自制教具在初中數學課堂中的應用研究

劉健權 孫婧琦 焦寶聰 董黎明

摘? 要 初中數學課堂離不開抽象概念與具體事物的融合，在此基礎上，使用一定的教具不僅可以調動學生學習數學學科的積極性，更能培養學生的邏輯推理能力。首先分析自制教具在初中數學課堂中的應用現狀，然后介紹“拍賣現場”教具的制作過程和使用方法，并以初中博弈數學課堂為例，對該教具的應用原則進行詳細分析，最后對自制教具在初中數學課堂中的應用意義進行闡述，以期為相關主題的研究和實踐提供借鑒。

關鍵詞 自制教具;初中數學;邏輯思維;博弈思維;拍賣現場;3D One

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2019）07-0029-05

1 引言

初中數學課堂仍然是廣大學生學習數學知識的主要學習環境之一，而學生對于這些知識的掌握和遷移同樣離不開對于實際生活中相關數學概念的理解和應用。2017版數學新課程標準中提到：義務教育階段的數學課程應當培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。作為數學課堂教學的補充，恰當地選擇和使用教具不僅能促進學生理解相關的數學知識，還能夠體現新課程標準的要求。

在初中開展博弈思維課程，目的在于培養中學生的邏輯思維，即用有條理的、前后一致的思維方式思考和解決問題，以及在決策中考慮自身的實際需要。所以針對于此的教學活動與教學評價設計，便顯得尤為重要。在初中博弈數學課堂中使用相關的教學工具，不僅可以幫助學生深入地理解博弈的相關概念和應用，更能直觀地了解學生對于博弈相關知識的掌握情況，利于教學評價的量化處理，以期為優化初中博弈數學課堂的教學效果提供指導。同樣，初中階段的學生正處于活潑好動的年齡段，教師應該充分考慮學生的興趣，選擇的教具既要符合教學要求，也應該激發學生的學習興趣，從而使教具成為有效的輔助教學工具[1]。

2 自制教具在初中數學課堂中的應用現狀

教具是為提高教學質量而采用的教學輔助工具。傳統教具在初中數學課堂的使用較為廣泛，比如簡單的立方體教具、尺規教具等，從而幫助學生直觀地了解該教具所蘊含的數學知識。而自制教具則更加注重為某一知識點或某一學習內容而進行設計制作以及使用，如生物學科中的“生態瓶”、數學學科中的“四邊形組合”等。

自制教具在初中數學課堂中的研究和使用便不盡如人意。首先，自制教具同傳統教具一樣具有一定的局限性：教具只能針對某一種數學概念和知識給予從抽象到直觀的轉化，很難較為全面地涵蓋數學知識。其次，一部分初中教師已經逐步忽視使用教具的初衷，只注意課堂學習的多樣性，忽視了課堂學習的實效性。所以，自制教具在初中數學課堂中的應用并不夠廣泛，與其相關的研究也或多或少地停留在起步階段。

3 “拍賣現場”自制教具的設計與制作

拍賣是一種經濟活動，是由買方以公開叫價競購的方法，將現貨出售給出價最高的買主的一種買賣方式。拍賣本身是邏輯思維的一種應用，具體來說是邏輯思維中的博弈思維應用：你的出價應該小于或等于拍賣品對你的價值。當你的出價小于拍賣品對你的價值時，便得到相應的收益，如何使你的收益最大化，就是你的目標。而“拍賣現場”自制教具則通過模擬拍賣的活動，培養學生在競爭博弈中追求個體利益最大化的博弈思維，讓學生在學習博弈數學知識中領悟數學學習的樂趣。

“拍賣現場”自制教具的制作靈感和大致構造借鑒桌上游戲“達·芬奇密碼”：在游戲中，每個玩家持有一定的數字牌，玩家需隱藏數字密碼，猜透對手的密碼，推測可能的答案，打敗對手[2]。“拍賣現場”自制教具除了借鑒“達·芬奇密碼”的主體結構之外，還需要制作“籌碼幣”，即包括數字的木質圓片，以豐富自制教具的使用方法。

有關于相關軟件的安裝步驟和熟悉操作，本文不在此贅述。

1）使用3D One相關軟件進行“拍賣現場”自制教具的設計。目前，大部分二維以及三維立體自制教具的開發和設計都采用3D One相關軟件，而3D One相關軟件與其他軟件相比，確實具有操作簡單、界面直觀、功能全面等優點。3D打印機制作的教具也使學習情境更接近于真實情境[3]。據此，“拍賣現場”自制教具采用3D One相關軟件進行開發和設計。

