通過熱力學與電學的類比加深對于熵的理解

吳國玢，皇甫泉生，顧錚

（1.上海理工大學 能源與動力工程學院，上海 200093；2.上海理工大學 理學院，上海 200093）

眾所周知，類比（analogy）是一種認知過程。人們將陌生的對象與已經熟悉的對象作比較，尋找出兩個或兩個以上不同對象之間的相同點或相似點，以便有效地將未知變為已知。因此，類比實際上也是人類進行思考時常用的一種邏輯推理方法。在研究和講授物理學的過程中，人們也經常使用類比。例如，萬有引力定律與庫倫定律、平動與轉動、電場與磁場、聲波與電磁波、電容與電感之間的類比，等等。然而，除了局部或單項的類比之外，有沒有可能在物理學各分支學科之間從整體上進行類比呢？具體地說，能否從它們的物理量、物理量之間的關系或數學結構、物理現象、描述物理現象的模型和術語，以及物理實驗和應用技術裝置等方面開展系統性的全方位類比呢？答案是肯定的。然而要想開展這種類比，就必須恰當地選擇各門分支學科最基本的核心物理量，使得它們既能最大限度地展示各分支學科自身的特點，又能凸顯出這些分支學科之間在結構上的相似性。在這方面，德國卡爾斯魯厄理工學院編寫的物理教程（簡稱KPK）[1]為我們提供了一個值得借鑒的范例：在每一分支學科中選取一個能反映自己特征的廣延量以及一個與之搭配的強度量構成一對所謂的中心物理量（central quantities）。比如，在力學和電學中分別選取動量與速度、電荷量和電勢作為各自的中心物理量[2]。其中動量和電荷量是廣延量，而速度與電勢則是強度量。每一分支學科中的兩個中心物理量之間關系密切。這兩個量本身雖然都不具有能量的量綱，但它們某種形式的組合卻可以用來表示能量或能流強度（單位時間內流過的能量，即功率）。例如，速度與動量流強度（力）的乘積，角速度與角動量流強度（力矩）的乘積，電勢差與電流的乘積，以及溫度與熵流強度的乘積等都直接表示著能流強度（見吉布斯關系式）[3]。也就是說，這樣選擇出來的一對對中心物理量使得力學、電學和熱學等不同分支學科能夠通過能量這根主線貫穿在一起。通俗點說，如果把這些物理量比作一個個牛鼻子環的話，那么人們就能用能量這根繩子穿過這些環來牽住物理學的牛鼻子。事實上，各門分支學科之間的這種可類比性所反映出來的既是物理學自身的精美，也是客觀世界內在的統一與和諧[4]。

1 熵的百年艱辛求真探索之路

自從克勞修斯于1865年以微積分形式提出了熵的概念后，人們發現孤立系統的熵只會增加而不會減少，亦即不符合物質守恒原理，不具有物質性。所以人們對系統狀態量熵的解釋一般都比較抽象：熵在宏觀上是能量不可用程度的量度，在微觀上是組成系統的大量微觀粒子無序度的量度[5]。熵增原理使得熵成為描述自然界一切過程具有單向性特征的物理量，獨一無二地擁有“時間之箭”的標志性稱謂。其結果是使得熵的概念被蒙上了一層深奧莫測的神秘色彩，成為最難理解的物理量之一。在我國學術界有人給熵加上一個耐人尋味的后綴，稱為“熵透腦筋”[6]。無獨有偶，在西方也流傳著一句類似的戲言“如果你能搞定熵，那么你就能搞定一切（If you can live with entropy you can live with anything）”[7]。世界各國物理教育界普遍認為，熱學是教師最難教、學生最難學的課程之一。其中熵的概念是一個突出的難點。

