基于模糊度的姿態(tài)測量仿真與實(shí)現(xiàn)

張道成

(中國人民解放軍91404部隊,河北 秦皇島 066200)

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,載體姿態(tài)的測量得到了越來越多的應(yīng)用,不僅廣泛地應(yīng)用在民用中,而且在軍事技術(shù)上也得到了很好的應(yīng)用。世界上不少研究機(jī)構(gòu)或者公司都對其開展了深入的研究。美國宇航局(NASA)于20世紀(jì)90年代末開展了GPS/INS組合用于航天飛機(jī)姿態(tài)測量的研究,精度要求為0.5°/m。美國斯坦福大學(xué)于20世紀(jì)90年代末在實(shí)驗(yàn)室也得到了0.25°/m-0.5°/m的精度[1],茅文深針對雙頻姿態(tài)測量算法和組合測姿開展了研究[2]。

在短基線載波相位雙差觀測模型中,主要考慮兩組未知數(shù),分別是基線矢量和雙差整周模糊度。本文主要對模糊度中的最小二乘去相關(guān)平差法(LAMBDA)[3]開展研究。

1 參數(shù)估計模型和準(zhǔn)則

已知雙差載波相位線性觀測方程的最小二乘目標(biāo)函數(shù)為

(1)

為n維整數(shù)空間,R3為3維實(shí)數(shù)空間。式(1)的最小化問題可以看成帶有整數(shù)約束的最小二乘問題。

上述最小二乘估計[4]的二次型目標(biāo)函數(shù)可以分解為下列形式

(2)

從上面分析可以看出最小二乘解可以分為三部分,第一步求解無約束的實(shí)數(shù)解,即根據(jù)式(1),去掉N∈Zn的約束,直接通過加權(quán)最小二乘獲取實(shí)數(shù)解和對應(yīng)的方差-協(xié)方差矩陣,計算結(jié)果如下

(3)

(4)

(5)

2 LAMBDA算法實(shí)現(xiàn)步驟

針對上面的模糊度固定問題,Delft科技大學(xué)的P.J.G Teunissen博士提出了一種快速有效的模糊度固定方法——最小二乘降相關(guān)平差法(LAMBDA),它主要有兩部分:模糊度條件搜索和模糊度去相關(guān)處理(又稱整數(shù)Z變換)。

2.1 模糊度整數(shù)最小二乘搜索

對于式(4)的整數(shù)最小二乘問題目前沒有統(tǒng)一的解析求解方法,目前都是通過離散搜索的方法來得以實(shí)現(xiàn)。具體實(shí)現(xiàn)為利用式(4)來構(gòu)造一個n維的實(shí)數(shù)橢球搜索范圍Rn,進(jìn)行搜索。這個模糊度搜索橢球可以定義為

(6)

搜索空間χ2的確定,合適的χ2可以保證最優(yōu)值在搜索區(qū)域內(nèi)又可以保證搜索效率,所以它在搜索過程中起著重要的作用。下面介紹LAMBDA算法中χ2的確定方法。

當(dāng)期望得到的模糊度候選值個數(shù)小于等于n+1時,χ2的取值方法是取浮點(diǎn)解的最近整數(shù)按照式(4)的目標(biāo)函數(shù)計算得到的值。即先由浮點(diǎn)解的最近整數(shù)求的1個二次型的值,然后分別讓其中一個浮點(diǎn)解取次整數(shù),其他浮點(diǎn)解不變,可以得到n個二次型的值,這樣一共得到n+1個二次型的值。如果從這n+1個數(shù)值中選取次最小的值作為χ2,這樣確定的模糊度搜索橢球大小可保證至少2個,至多幾個候選模糊度;同理,取第i個最小的二次型的值可以保證搜索橢球內(nèi)至少有i個候選模糊度。

當(dāng)期望得到的模糊度候選值個數(shù)大于n+1時,χ2的取值方法是通過計算橢球體積大小來確定,具體計算如下:

橢球區(qū)域的體積公式為

(7)

式中,Vn為體積函數(shù)

(8)

當(dāng)n≥3時,體積函數(shù)可以通過Vn=2πVn-2/n等式進(jìn)行循環(huán)計算,其中V1=2,V2=π。

對于確定的方差-協(xié)方差矩陣,有下列表達(dá)式

(9)

所以由式(7)得到χ2的表達(dá)式

(10)

相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明體積En的大小也大致確定了橢球區(qū)域內(nèi)所包含的候選值的數(shù)量,即En與候選值模糊度個數(shù)k有近似關(guān)系k=int(En)[5],當(dāng)k≥10時,該式較準(zhǔn)確;但當(dāng)k<10時,該式誤差比較大。