①使用3D One軟件設計教具主體——“數字牌”。首先雙擊打開3D One軟件，單擊草圖繪制“矩形”，制作一個邊長為50 mm*30 mm的長方形;然后以該長方形的中心為參考點，再畫一個較小的長方形;單擊特征造型“拉伸”，對大的長方形進行加運算拉伸，然后選中較小的長方形進行減運算拉伸，完成四角環的設計。

然后以四角環的中心為參考點，制作一個與小長方形底面相同的立方體，將其移動至四角環中心，并通過旋轉傾斜一定的角度。在四角環的側邊畫一個三角形，進行減運算拉伸，以保證“數字牌”在制作出來后能夠立在水平面上。而后在平面的中心位置輸入數字，并進行拉伸操作。制作完成的“數字牌”軟件模型如圖1所示。

有關于“拍賣現場”自制教具中“拍賣品”的設計步驟不再進行贅述。

②使用3D One Cut軟件設計“籌碼幣”。首先雙擊打開3D One Cut軟件，單擊草圖繪制“圓形”，制作一個直徑為10 mm的圓;然后在該圓形的中心輸入不同的數字即

可。為了方便操作，可以通過單擊基本編輯“陣列”，采用陣列的方式依次更改所需要的數字即可。制作完成的“籌碼幣”軟件模型如圖2所示。

2）使用電腦軟件和相關硬件進行“拍賣現場”自制教具的制作。而后便是將設計好的自制教具制作成實物。該教具分別利用3D打印機和激光切割機來完成“數字牌”和“籌碼幣”的制作。

①使用3D打印機制作“數字牌”。將剛才在3D One軟件中設計好的“數字牌”以“.stl”的文件名后綴形式保存。本文采用的三維成品打印軟件為UP Studio。打開該軟件，將剛才保存好的文件拖入UP Studio的主界面，然后進行適當調整，如圖3所示。

初始化打印機完成后，單擊打印，等待成品制作成功。取出后上色即可。

②使用激光切割機制作“籌碼幣”。將剛才在3D One Cut軟件中設計好的“籌碼幣”以“.dwg”的文件名后綴形式保存。本文采用的激光切割軟件為Laser CAD。打開該軟件，將剛才保存好的文件拖入主界面，然后對其參數進行適當調整，如圖4所示。

單擊打印，在激光切割機上進行相關操作，待切割完成后取出成品即可。

“拍賣現場”自制教具的實物模型如圖5～圖7所示。

4 “拍賣現場”自制教具在初中博弈數學課堂中的應用

“拍賣現場”自制教具已在北京某所初中進行過實踐，以三人進行游戲最佳：一人作為裁判，兩人作為游戲中的博弈雙方。游戲的總體思路是：兩人通過競價的方式獲取游戲中的“拍賣品”，競價成功的一方獲得“拍賣品”，并向“銀行”支付相應的費用;當“拍賣品”全部被拍賣成功后，贏得最多價值拍賣品金額的一方獲勝。

“拍賣現場”自制教具的游戲方法

1）游戲準備階段。

①裁判向博弈雙方分配數量相等的“數字牌”，之后取出標有“7”和“5”的“數字牌”，擺出“75”的組合作為初始資金，以用于購買其中的“拍賣品”;當一方成功購買“拍賣品”時，在支付相應的拍賣品價格的同時，需重新擺放初始資金的數額。現有資金=初始資金-購買資金，現有資金需要一直明示給另一方。

②由裁判選取六個數字接近15的“籌碼幣”倒置在“拍賣品”旁，作為這六個“拍賣品”各自的起拍價格;再分別在博弈雙方的面前依照“拍賣品”的順序倒置六個大于15的“籌碼幣”，此籌碼幣即為所對應“拍賣品”對于自身的價值，如圖8所示。

2）游戲開始階段。裁判翻開第一個“拍賣品”對應的“籌碼幣”，兩人依次競價，漲幅為1，由年齡大的一方開始競價。競價過程中當一方宣布棄權時，另一方獲得“拍賣品”，并向“銀行”支付相應的費用，并在己方的余額上進行調整。一方對“拍賣品”的購買資金不能超過自身當前的現有資金。重復上述步驟，競價開始順序相互替換，直至全部“拍賣品”拍賣完畢。

