基于工程應用的加肋板結構的振動特性分析

周海安

(山東理工大學 機械工程學院，山東 淄博 255049)

0 引 言

周期加肋板結構作為一類重要的工程結構形式，在艦船、機械、船舶及航空航天等領域的應用非常廣泛。加肋板結構可以顯著提高艦船及船舶等設備的力學性能及有效抵抗航行時的水流沖擊作用，在船體的上、下層板及船側外板中加肋板結構的應用較為普遍，因而其結構振動問題的相關研究在工程應用中具有重要作用，其中包含結構的聲振耦合效應。由于加肋板結構聲振領域問題的多樣性與復雜性，其結構振動響應及相關聲學性質是諸多工程領域的研究熱點。Lamb[1]，Maidanik[2]和Heckl[3]等對加肋板結構的振動響應或聲學特性進行了早期相關研究。其中，Lamb 分析了點力激勵下的單周期加肋板的彎曲振動；Maidanik 采用統計計算法分析了散射場內加肋板的振動響應性質，并探討了加強肋對結構輻射阻抗的影響；Heckl 研究了單周期加肋板結構的板內彎曲波的傳播性質，并分析了加強肋對板的阻尼作用以及彎曲波的衰減特性。

在周期結構振動特性的相關研究中，Mercer[4]較早采用傳遞矩陣法對單周期結構的振動性質進行了分析，Zhong 和Williams[5]則結合結構的周期特性進行分析，令其聲振問題的分析求解更加簡潔精確。Rumerman[5]分析了單周期加肋板的振動響應及板內彎曲波的傳播特性，并在文獻中將周期加強肋的數學模型等效成周期線力和線矩。Mead[6-7]和Mace[8-9]基于諧波法，研究了單、雙周期加肋板在諧振力激勵下的振動響應及聲輻射特性。其中，Mead[7]分析了板內彎曲波在傳播過程中由于結構振動及聲輻射而導致的能量衰減損失，然而文獻中所提出的方法沒有實現加肋板與水流體的流固耦合作用。此后，基于有限元方法，Mead[10]研究了一維耦合周期結構的振動響應性質，此方法在分析不同類型的周期結構時具有顯著優勢。結合離散傅里葉變換及結構周期理論，Maxit[11]研究了單周期加肋板結構在點力作用下的振動響應及輻射聲壓。Zhou 等[12]通過諧波法和格林函數分析了雙周期加肋板結構的振動特性及遠場輻射聲壓。Lee 和Kim[13]則基于諧波法對單周期加肋板結構的振動及聲透射特性進行了理論分析與計算。Legault 等[14]采用瑞利—李茲法(Rayleigh-Ritz method)等數學方法研究了周期加肋板結構在點激勵、平面聲波激勵以及隨機激勵狀況下的振動響應及聲學特性。金葉青[15]等通過數值截斷的方法對均勻流中考慮剪切變形的加肋層合板的聲振特性進行了研究。此外，Dozio[16]、李凱[17]和周俊平[18]等通過半解析半數值的數學方法分析了加肋板的自由振動或聲輻射特性。

對于無窮大模型的周期加肋板結構，考慮到結構的周期特性及流固耦合作用，在分析其相關聲振問題時，可以在周期單元拓展分析的基礎上，結合解析法或半解析法進行研究。本文通過諧波法和單、雙重傅里葉變換相結合的方法對諧振激勵力作用下的周期正交加肋板的振動性質進行理論分析，揭示了結構的振動響應特性，并分析了加強肋作用對結構的影響。

1 數學模型

無窮大模型的正交周期加肋板結構的上半空間充滿水流體，下半空間是空氣。在 x軸方向的加強肋沿直線 x=mLx周期分布，在 y軸方向的加強肋沿直線y=nLy周 期 分 布（ m,n=0,±1,···±∞ ）， Lx和 Ly分 別是2 個軸方向相鄰加強肋間的周期間距，周期加肋板的局部結構示意圖如圖1 所示。

周期加肋板結構受到隨時間 t周期變化的諧振激勵力f(x,y)exp(jωt)的作用，其函數方程式為

式中：

式中： Pf為激勵力幅值； ω為圓頻率； θ為激勵力與加肋板法向 z軸方向的夾角； φ為激勵力在 x-y平面上的分量與 x軸方向的夾角。

圖1 周期正交加肋板Fig. 1 Othogonally periodical rib-stiffened panel

加肋板結構的振動方程為（為了簡潔，均省略時間因子 exp(jωt)）：

式中： Eb, Ib,ρb, sb分別為加強肋的楊氏模量，慣性矩，質量密度和橫截面面積。

可壓縮流體中加肋板的輻射聲壓 prad(x,y,z)滿足Helmholtz 方程，并滿足加肋板結構與流體的邊界連續條件[10]

式中： ρ0為 水流體的質量密度； c 為水流體中的聲速。

2 傅里葉變換分析

為便于分析求解方程(3)，這里將采用傅里葉變換。由傅里葉變換的定義可知，對滿足傅里葉變換條件的任意函數 g(x,y)，其雙重傅里葉變換是

由泊松迭加公式，可得

由式(4)、式(7)和式(8)可得

同理可得

在式（10）～式（11）中

對式（5）和式（6）進行傅里葉變換，整理可得

由諧波分析法可知，雙周期加肋板結構的振動位移可表達為如下方程形式[10]