為了改變這種被動的局面，一批歐洲科學家長期堅持不懈，努力求真探索。自1911年以來，他們不斷嘗試破解熵的宏觀物理意義這個延續至今達一百五十多年的難題，其中包括英國的Callendar，德國的Job，Falk，Herrmann以及瑞士的Fuchs等知名物理學家[8-9]。盡管各人的視角有所不同，比如：有人認為熵就是卡諾所指的熱質（caloric）；有人則認為熵就是熱（entropy as heat）；也有人認為熵就是人們在日常生活中所說的熱或熱量（quantity of heat），其數值表示物體所含熱的數量，但是這些努力歸納起來有以下共同特點：他們都力圖把熵的概念建立在人們對于熱的直覺感知即感性認識的基礎之上，而且直接將熵看作為是熱的一種量度（這種量度不具有能量的量綱，因而并非能量）；他們都主張將熵與溫度放在一起組成熱力學最基礎的物理量（中心物理量），然后以此為出發點來闡述整個學科內容并開展教學。對于傳統熱力學來說，這些觀念無疑是具有重大創新意義的突破。從微觀上看，玻耳茲曼的熵關系式S=klnΩ（式中：S為宏觀系統的熵值；k為玻耳茲曼常數；Ω表示系統內可能的微觀態數）告訴我們，熵是系統內分子熱運動無序性的一種量度。它與前面“熵是熱的一種量度”的說法相合，因為熱的本質就是分子熱運動的宏觀表現。容易看出，熵分布于物體的各個區域，它的整體值等于其各部分值之和，所以熵既是狀態量，又是廣延量。另一方面，從克勞修斯的熵定義式（微分形式）dS=dQ/T（式中：Q為熱量；T為熱力學溫度）中可看出，熱量的傳輸總是與熵的流動相伴隨。因此，各種熱效應既可以認為是由于物體吸收或排出熱量所引起的，也可以理解為是由于熵的輸入或輸出物體而造成的。這就意味著，熵是一個與熱量密切相關的物理量。不過這樣的話，容易引起混淆的新問題就出現了：若將熵值視為物體含熱的數量，那么它是熱量嗎？顯然不是。首先二者的量綱不同：熱量具有能量單位焦耳（J），而熵的單位是焦耳/開爾文（J/K）；其次二者的類別也不一樣，熵是狀態量，而熱量作為能量是過程量。那么它是“熱質”嗎？當然也不是。因為熱質可以通過摩擦而無限制地產生，所以它作為物質是不存在的，事實上也早已被學界徹底否定。概而言之，熵既非物質，又非能量。十分明顯，熵（含熱的量）與熱量這兩個在漢語詞義上幾乎完全相同的術語用來表示兩個完全不同的概念，必然會產生混淆，使人困惑。順便提一句，這個問題在有些英語文獻中實際上表現得更為突出，在那里熵與熱量的解釋經常會使用同一個術語：quantity of heat。難怪在KPK熱力學引入我國的過程中，熵作為物體含熱量的新概念在理解和接受上遇到過較大障礙，乃至于舉步維艱。那么究竟應該如何正確地理解熵呢？

2 熵其實是一個容易理解的物理量

筆者認為，借鑒電學中電荷的概念，在熱力學中引入“熱荷”的概念十分有助于解決如何理解熵的問題[10]。熱荷與電荷一樣也是物質的一種屬性，只不過它是一種與熱相關的屬性。熱荷同樣沒有質量，同樣不能離開物質而單獨存在，而且同樣可以量化，它的數量就是熵。這就是說，熵就是熱荷量，與電荷量相對應。熱荷的概念實際上十分簡單，它就是人們在日常生活中直觀感受到的熱的概念：它可以通過摩擦、燃燒或通電等過程而產生，可以存儲在暖房或保溫瓶內，可以自發地從高溫處向低溫處流動，但是它卻無法被消滅。不過既然如此，那么為什么要為熱另外起一個專門的名字呢？這是因為在物理學中使用熱荷這個術語可以帶來顯而易見的益處：首先，“熵就是熱荷量”使得熵有了一個基于直觀的簡單而清晰的定義，變得通俗易懂，從而移除了熱力學教學上長期存在的一大障礙；其次，熱荷量（quantity of thermal charge）與熱量（quantity of heat）這兩個雖然都與熱密切相關但卻又截然不同的物理量得以清晰地區分開來，徹底消除了之前的熵概念可能引起的沖突或混淆；第三，熱荷量與電荷量的直接對應使得熱學與電學之間的類比能夠從根基上開始，變得更加全面而且深入。

