基于馬爾科夫鏈的三峽樞紐船型結構預測

盧文昌，張培林

（武漢理工大學 交通學院，湖北 武漢 430063）

1 引言

三峽樞紐是連接長江上游和中游的關鍵節點，極大地促進了長江上游和中游的航運發展，對黃金水道起到至關重要的作用。但隨著貨運需求的不斷增長，船舶過閘供需矛盾日益突出[1]。三峽船閘設施設備已連續多年處于高負荷運行狀態，已進入檢修高峰期，船舶待閘成為常態。自2011 年首超設計能力以來，三峽船閘停航檢修次數持續增多，待閘時間也不斷增加。2017 年南線船閘停航33 天檢修，三峽南線船閘單線運行通過能力僅為正常時期的40%，此期間船舶只能通過水深較淺的三江航道，船舶平均待閘時間由2011 年的17h 增加到106h，每天待閘成本超過千萬。預計十四五期“645工程”建設完工，宜昌-武漢段航道水深提升至4.5m，萬噸級船舶將全年通航。過閘船舶進一步大型化，5 000噸級以上船舶約占41%，平均噸位達4 337t，2010-2017年年均大型化率約11%，給船閘工作人員增加了工作負擔和難度。未來船閘通航船舶如何發展，是解決三峽樞紐運輸瓶頸問題必須考慮的重要因素。

關于三峽樞紐的船型結構目前沒有人研究過，但從結構演化角度看，一般使用馬爾科夫鏈模型和解釋結構模型來研究。裴彧[2]為了彌補灰色馬爾科夫預測模型自身的不足，首次將新陳代謝模型與殘差優化的灰色馬爾科夫模型結合，從而達到修正灰色模型的目的，并應用到橋梁健康狀態的預測當中。朱會霞[3]等采用馬爾科夫模型和區間自適應遺傳算法建模，進而預測出東北三省產業結構。潘杰[4]等采用滑動無偏灰色GM（1，1）和馬爾科夫鏈建模，對灰色模型的殘差相對值用馬爾科夫鏈進行修正，進而預測出2017 年西安地鐵二號線客流量。劉宗明[5]等采用灰色GM（1，1）和馬爾科夫鏈模型建模，對灰色模型的殘差絕對值序列用馬爾科夫鏈模型進行調整，最終得出太原市漪汾橋斷面的交通量。馬彩雯[6]等采用灰色GM（1,1）和馬爾科夫鏈模型建模，利用積分思想對灰色模型背景值進行優化，修正灰色模型殘差，從而預測出2016 年我國鐵路客流量。劉曉琴[7]等采用馬爾科夫鏈模型和統計估計法建模，預測出2007 年北京西站鐵路春運客流量。彭艦[8]等提出了基于馬爾科夫鏈的輕軌乘客軌跡預測新算法，結合貝葉斯分類器、最近一次出行軌跡與常住地的關系，預測出下次出行軌跡。賈云蒲[9]根據單線地鐵客流增長的規律與特征，采用灰色Verhulst模型預測西安市地鐵2號線客流量，通過對原始數據進行對數變換，再利用馬爾科夫模型進行修正，最終得到誤差更小的預測結果。Antoni Wilinski[10]在函數值的字段中創建具有固定長度和固定劃分為間隔的時間窗序列，優化目的在于找到最佳窗口長度、窗口數量和間隔數量，以提高轉換矩陣的預測效率，一階馬爾可夫鏈和二階馬爾可夫模型的測試取得了良好的結果。Zhenxiang Xing,Han Zhang,Yi Ji,Gong Xinglong,et al[11]基于自適應Metropolis 算法（AM-MCMC）來解決CM中單個模型的權重，并獲得權重的概率分布和所有權重的聯合概率密度，最后獲得最佳重量組合。Pangun Park[12]綜合考慮感測鏈路、致動鏈路和恢復機制，通過馬爾可夫鏈建模，對模擬結果進行評估。受上述成果的啟發，本文通過數據采集處理，構建馬爾科夫鏈模型，預測出2020、2030、2040 年和穩定年的三峽樞紐船型結構。

2 三峽樞紐過閘船舶結構分析

三峽樞紐過閘船舶多種多樣，代表船型有3 000噸級油船、300TEU集裝箱船、5 000噸級普通貨船等，具體見表1。

表1 三峽樞紐過閘代表船型

按船舶類型、船舶噸級和船舶尺度三個方面對過閘船舶進行分析，主要如下：

（1）船舶類型結構。2008-2017年三峽船閘過閘船舶類型比例變化如圖1 所示。船舶運力以單船為主，船隊被淘汰的格局基本不變。目前客船占比雖年均遞減7%，但隨著普通客船和客貨船的基本淘汰，旅游市場的開放及旅游客船的快速增長，未來客船占比將有上升的趨勢；隨著國家經濟發展和產業結構的調整，危險品船、商品車船、多用途船和集裝箱船的占比有上升態勢，普通貨船占比總體上有下降趨勢；非運輸船舶占比仍有持續減少趨勢。