游戲獲勝條件：當六個“拍賣品”全部完成拍賣后，分別計算每個玩家所購買的拍賣物對應自身“籌碼幣”的金額總和，總和金額大的一方獲勝，如圖9所示。若金額相等，則宣布平局。

“拍賣現場”自制教具的規則分析? “拍賣現場”自制教具的游戲規則遵循拍賣規則中的英式拍賣和荷蘭式拍賣：英格蘭式拍賣，也叫“增價拍賣”或“低估價拍賣”，是指在拍賣過程中，拍賣人宣布拍賣標的起叫價及最低增幅，競買人以起叫價為起點，由低至高競相應價，最后最高競買者獲得拍賣品[4]，簡單來說就是價高者得;荷蘭式拍賣則與英式拍賣相反，拍賣人宣布起叫價及最低降幅，價低者得。

在一般情況下，玩家的初始資金會低于“拍賣品”對于自身的價值的總和，也就是說會用較高的價格買到自己想要的“拍賣品”，從而對于其他的“拍賣品”在競價時有所保留，這也與生活常識相一致。當然也存在大于或等于的情況，比如低價買到自己想要得到的“拍賣品”時。同樣，在拍賣過程中，博弈雙方也可以根據對手出價的方式推測出該“拍賣品”對于對方的重要程度。“拍賣現場”游戲所蘊含的一個簡單的拍賣思想是：拍賣品對你的價值是多高，你就出多高的價格。這也是博弈思維在實際生活中的精髓所在。

當然，“拍賣現場”自制教具也可以通過改變其中的一些規則從而更改玩法，如更改初始金額，更改“拍賣物”的數量，明示雙方面前的“籌碼幣”，等等，或是用來模擬諸如騎虎難下博弈、懦夫博弈等場景。

5 自制教具在初中數學課堂中的應用意義

要使傳統的數學教具在課堂教學中真正發揮作用，必須結合教學實際，準確把握學生的學習情況，合理選擇，適時運用[5]。以“拍賣現場”為例，“博弈”屬于數學的一個分支，旨在研究具有斗爭或競爭性質現象的數學理論和方法，所以學習博弈數學可以通過創設相關的具有競爭局勢的情境，在游戲中領悟相關的博弈知識。而拍賣又是博弈中的經典應用之一，按照一定的章程和規則公開叫價競購，最后出價最高的買主獲得被拍賣品。使用自制教具最重要的目的便是讓每一個學生都能夠學習到該教具背后相關的數學原理，在學習相關數學知識的同時培養學生對于數學學習的興趣。

提高課堂教學的實效性? 借助教學工具，教師可以將抽象的概念轉化為直觀的模型呈現給學生，學生也可以通過具體的教學工具理解抽象的概念。這就意味著教師要善于引導學生借助教具進行動手操作，在數學動手操作的過程中進行自主化的數學學習[6]。對于“拍賣現場”游戲的規則講解，其實就是講述博弈論中“拍賣”基本概念的過程，而規則的運用便是對拍賣中博弈方法的應用。學生參與使用教具的過程，本身就是課堂教學的一種策略，而這樣的教學策略從學生對知識的理解和遷移來看，遠比講授更具有實效性。

“拍賣現場”自制教具也可以通過改變相應的規則，深入講解相關的拍賣知識。如“第一密封拍賣”，用教具來呈現就是游戲雙方需同時明示出價金額，出價高的即獲得拍賣品。同時，學生也可以對該游戲的規則進行創新，在創新中可能會發現拍賣博弈中的共性。教師也可以根據這些共性作為之后博弈數學課堂中的課前導入環節，促進課堂教學中知識迭代的形成。

培養學生的邏輯思維? 邏輯思維是指借助于概念、判斷和推理認識事物的思維形式，包括分析、綜合、比較、抽象、概括和具體化等過程[7]。自制教具中的邏輯思維，主要體現在其規則設計和實際操作上。一方面，教師通過規則設計創設相關的情境，引導學生使用邏輯思維解決問題;另一方面，學生通過實際操作掌握教具的使用方法，并理解邏輯思維如何解決與其相關以及相似的問題。邏輯思維的應用還體現在學生能將所學知識遷移到解決實際生活中。