熱現象其實就是與熱荷的產生、分布和流動密切相關的現象。盡管熱荷并非物質，但它隨著物質分布在各個空間區域內。由于任何可逆過程都是等熵過程，所以如果A單元和B單元的相互接觸經歷了一個可逆過程，那么A單元減少多少熵，B單元必定會增加多少熵。這一過程可視為熱荷從A單元流入了B單元。換句話說，熱荷可以像氣體和液體以及電荷和動量那樣從一個空間區域流入另一個空間區域，亦即熱荷或熵的流動在許多場合下可以當作流體的流動來處理。事實上除了熵以外，在對另一些重要的物理量進行思考和處理時，也可以將它們想像成是一種可流動的“物質”。早在20世紀70年代，KPK奠基人Falk教授就曾建議將動量、角動量、電荷量和熵等具有某種類似于物質特性的非物質物理量稱作為物質型物理量（substance-like quantity）[11]，以突出這種特性。另一個將這些物理量作如此歸類的重要原因是它們同屬所謂的能量載體（energy carrier），都能夠攜帶著能量進行傳輸。不過這已超出本文的討論范圍，此處不擬贅述。

3 電流與熵流之間的類比

3.1 電流與熵流的連續性

電荷在導體內流動形成電流，單位時間內流過任一截面的電荷量q稱為電流強度（簡稱電流），用I表示，I=dq/dt。相應地，熱荷在傳熱導體內流動形成熱流，而單位時間內流過任一截面的熱荷量S稱為熵流強度（簡稱熵流），用IS表示，IS=dS/dt。

根據電荷守恒定律，在導體內任取一閉合曲面A，單位時間內從該曲面流出的電荷量總和，必定等于該曲面所包圍的空間區域V內減少的電荷量，即

式中：j為電流密度，即單位面積上流過的電流；dA為曲面A上的面積微元矢量。這就是電流連續性方程。

若凈流出該區域的電荷量為0，則該區域內的電荷量將保持不變。然而在熱力學中，根據熵增原理，不可逆過程的熵必定會增加，即都會產生熱荷（熵產生），而一切自發過程都是不可逆的。因此，在發生不可逆過程的區域內仿佛隱藏著一個“泉眼”，隨時會向外冒出額外的熱荷。若在該區域內任取一閉合曲面A，那么單位時間內從該曲面流出的熱荷量總和，必定等于該曲面所包圍的空間區域V內減少的熱荷量加上其中新產生出的熱荷量（熵），即

式中：jS為熵流密度，即單位面積上流過的熵流；是單位時間內從該區域表面A流出的熱荷量總和；是單位時間內該區域中減少的熱荷量；則是單位時間內該區域中新產生出的熱荷量，如圖1所示。這就是熵流的連續性方程，亦稱平衡方程，類似于流體力學中帶源匯項的連續性方程。對于可逆過程，沒有熵產生，故式（2）可簡化為，與式（1）具有相同的形式。

圖1 熵流的連續性示意圖Fig.1 Continuity of entropy currents

電荷的流動有兩種不同形式：電荷在電導體中流動時形成的傳導電流，以及由帶電體運動而形成的運流電流（如顯像管內的電子流）。熱荷的流動也具有類似的兩種不同形式：熱荷在熱導體內流動時形成的傳導熵流，以及由攜帶熱荷的物體運動而形成的運流熵流（如熱荷隨著冷熱空氣對流而形成的輸運-對流熵輸運）。不僅如此，熱荷還可以通過輻射來傳輸。地球就是通過輻射將每天產生的大量熱荷輸送到太空，以維持自身的生機。