圖1 2008-2017年三峽船閘過閘船舶類型比例圖（單位：%）

（2）船舶噸級結構。2008-2017年三峽樞紐過閘船舶噸級結構如圖2所示。過閘船舶以3 000t為界，3 000t以下的船舶持續下降，3 000t以上的船舶穩步上升。3 000t 以下的船舶由2008 年的90.8%減少到2017年的32.5%，年均遞減率10.8%；3 000t及以上的船舶由2008 年的9.2%增加到2017 年的67.5%，上升了6.3 倍，年均遞增24.6%。5 001t 及以上的船舶增長尤為顯著，增長了約32倍，已成為目前占比最大的船型。

圖2 2008-2017年三峽樞紐過閘船舶噸級結構（單位：%）

（3）船舶尺度結構。2014-2016年三峽樞紐過閘船舶尺度比例如圖3 所示。2014-2016 年，三峽樞紐過閘船舶低于30m 長的比例由2.4%增加到6.0%，上升了1.5 倍，年均遞增57.7%；30-50m 的比例由0.1%增加到1.7%，年均遞增3.1 倍；50-90m 的比例由33.8%減少到33.34%，年均遞減0.6%；90-180m 的比例由63.7%減少到58.9%，年均遞減3.8%。

圖3 2014-2016年三峽樞紐過閘船舶尺度結構（單位：%）

3 馬爾科夫鏈模型

3.1 模型簡介

馬爾科夫鏈是一組具有馬爾科夫性質的離散隨機變量的集合。它描述了一種狀態序列，序列中每個狀態值只與前面的有限個狀態有關，與其他因素無關；隨機變量的所有可能取值，都在“狀態空間”這個集合內。馬爾科夫性質可用一個恒等式表示，即P（Xn+1=x|X1=x1，X2=x2，...，Xn=xn）=P（Xn+1=x|Xn=xn），這里x 為隨機過程中的某個狀態，也被稱為“無記憶性”。

馬爾科夫鏈中隨機變量的狀態隨時間的變化被稱為“演化”或“轉移”。隨機變量間的條件概率被稱為“轉移概率”，有單步轉移概率和n步轉移概率兩種形式，分別如下：

若一個馬爾科夫鏈的狀態空間是有限的，則可在單步演變中將所有轉移概率按矩陣排列，得到轉移矩陣：

一些馬氏鏈經過長時間的演變，會到達一種平穩的狀態，稱之為平穩分布，這種馬氏鏈稱為正則鏈，且正則鏈存在唯一的平穩分布。若狀態空間內的某個概率分布π 滿足π=πP，且0＜π（si）＜1,‖π‖ =1，則π 是該馬氏鏈的平穩分布。式中P=（Pi，j）是轉移矩陣和轉移概率，該方程也被稱為平衡方程。若某個概率分布π 滿足π（si），則該分布是馬氏鏈的極限分布。極限分布與初始分布無關，且一定是平穩分布，反之不成立。

3.2 模型構建

求解馬氏鏈的關鍵在于求解轉移概率矩陣，求解方法一般有統計估計法、線性方程組法、多元回歸法等方法。統計估計法要求采集大量樣本，樣本數過少或不具備代表性都會影響模型精度，同時采集大量樣本耗時耗力，估計狀態轉移概率也相當繁瑣，統計誤差較大。線性方程組法必須對每個方程進行顯著性檢驗，若不顯著，則必須采用其他方法計算，使計算過程更加繁瑣。多元回歸法需要考慮很多影響因素，計算量大且復雜。總之，這幾種方法都存在著些許不足。

與上述研究方法不同，筆者利用簡單有效的最小二乘法求解轉移矩陣，以誤差平方和最小為目標函數，轉移概率的非負性和歸一性為約束條件，建立非線性規劃模型，如下：

利用n 步轉移矩陣的性質即可預測出任意時刻的狀態，即：

求出概率轉移矩陣P0后，再用平衡方程即可求出平穩分布πk。

式中，δ 表示誤差平方和，矩陣A 表示船舶結構樣本數據，A 中的某一行表示某一年的船舶結構數據，aij表示船舶結構數據中第i 行的第j 種狀態，P0表示單步轉移矩陣，Pij表示第i 種狀態向第j 種狀態的單步轉移概率，s.t.表示約束條件，πk表示船舶結構樣本數據的平穩分布。

4 三峽樞紐船型結構預測

4.1 模型求解

將圖1 中某一時刻三峽樞紐通航船舶的種類設為狀態，則狀態空間E1={客船，普通貨船，集裝箱船，危險品船，船隊，非運輸船}，它們之間的單步轉移矩陣為Pi（6×6）。把2008-2017年的船舶類型比例數據代入式（1）-（3），得出單步轉移矩陣P1、S2020（1）、S2030（1）、S2040（1）；根據正則鏈的判定條件，馬氏鏈M1是正則鏈，故而存在唯一的平穩分布，代入式（4）計算出平穩分布π1，結果如下：