如從“拍賣現場”自制教具來看，無論是簡單的猜數字，或是稍微有些難度的拍賣，抑或復雜的懦夫博弈，都可以算作博弈思維的一種訓練。博弈的核心在于根據對方的策略選擇自己的最優策略，而為了能夠實現自己的最優策略，則需要在博弈過程中善用邏輯思維。社會實踐是邏輯思維形成和發展的基礎，而通過游戲實踐領悟到“拍賣”這一實際問題的思考方法和經驗，進而應用到實際生活中，本身就是一種邏輯思維的培養。

如在面對騎虎難下博弈時，由于誰也不愿意自己支付成本而讓對方得到好處，而盡早擺脫這樣的博弈對局可以讓自己可能的損失盡可能小，因此，最好的策略便是盡早退出該博弈。

再如懦夫博弈，假定博弈一方是魯莽者，另一方是理性者，那么魯莽者將會是該博弈的勝出者。如果多次進行懦夫博弈，則魯莽者將更有信心在未來采取這樣的策略，他也很可能會通過這種魯莽的形象使得對手在未來的對局中選擇妥協，從而獲得好處。

關注師生與社會發展的對話? 在數學課堂中，“教”與“學”是不可分割的整體，教師需要與學生進行溝通與合作，學生也需要對教師提供反饋和認同。教師與學生雖然不是知識平等的主體，卻是人格平等的主體，這就要求學生與教師間能夠明確自身對于社會發展的需求與展望。隨著學生成長伴隨著的生活環境的擴大，他們對于社會交往能力的需要，也是適應未來生活的需要。數學課堂教學的任務之一，便是讓學生在步入社會環境時能更好地進行適應。

通過“拍賣現場”游戲，學生可以了解到除課堂環境以外，在面對實際生活會用到的一些基本經濟規律，例如：在游戲中引入對“拍賣”這一經濟術語的深入講解，強調理財對于自身經濟需求的重要性;嘗試在網絡平臺完成一次拍賣活動，分享網絡拍賣與使用教具的不同之處;相互探討拍賣中“知己知彼，百戰不殆”的博弈思想在實際生活中的相關應用。教師也可以了解到學生對于現實世界的理解程度，在教學活動過程中共同加深對拍賣知識以及與生活相關經濟概念的理解。數學是面向現實的，學生與教師通過具體情境學習數學知識，然后把所學知識應用到現實中去，體現了教具在數學課堂中的現實意義。所以，師生間的對話與交流必不可少，師生共同面對社會環境的交流同樣必不可少。

6 結語

應該注意到，在整個初中數學教學過程中應始終秉持傳統教具的輔助性原則，將其作為傳授數學教學內容的輔助手段，而不是課堂教學的本身[8]。當然，自制教具也會讓學生對數學知識的學習產生親近感，學生在游戲過程中也可以鍛煉合作能力，等等。一部分中學生在面對全新的數學知識時，很難理解抽象的定義及概念。而通過教學工具，可以將抽象的知識具體化、形象化，為學生記憶、理解以及遷移知識創造了條件，促進學生具體感知與抽象思維的結合，幫助其形成明確的概念，發展其邏輯推理能力和觀察能力等。

不可否認，數學類教具在一定程度上能夠讓課堂教學更具實效，可以有效地培養學生的動手操作技巧，在增強學生好奇心的同時激發學習興趣，培養學生的創新意識、創新能力。所以，在初中數學課堂運用具體模型和直觀教具仍然是十分重要的，對于中學生的課堂教學大有裨益。■

參考文獻

[1]賴坤蘭.淺談教具、學具在數學課堂的應用[J].數學學習與研究，2018（20）：20.

[2]達·芬奇密碼[DB/OL].https：//baike.baidu.com/item/%E8%BE%BE%C2%B7%E8%8A%AC%E5%A5%87%E5%AF%86%E7%A0%81/3522752.

[3]白偉偉，方海光，楊志亞，等.3D打印技術在創新實驗教學中的學習活動設計框架研究[J].中國信息技術教育，2016（23）：66-70.

[4]焦寶聰，陳蘭平.博弈論[M].北京：首都師范大學出版社，2013：178.

[5]陳莎，耿國政.運用傳統教具推動初中數學教學改革[J].中國教育技術裝備，2017（19）：35-36.

[6]劉媛.自制教具在數學教學中的應用[J].中國現代教育裝備，2018（2）：36-38.

[7]車文博.當代西方心理學新詞典[M].長春：吉林人民出版社.

[8]李方方.傳統教具在初中數學課堂教學中的創新性使用[J].中國教育技術裝備，2017（17）：95-96.