含輸入和輸出時滯離散時間系統的最優跟蹤控制*

張 健，宿 浩，楊 清，杜攀攀，唐功友

(1.中國海洋大學信息科學與工程學院，山東 青島 266100；2.青島海西重機有限責任公司，山東 青島 266520)

嚴格來講，在實際應用中各類控制系統的時滯是無法避免的。一般而言，信號或物質傳遞存在時間延遲的系統都是時滯系統。在一個具體的控制系統中，輸入時滯和輸出時滯可能是由控制機構、執行機構及測量單元本身的運行方式造成的。對于小時滯系統，人們往往忽略時滯的影響。但對于較大時滯系統或對系統性能要求較高的系統，時滯的影響是不能忽略的。因此如何減小甚至消除時滯的負面影響成為備受關注的問題。文獻[1]研究了一類含多輸入多輸出非線性時滯系統的自適應神經網絡控制問題。文獻[2]研究了采樣數據控制下的時變時滯系統在輸入時滯受限條件下的同步問題。文獻[3]研究了一類存在輸入和跟蹤誤差限制的非線性時滯系統的自適應跟蹤控制問題。文獻[4]研究了含有時滯和數據丟包的離散時間神經網絡的H∞控制問題。文獻[5]為一類存在數據丟失和通訊時滯的網絡控制系統提出了一種自啟動采樣方案。文獻[6]針對一類含有多重子網絡并且每個子網絡都含有傳感器、控制器和執行機構的大規模分布式網絡控制系統，提出了一種解決時滯問題的方法。文獻[7]在解決高速網絡下時滯系統的擾動抑制問題時，使用了無時滯轉換的方法。

近年來在時滯系統的跟蹤控制領域也取得了很多研究成果。為解決不規則海浪沖擊下海洋平臺的跟蹤問題，文獻[8]提出了一種離散的含前饋和反饋的最優跟蹤控制策略。文獻[9]在對于含有時滯的分布式輸出反饋自適應神經網絡跟蹤控制問題的研究中，通過使用狀態變換的方法，保證了跟蹤性能。文獻[10]針對受外部擾動影響的時滯系統，在設計基于觀測器的最優跟蹤控制器時，使用了逐次逼近的方法。文獻[11]在跟蹤控制問題的研究中，使用了內?？刂频姆椒▉硌a償由時滯帶來的影響。文獻[12]研究了測量時滯對光電跟蹤伺服系統的影響，并提出了一種自校對的內?？刂坡?。在時變時滯系統位置跟蹤問題的研究中，文獻[13]構造了一個基于散射變換的控制器。在線性單輸入單輸出時滯系統的輸出跟蹤問題的研究中，文獻[14]使用了二階滑?？刂频姆椒?。

本文研究含控制時滯和被控輸出時滯的離散時間系統，在受到動態特性已知的外部擾動影響下的最優跟蹤控制問題。

1 系統模型

研究含有控制時滯和輸出時滯的受擾離散時間系統，其狀態空間表達式如下：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k-h1)+Dv(k),y(k)=Cx(k-h2),x(0)=x0,u(k)=0,k=-h-1,-h,-h+1,…,-1。

(1)

式中：x(k)∈Rn為狀態向量；u(k)∈Rr為控制向量；v(k)∈Rp為外部擾動向量；y(k)∈Rm為時滯系統的輸出向量。A、B、C、D分別為適當維數的常量矩陣；h1為控制時滯；h2為輸出時滯；h=h1+h2；x0為初始狀態。

外部擾動的離散化模型可由如下外系統描述：

w(k+1)=Gw(k),v(k)=Ew(k)。

(2)

式中：w(k)∈Rq(p≤q)為外系統的狀態向量；G,E為適當維數的已知常量矩陣；初始條件w(0)可以是未知的。假設擾動外系統(2)是漸近穩定的，即|λi(G)|<1。

(3)

(4)

我們選擇如下二次性能指標：

(5)

式中：Q∈Rm×m和R∈Rr×r為預先給定的正定矩陣。

由于系統(1)受到控制時滯、輸出時滯和擾動的影響，對于傳統的跟蹤問題，最優跟蹤控制律是不存在的。為設計最優方式下的控制律，我們引入一種變量代換，將含有控制時滯和輸出時滯的離散時間系統轉化為無時滯系統。從而，將原跟蹤問題轉化為相對應的無時滯系統的最優跟蹤控制問題。