將圖2 中某一時刻三峽樞紐過閘船舶噸級設為狀態，則狀態空間E2={1 000t 及以下，1 000-2 000t，2 000-3 000t，3 000-4 000t，4 000-5 000t，5 000t 及以上}，它們之間的單步轉移矩陣為Pj（6×6）。把2008-2017 年的三峽樞紐船舶噸級比例數據代入式（1）-（3），得出概率轉移矩陣P2、S2020（2）、S2030（2）、S2040（2）；同樣的，馬氏鏈M2也是正則鏈，代入式（4）計算出平穩分布π2，結果如下：

匯總以上結果，見表2。

表2 三峽樞紐船型結構預測（單位：%）

4.2 模型檢驗

以2008 年的三峽樞紐船舶結構作為基準，對2009-2017年的船舶結構預測數據進行矯正，不斷優化概率轉移矩陣，直至誤差達到最小值，誤差統計見表3。由表3可知，每年誤差平方和總體呈下降趨勢，偶有反彈，類型結構和噸級結構總誤差分別約為1%和2%，模型精度已相當高，完全滿足使用要求。

表3 2009-2017年三峽樞紐船舶結構預測誤差統計（單位：?）

4.3 結果分析

三峽船閘過閘船舶從類型上看，主要是普通貨船、集裝箱船和危險品船，客船和非運輸船仍保持較低的份額，船隊運輸基本銷聲匿跡。平穩分布π1表明普通貨船、集裝箱船和危險品船的比例分別是54.8%、17.3%和21.9%，合計94%，符合現有船舶的專業化趨勢。由于旅游市場的逐步開放和普通貨船、客貨船的淘汰，旅游客船將占有一席之地，最終穩定在4.2%。非運輸船比例逐年下降，由于航道整治工程和公務船的存在不會完全消失，最終穩定在1.5%。船隊比例持續下降，最終完全消失。

過閘船舶從噸級上看，主要是5 000t 以上，尤其是10 000t 以上。隨著“645 工程”的建設完工，萬噸級船舶通航成為常態，船舶大型化趨勢顯著。平穩分布π2表明2 000-3 000t、3 000-4 000t 和5 000t 以上的船舶比例分別是13.1%、11.5%和63.0%，合計87.6%。1 000-2 000t 和4 000-5 000t 船舶比例持續下降，最終保持穩定，原因是重慶及以上河段受到水深限制，仍繼續使用這些噸位的船舶，無法持續加大或減小噸級。1 000t以下船舶已退出市場，原因是該船舶經濟性差，逐漸被大噸位船舶替代。

過閘船舶從尺度上看，主要是50m以上，尤其是90m以上，預計50m以下的船舶均會被淘汰。總之，未來過閘船舶主要是普通貨船、集裝箱船和危險品船，首先是10 000t 以上、船長90m 以上，其次是5 000-10 000t、船長50-90m。

尤其需要指出的是，任何模型都有其適用條件和適用領域，馬爾科夫鏈模型也不例外。馬爾科夫鏈僅研究某個時間序列的數據變化趨勢，沒有考慮其影響因素，建模有待進一步優化。同樣地，用于建模的樣本也在很大程度上決定了模型性能。本文以2008-2017 年的三峽樞紐船舶結構樣本數據作為計算基礎，樣本數量和代表性方面不一定是最優的，還需進一步尋優。采用非線性規劃模型求解轉移矩陣是一種行之有效的方法，但不一定是最優算法，遺傳算法、神經網絡、模式搜索等智能算法的預測結果可能更優。

5 結論

綜合以上分析，得出如下研究結論：

（1）本文構建基于馬爾科夫鏈的三峽樞紐船型結構預測模型，由該模型預計2020 年、2030 年和2040 年的長江三峽樞紐船舶類型結構（客船：普通貨船：集裝箱船：危險品船：船隊：非運輸船）和噸級結構（1 000t 及以下：1 000-2 000t：2 000-3 000t：3 000-4 000t：4 000-5 000t：5 000t 及以上），最終保持穩定，分別為4.2:54.8:17.3:21.9:0.3:1.5和0:3.3:13.1:11.5:9.0:63.0。經過模型檢驗，本文預測結果具有較高的可信度，為研究解決長江三峽樞紐船舶擁堵和未來發展提供一定的參考價值。同時，與現有研究方法相比，具有計算簡單的優點。

（2）研究發現三峽樞紐未來過閘船舶主要是普通貨船、集裝箱船和危險品船，首先是10 000t 以上、船長90m以上，其次是5 000-10 000t、船長50-90m。客船和非運輸船仍保持較低的份額，船隊運輸基本銷聲匿跡。船舶噸級日益增大，年均增長率約11%，1 000t以下船舶退出市場。那么，長江三峽船舶結構是否一定存在穩定值？在何種條件下出現穩定值？本文得到的結果是否巧合？有待進一步探討。