3.2 電流與熵流的驅動力

無論是電荷還是熱荷，在導體內流動時都需要驅動力（driving force）。電荷流動的驅動力是電勢差。當用導線連接兩個帶電體時，電荷會自動地從高電勢處流向低電勢處，直到二者的電勢相同為止。由于存在電阻，電荷在流動過程中會有熱荷產生。類似地，熱荷流動的驅動力是溫度差，當兩個物體互相接觸時，熱荷會自動地從高溫物體流向低溫物體，直到二者的溫度相等達到熱平衡為止。由于存在熱阻，熱荷在流動過程中也會有新的熱荷產生。如果我們要想改變電荷的自然流向，使電荷從低電勢處流向高電勢處，或者在沒有電荷流動的導體中產生電流，那就必須依靠外部電源（電池或發電設備）。同樣，如果我們要改變熱荷的自然流向，使熱荷從低溫處流向高溫處，或者在沒有熵流的地方產生熵流，那就必須使用附加設備熱泵（制冷機）。

3.3 電流、熵流與能流之間的關系

在任何有電流和熱流的地方必然有能量流過。電荷的流動在輸送著能量，所以電荷量是一種能量載體。類似地，熱荷的流動也在輸送著能量，所以熱荷量同樣是一種能量載體。眾所周知，能流與電流之間的關系可以用下式表示：

式中：P為能流強度，即單位時間內流過的能量（功率），簡稱能流；ΔU為電勢差；I為電流強度。

相應地，能流與熵流之間的關系可用下式表示[10]：

式中，ΔT為溫差。由此可知：當溫差不變時，能流強度與熵流強度成正比；當熵流強度不變時，能流強度與溫差成正比。將上式右側展開成兩項后，就變成不同溫度下的能流強度之差。其中每一項實際上代表著熵流在該溫度下所對應的能流強度。這樣的理解可以使我們以零為基準，更方便地將能流強度直接記為

此式清楚地表明：若熵流的溫度越高，那么它所運載的能量就越多；反之，熵流的溫度越低，那么它所運載的能量也就越少。

圖2所示為熱機的能流圖[1]。容易看出，熱機實際上是一部轉載能量的機器。它先借助于能量載體熵將能量輸入熱機，然后通過熱機的旋轉軸以角動量為能量載體將能量輸出熱機，用來驅動與之連接的設備（如發電機）。熱荷在絕對溫度T1下從高溫熱源流入熱機，釋放出能量后流回溫度為T2的低溫熱源。另一方面，由KPK力學知，從角速度ω0為零開始的角動量從地球經底座流入熱機，而以較高的角速度ω2經輸出軸流出熱機去驅動與之連接的機器。這就是說，在此過程中熱機在起著一種轉換能量載體的作用：一部分能量從載體熵轉移至載體角動量，致使熵流所攜帶的能量有所減少，而角動量流所攜帶的能量卻有所增加。現在來計算一下所謂的熱機卡諾效率η卡，亦即熱機輸出的能量（做功）與高溫熱源所提供的能量之比值。由于卡諾循環過程可逆，熵流強度IS保持不變，故有

式中：P1為從高溫熱源流入熱機的能流，P1=T1IS；P2為從熱機返回低溫熱源的能流。上述計算方法比傳統物理學著作和大學物理教材中通常所用的方法要簡便得多，而且更容易理解。卡諾效率亦稱熱機最大效率，它僅與高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。然而對于所有不可逆的實際熱機而言，由于存在著不可避免的能量損失，其效率η實必定低于卡諾效率，即η實＜η卡。

