù)的非線性Euler函數(shù)方程的解

申江紅，高 麗，張明麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

如果一個數(shù)恰好等于它的因子之和，則稱該數(shù)為完全數(shù)，第一個完全數(shù)是6，第二個完全數(shù)是28。對于Euler函數(shù)φ(n)方程解的研究一直以來都是數(shù)論方向的重要領(lǐng)域之一，對于形如

φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))

(1)

的Euler函數(shù)φ(n)的線性方程有著一定的研究。文獻(xiàn)[1]討論了k為素數(shù)時的情況，給出了k=3時的部分解；文獻(xiàn)[2]給出了k=3時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[3]給出了k=4時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[4]給出了k=4,6時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[5]給出了k=5時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[6]給出了k=7時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[7]給出了k=8時方程(1)的全部解；文獻(xiàn)[8]給出了k=9時方程(1)的全部解。

本文將討論一個包含完全數(shù)的非線性Euler函數(shù)方程：

φ(mn)=φ(m)+28φ(n)+28

(2)

的解，并給出其全部34組解。

1 定理及其證明

定理方程(2)有解：(m，n)=(196，3)，(294，3)，(37，15)，(37，16)，(37，20)，(37，24)，(37，30)，(57，16)，(57，20)，(63，16)，(63，20)，(74，15)，(76，15)，(44，10)，(50，8)，(50，12)，(66，8)，(66，10)，(58，4)，(58，6)(33，39)，(33，45)，(33，72)，(33，78)，(33，84)，(33，90)，(66，39)，(66，45)，(44，8)，(44，12)，(29，87)，(29，116)，(29，174)，(58，87)。

證明設(shè)gcd(m,n)=d，則φ(d)=m1φ(d)，

φ(n)=n1φ(d)，其中m1,n1∈Z+。由方程

φ(d)(dm1n1-m1-28n1)=28，從而有

φ(d)=1，2，4，14，28。

情況1φ(d)=1。

此時有dm1n1-m1-28n1=28，由φ(d)=1，可得d=1,2。

當(dāng)d=1時，有m1n1-m1-28n1=28，從而有(m1-28)(n1-1)=56。根據(jù)因式與因數(shù)所有可能的關(guān)系，建立關(guān)系式從而得到：

當(dāng)d=2時，有2m1n1-m1-28n1=28，從而有

(m1-14)(2n1-1)=42，因而有

情況2φ(d)=2。

此時有dm1n1-m1-28n1=14，由φ(d)=2，可得d=3,4,6。

當(dāng)d=3時，有3m1n1-m1-28n1=14，從而有

(3m1-28)(3n1-1)=70，因而有

此時gcd(m,n)≠3，從而方程(2)無解。

此時gcd(m,n)≠3，從而方程(2)無解。

當(dāng)d=4時，4m1n1-m1-28n1=14，從而有

(m1-7)(4n1-1)=21，因而有

此時gcd(m,n)≠4，從而方程(2)無解。

當(dāng)d=6時,6m1n1-m1-28n1=14，從而有(3m1-14)(6n1-1)=56，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時方程(2)無解。

情況3φ(d)=4。

此時有dm1n1-m1-28n1=7，由φ(d)=4，可得d=5，8，10，12。

當(dāng)d=5時，有5m1n1-m1-28n1=7，從而有

n1φ(d)=8，則m=29，58；n=15，16，20，24，30。此時gcd(m,n)≠5，從而方程(2)無解。

當(dāng)d=8時，8m1n1-m1-28n1=7，從而有

n1φ(d)=4，則m=25，33，44，50，66；n=5，8，10，12。此時gcd(m,n)≠8，從而方程(2)無解。

當(dāng)d=10時，10m1n1-m1-28n1=7，從而有

n1φ(d)=20，則m=13，21，26，28，36，42；n=25，33，44，50，66。此時gcd(m,n)≠10，從而方程(2)無解。

當(dāng)d=12時，12m1n1-m1-28n1=7，從而有(3m1-7)(12n1-1)=28，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時方程(2)無解。

情況4φ(d)=14。

此時有dm1n1-m1-28n1=2，由φ(d)=14，可得d無解，從而方程(2)無解。

情況5φ(d)=28。

此時有dm1n1-m1-28n1=1，由φ(d)=28，可得d=29,58。

當(dāng)d=29時，有29m1n1-m1-28n1=1，從而有

n1φ(d)=56，則m=29，58；n=87，116，174，從而方程(2)有解(m，n)=(29，87)，(29，116)，(29，174)，(58，87)。

當(dāng)d=58時，58m1n1-m1-28n1=1，從而有(29m1-14)(58n1-1)=43，不存在m1,n1∈Z+使得其情況成立，此時方程(2)無解。

2 結(jié)語

Euler函數(shù)φ(n)是數(shù)論中的一類極其重要的函數(shù)，有關(guān)此類方程的解的研究也是數(shù)論方向的活躍課題之一。本文給出了一個包含完全數(shù)的非線性Euler函數(shù)φ(n)的方程φ(mn)=φ(m)+28φ(n)+28的全部34組解。