2 控制系統無時滯轉化以及性能指標簡化

引入如下變量：

(6)

其中

(7)

系統(1)可轉化為形式上無時滯的離散時間系統

(8)

根據引入的變量(6)以及無時滯系統(8)，性能指標(5)可轉化為如下形式

2zT(k)G4w(k)-2wT(k)G3u(k)+

(9)

其中

(10)

3 最優跟蹤控制器設計

定理1 考慮含有控制時滯和輸出時滯的離散時間系統(1)、(2)及(3)，滿足性能指標(9)的最優跟蹤控制律可以表示為

(11)

其中P1為如下Riccati差分方程的半正定解

P1(N)= 0。

(12)

P2為如下矩陣差分方程的解

P2(N)= 0。

(13)

P3為如下矩陣差分方程的解

P3(k)=ATP1(k+1)DE-G5+ATP3(k+1)G+

(14)

其中

(15)

證明 根據化簡后的性能指標(9)，構造如下哈密頓函數

2zT(k)G1u(k)+2zT(k)G4w(k)+

2wT(k)G3u(k)+wT(k)G6w(k)}+

(16)

(17)

整理(17)中的第二式可得

(18)

將(18)代入(8)和(17)，我們得到如下TPBV問題

AT)λ(k+1),

λ(N)=0。

(19)

為解決上述TPBV問題，令

(20)

將(20)代入(18)可以得到(11)。將(11)和(20)代入(19)的第二式可以得到

{ATP1(k+1)DE-G5+ATP3(k+1)G+

(21)

4 控制器的物理可實現設計

注意到，在所提出的控制律(11)中，含有分別由參考輸入外系統和擾動外系統的狀態向量所組成的前饋項，其在物理上是不可實現的。在本節中，通過構造擾動外系統觀測器和參考輸入外系統觀測器，來實現對擾動外系統和參考輸入外系統的觀測，從而解決上述物理不可實現問題。

依據擾動外系統模型(2)，構造如下擾動觀測器：

(22)

(23)

依據參考輸入外系統(3)構造如下參考輸入外系統觀測器：

(24)

通過對w和z的重構，我們可以得到如下形式的最優跟蹤控制律

(25)

5 仿真算例

考慮由公式(1)描述的受擾離散時滯系統，其中

(26)

由公式(2)所描述的外部擾動外系統具體參數如下：

(27)

由公式(3)描述的參考輸入外系統具體參數如下：

(28)

公式(5)表示系統的性能指標，其中Q=5,R=1。圖1～3分別顯示了控制時滯h1=2，輸出時滯h2=1時，系統的跟蹤軌跡y，跟蹤誤差e及控制向量u的變化曲線。圖4～6分別顯示了控制時滯h1=3，輸出時滯h2=2時，系統的跟蹤軌跡y，跟蹤誤差e及控制向量u的變化曲線。表1給出了以上2種情況下的性能指標值。

表1 不同時滯下的性能指標Table 1 Performance index under different time delays

圖1 h1=2,h2=1時的參考輸入及系統輸出Fig.1 Reference input and output (h1=2,h2=1)

由仿真結果可以看出，當外部擾動漸近穩定時，隨著時滯的增大，控制質量會逐漸變差，在圖上表現為：時滯越大，相同時間點上對應向量的幅值越大。性能指標也會隨著時滯的增加而增大。但對于不同的時滯，系統輸出總能很好的跟蹤參考輸入，即跟蹤誤差能夠快速收斂到很小值。所以本文提出的含有控制時滯和輸出時滯的離散時間系統最優跟蹤控制律的設計方法是有效的。

圖2 h1=2,h2=1時的跟蹤誤差Fig.2 Tracking error(h1=2,h2=1)

圖3 h1=2,h2=1時的控制向量Fig.3 Optimal control law (h1=2,h2=1)

圖4 h1=3,h2=2時的參考輸入及系統輸出Fig.4 Reference input and output (h1=3,h2=2)

圖5 h1=3,h2=2時的跟蹤誤差Fig.5 Tracking error(h1=3,h2=2)

圖6 h1=3,h2=2時的控制向量Fig.6 Optimal control law(h1=3,h2=2)

6 結語

本文研究了在外部擾動的動態特性確定的條件下,含有控制時滯和輸出時滯的離散時間系統的最優跟蹤控制問題。利用模型轉換將原時滯系統轉化為形式上的無時滯系統，構造并整理了系統的二次性能指標，設計了系統的最優跟蹤控制律。