圖2 熱機的能流圖Fig.2 Energy flow diagram of a heat engine

3.4 電流與熵流過程中的熵產生

當電荷流經電導體時，由于導體中存在電阻總會導致熱荷的產生（發熱），簡稱熵產生。類似地，熱荷流經熱導體時，由于導體中存在著熱阻，這也會造成附加熱荷的產生，即熵流流動過程中的熵產生[1]。圖3所示為一根導熱性能良好的細棒，其左右端分別與溫度為T1的高溫熱源和溫度為T2的低溫熱源保持接觸。在溫差的驅動下，熱荷從高溫端流向低溫端并很快達到平衡狀態，形成穩恒的熵流。假設導體其余部分與周圍環境絕熱，且棒內任何處不會出現能量堆積，則流過每一截面的能流強度必然相等，即P1=P2或者T1IS1=T2IS2。由于T1＞T2，故必然有IS1＜IS2。這就是說，當熱荷從左向右流動時，隨著溫度的逐步下降，熱荷量即熵流強度在逐步增加。這與前面提到的熱荷流動時由于受到阻力而產生附加熱荷是一致的。圖3下部用寬度逐漸增大的箭頭表示由熵產生所導致的附加熵流強度IS′會隨著溫度不斷降低而增加。容易看出，或，因為IS1=IS。

圖3 熱傳導過程中的熵產生Fig.3 Entropy production in heat conduction

表1所示為電學與熱力學的中心物理量及其基本關系式之間的類比，反映出它們在結構上的相似性或共性。值得一提的是，熱荷量（熵）與電荷量之間雖然具有可以進行類比的一些共性，但他們畢竟是物質的不同屬性，有著各自不同的個性。電荷有正負之分，而且同性相斥、異性相吸，但熱荷卻沒有，它只有一種。摩擦既能起電（電荷），摩擦也能生熱（熱荷），但它們之間是有明顯差別的。摩擦產生的電實質上只是一種電荷的重新分配，如果兩個物體原來都不帶電，經摩擦后一個物體帶正電荷，另一個物體必然帶相同數量的負電荷，以保持電荷總量不變。然而兩個物體摩擦產生的熱荷，是熱荷的凈增量，即熵的凈產生，而且兩個物體的熱荷量或熵同時增加，溫度同時升高，即熱荷總量增加。電荷量是一個守恒量，但熱荷量只是一個半守恒量，它只能產生，卻不能消滅。

表1 電學與熱力學之間的類比Tab.1 Analogy between electricity and thermodynamics

樹立類比思維（analogous thinking）是培育創新思維（creative thinking）的一個重要方面。類比有助于人們掌握自然現象之間的相似性、普遍性或共性，同時還更有利于顯現出它們各自的特殊性或個性。在分支學科之間進行類比，使得物理學工作者和教師有機會站在新的制高點上把握整個學科體系。總之，類比非但不會淡化每門分支學科的個性，反而會使得它們各自的個性被反襯得更加鮮明，使得千姿百態的多樣化世界以更加精彩紛呈的面貌展現在人們的面前。

4 結 論

熱荷與熱荷量概念的引入不僅使得熵有了一個通俗易懂的定義，豐富了它的內涵，而且使兩個容易混淆的物理量—熱荷量（熵）與熱量得以清晰地區分開來。在此基礎上，熱力學與電學之間的類比可以變得更加全面更加透徹。如果進一步擴展視野，人們在將電荷和熱荷分別理解為物質的電學屬性和熱學屬性的同時，也許還可以將動量理解為物質的運動或力學屬性，稱之為力荷（mechanical charge），從而進一步把這種始于各門學科根基的全方位類比拓寬到電學、熱學和力學三者之間。而且從這個角度去思考，物理學也可以理解為是一門研究物質的各種基本屬性和基本結構的學科。愛因斯坦曾經深刻地指出：“要相信我們的理論構想能夠用來理解客觀實在，相信我們世界的內在和諧性。沒有這種信念，就不會有任何科學。這種信念現在是，并將永遠是一切科學創造的根本動機”（注：筆者譯自原版著作[12]）。本文從最基本的概念熱荷與電荷出發進行的熱力學與電學之間的類比又一次表明，我們的世界的確包含著內在的和諧性，宇宙中發生的各種自然現象之間的確存在著深層次的內在聯系。