對式(14)進行傅里葉變換，可得

3 加肋板振動方程的求解

對式（3）進行傅里葉變換，并根據式（10）、式（11）和式（13），可得

由 δ函數的性質，可知

因此，由式（9）和式（19）可得

由式(14)得到周期加肋板結構振動位移的周期關系

根據式（18）和式（20）間的數學關系，并結合式（21），可得

由振動位移式(14)可知，加肋板結構沿 x=0直線上的振動位移關于變量 y的單重傅里葉變換是

因此，根據式（9），式（22）和式（23）可得

同理可得

將式（24）及式（25）代入式（16）中，可以得到方程

根據 δ函數的性質，以及式(15)和(26)，可得

式(27)是未知量 Wmn關于 m和 n的線性方程組。要求解Wmn，則需要對 m 和 n 進行截斷，令 m,n=0,±1,···±Q，Q為最大截斷整數項， Q必須保證加肋板振動位移的計算結果收斂。將 Wmn的值代入方程式(14)中，從而求解得到周期加肋板結構的振動位移。

4 算例分析

在算例分析中， 所用到的物理參數為：ρ=ρb=7 700 kg/m3， ρ0=1 000 kg/m3，c=1 500 m/s，E=Eb=2.01×1011×(1+0.02)j Pa，v=0.3，h=0.005 m，Pf=1 000 N，k0=ω/c。加強肋的橫截面為矩形，其寬度為0.005 08 m，高度為0.0508m，Sb=0.005 08×0.050 8 m2，且 Ib=5.549 8×10-8。通過計算分析發現當截斷項參數Q=20時，振動位移的計算結果已經收斂，誤差不超過1 %。

圖2 為薄板在激勵力頻率為 2 000 Hz，角度分別為θ=φ=π/4 和θ=π/4,φ=π/3 的情況下，在-1 ≤x,y ≤1區域的振動位移。

圖2 薄板的振動位移Fig. 2 Vibration displacement of the thin panel

圖3 為 周期 間距分別為Lx=Ly=0.2 和Lx=0.2,Ly=0.1的 加肋板在激勵力頻率為2 000 Hz，角度分別為θ=φ=π/4 和θ=π/4,φ=π/3的情況下，在-1 ≤x,y ≤1區域的振動位移。

相對于圖2 中的薄板結構，圖3 中的正交周期加肋板結構的振動位移具有顯著的二維周期特性，且由于加強肋的影響，加肋板的局部位置的振動位移變化較大。薄板及加肋板結構的振動受激勵力的幅值和相位角影響。加肋板內的振動彎曲波傳播角度的變化方向由角度 φ決定，從圖3(a) 和圖3(c) 中可以看出當φ=π/4 時，薄板中的彎曲波的傳播方向與 x 和 y軸成相同的夾角。此外，由于加強肋沿2 個軸方向的周期間距相等，因此3(a)中加肋板的振動位移沿 x 和 y軸方向上是一致對應的。當相位角 φ或某一個坐標軸上的加強肋的周期間距發生變化，如圖3（b）～圖3（d）所示，則加肋板沿 x 和 y軸方向的振動位移將不再具有對稱特性。與角度 φ不同，角度 θ可以改變結構的振動位移幅值大小，但不會改變板內彎曲波的傳播方向。

圖4 為薄板和周期間距分別是 Lx=Ly=0.2和Lx=Ly=0.4 的加肋板在諧振力頻率為1 00 ～6 000 Hz的范圍內，在不同位置點處的振動位移。

圖3 加肋板的振動位移Fig. 3 Vibration of the rib-stiffened panel

由圖4 可知，薄板在 (0,0)點的振動位移非常小，且在整個頻域區間其振動位移變化極小。在 (0.2,0.4)和(0.4,0.4)位置點處，薄板的振動位移隨頻率的增加其變化較為明顯，板內彎曲波可以順利通過。加強肋在100 ～3 000 Hz 的范圍內對薄板振動的影響作用較為顯著。相對于薄板各點的振動，加肋板結構各對應點的振動位移波動較大。當增大加強肋的周期間距之后，加肋板結構的位移曲線在較多頻率位置出現峰值或波谷，表明在一定范圍內周期間距的增大將會導致加強肋在不同頻率處增強對薄板的振動影響效果，并且由于加強肋周期間距的增大，使得加肋板結構的振動位移的峰值及波谷位置向低頻偏移。在高于 3 000 Hz 的頻率區間，加強肋對薄板的振動響應作用總體上減弱，加肋板振動位移的波動峰值減小，薄板與加肋板結構的振動位移曲線趨于一致。

圖4 不同位置點的振動位移Fig. 4 Vibration displacements at different points

5 結 語

研究了流體負載下的正交周期加肋板結構，在諧振力激勵作用下的振動響應。根據薄板和加強肋的邊界位移連續條件，以及泊松公式及傅里葉變換的應用，建立了周期加肋板結構的振動位移方程。通過諧波法，將加肋板的振動位移表達為關于無窮項諧波分量的迭加函數形式，并對諧波分量進行有限項數值截斷計算，從而求解得到加肋板的振動位移。在算例分析里，研究了加強肋對薄板振動響應的影響。計算結果表明，在所研究頻率范圍的較低頻域區間內，加強肋對薄板的振動響應影響較為顯著，在中高頻域區間的影響效果明顯減弱。此外，適當增大加強肋的周期間距將會導致加肋板結構的振動位移在更多頻率位置出現振動峰值或波谷。