2.2 模糊度去相關(guān)處理

由于模糊度浮點(diǎn)解之間存在著很大的相關(guān)性,使得式(6)進(jìn)行模糊度搜索時效率非常低,為了避免這種情況,LAMBDA算法中加入了對模糊度浮點(diǎn)解進(jìn)行去相關(guān)處理的方法,其基本思想為利用一個整數(shù)變換矩陣Z對模糊度以及它的協(xié)方差矩陣進(jìn)行線性變換,使變換后的模糊度和其協(xié)方差矩陣相關(guān)性變?nèi)?具體體現(xiàn)在由式(7)構(gòu)成的搜索橢球空間規(guī)則化,從而使搜索效率提高。

2.2.1 模糊度搜索停滯現(xiàn)象

理論和數(shù)值分析均表明,存在著突變,為了從理論上解釋突變現(xiàn)象,以二維模糊度的方差-協(xié)方差矩陣為例進(jìn)行闡述。同時,這個二維矩陣的結(jié)構(gòu)和n維的模糊度方差-協(xié)方差矩陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似。

(11)

假設(shè)

(12)

注意到式(11)被分解成兩個秩分別為1和2的矩陣和的形式。式(12)存在的目的是使秩為2的矩陣中的元素遠(yuǎn)小于秩為1的矩陣中的元素。

(13)

(14)

同樣,n維模糊度方差-協(xié)方差矩陣也可以寫成兩個矩陣和的形式。第一個矩陣的秩為n,同時由于載波相位觀測值的精度較高,所以對應(yīng)的元素值都很小。第二個矩陣的秩為3,原因是模糊度值為實(shí)數(shù)值時,估計得到的基線精度較低,所以對應(yīng)的元素值都很大。由于這種結(jié)構(gòu)的原因,實(shí)際上的模糊度條件方差的變化范圍在第三個之后都顯得很大的突變性。圖1是文獻(xiàn)[6]為例計算得到的各個模糊度的條件方差的分布圖。

圖1 12維條件方差取值范圍

很顯然,前3個和后9個模糊度條件方差之間有很大的突變,所以消除模糊度條件方差的這種突變性對于搜索效率非常重要,下面介紹的整數(shù)Z變換就是為降低這種條件方差的突變性而提出的。

2.2.2 模糊度去相關(guān)(整數(shù)Z變換)

(15)

(16)

(17)

由于D為對角矩陣,所以變換后的模糊度完全不相關(guān),但是實(shí)際中,由于模糊度的整數(shù)特性,不可能完全去相關(guān),即取Z=int(L-1),這樣D就不是對角矩陣,但非對角元素經(jīng)過這樣變換后一般都變得很小,有時還要經(jīng)過多次這樣的變換得到Z矩陣。

3 仿真分析

1) 模糊度去相關(guān)前后搜索空間的比較

這里我們采用二維模糊度作為例子,數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)[4]中第100頁的相關(guān)數(shù)據(jù)。

(18)

經(jīng)過高斯整數(shù)變換后的模糊度和對應(yīng)協(xié)方差矩陣為:

(19)

顯然,去相關(guān)后的模糊度對應(yīng)的方差明顯比變換前小,而且兩者之間相關(guān)性也減弱。具體結(jié)果見圖2。

其中,圖2a為變換前的搜索空間,圖2b為變換后的搜索空間,可以看出,變換前的空間被壓縮的很狹長,N1和N2要經(jīng)過很長搜索時間才能遍歷所有可能整數(shù),而對搜索空間圖2b顯然更容易搜索。所以整數(shù)Z變換極大提高了搜索效率。

2) 模糊度去相關(guān)前后條件方差比較

采取12維模糊度協(xié)方差矩陣,具體條件方差見圖3。

從圖3中可以看出,去相關(guān)后的模糊度條件方差很小并且都在同一數(shù)量級,很好的平滑了原始模糊度條件方差突變現(xiàn)象,從而提高了搜索效率。

圖2 變換前后搜索區(qū)間比較

圖3 去相關(guān)前后模糊度條件方差比較

4 結(jié)束語

本文對模糊度解算算法中的LAMBDA算法進(jìn)行了詳細(xì)的分析和研究,分析了參數(shù)估計模型和準(zhǔn)則,該模型中包括基線向量和模糊度向量兩組未知參數(shù)。由于模糊度的整數(shù)特性,使得模糊度的整數(shù)解沒有統(tǒng)一的解析公式,只能通過有效的搜索方法來得到。LAMBDA算法提出了一種序貫條件最小二乘整數(shù)搜索,然而由于模糊度間的強(qiáng)相關(guān)性使得搜索橢球空間極其狹長,導(dǎo)致搜索效率很低,甚至?xí)霈F(xiàn)停滯現(xiàn)象,所以LAMBDA算法還提供了降低模糊度相關(guān)性的整數(shù)Z變換,文中給出了整數(shù)高斯Z變換的實(shí)現(xiàn)步驟,通過Z變換后的模糊度搜索效率大大提高從而達(dá)到實(shí)時求解的目的。