五次長短波共振方程初值問題解的存在性

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

Djordjevic等[1]在研究二維的毛細管重力波時，發現了描述長波和短波之間相互作用的演化方程

該方程還出現在內波、Rossby波及等離子體波等許多物理問題中[2]。

文獻[3-4]分別用逆散射方法和先驗估計方法證明了方程（1）初值問題整體解的存在性.文獻[5]研究了方程（1）的n孤子解。

在文獻[6]中，Benney建立了長波與短波相互作用的一般理論，提出了長波與短波相互作用的模型方程

式中： γ為常數；u是 復函數，表示長波；v是實函數，表示短波；|u|是u的模長。

文獻[7]證明了方程（2）初值問題全局解的存在性。

1988年，Oikawa等[8]研究了雙層流體中長波和短波在彼此分界面角度上的傳播和共振作用，導出了（2+1）維長短波方程組，并將長短波方程拓展到高維空間，文獻[9-14]分別研究了高維長短波方程及其推廣形式解的存在唯一性。

還有學者研究了方程（2）在（1+1）維的推廣形式，例如，文獻[15]研究了廣義LS型方程

的周期初值和初值問題。

2010年，Shang[16]研究了廣義長短波方程

的孤波解和若干特殊形式的周期解。

定義泛函空間

式中：Dx，Dt分別為關于x和t的偏微分。

方程（4）初值問題的初值條件為

本文的主要結果可以歸結為定理1。

式中，所有的系數Cα均為正數。

統一將L∞(0,T;X)空間元素的范數記為。定義

式中：F ，F-1分別為傅里葉變換和逆傅里葉變換。

2 局部解的存在性

現利用壓縮映射定理證明方程（4）在局部定義域上有解.

估計式（11）余下的項之前,先作出下面的估計。采用與式（15）和式（16）同樣的估計方法，可得

3 全局解的存在性

首先證明方程（4）的解的守恒性質和2個先驗估計結果，然后運用反證法，證明方程（4）初值問題的解在空間中的全局存在性。

致謝：在本文的研究過程中，得到了汪文軍老師很大的幫助，在此表示衷心的感謝！